Theorem funimassov 6068

Description: Membership relation for the values of a function whose image is a subclass. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Dec-2013.)

Assertion

Ref	Expression
funimassov	|- ( ( Fun F /\ ( A X. B ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( A X. B ) ) C_ C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, B, y   x, C, y   x, F, y

Proof of Theorem funimassov

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funimass4 5607	. 2 |- ( ( Fun F /\ ( A X. B ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( A X. B ) ) C_ C <-> A. z e. ( A X. B ) ( F ` z ) e. C ) )
2		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` z ) = ( F ` <. x , y >. ) )
3		df-ov 5921	. . . . 5 |- ( x F y ) = ( F ` <. x , y >. )
4	2, 3	eqtr4di 2244	. . . 4 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` z ) = ( x F y ) )
5	4	eleq1d 2262	. . 3 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( F ` z ) e. C <-> ( x F y ) e. C ) )
6	5	ralxp 4805	. 2 |- ( A. z e. ( A X. B ) ( F ` z ) e. C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C )
7	1, 6	bitrdi 196	1 |- ( ( Fun F /\ ( A X. B ) C_ dom F ) -> ( ( F " ( A X. B ) ) C_ C <-> A. x e. A A. y e. B ( x F y ) e. C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2164   A.wral 2472   C_ wss 3153   <.cop 3621   X. cxp 4657   dom cdm 4659   "cima 4662   Fun wfun 5248   ` cfv 5254  (class class class)co 5918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by: (None)