Theorem ralxp 4865

Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxp	|- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 4779	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	raleqi 2732	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	raliunxp 4863	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 186	1 |- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1395   A.wral 2508   {csn 3666   <.cop 3669   U_ciun 3965   X. cxp 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-iun 3967  df-opab 4146  df-xp 4725  df-rel 4726

This theorem is referenced by:  ralxpf  4868  issref  5111  ffnov  6108  eqfnov  6111  funimassov  6155  f1stres  6305  f2ndres  6306  ecopover  6780  ecopoverg  6783  xpf1o  7005  imasaddfnlemg  13347  srgfcl  13936  txbas  14932  cnmpt21  14965  txmetcnp  15192  txmetcn  15193  qtopbasss  15195  mpodvdsmulf1o  15664  fsumdvdsmul  15665