Theorem ralxp 4918

Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxp	|- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 4830	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	raleqi 2753	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	raliunxp 4916	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 186	1 |- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   A.wral 2528   {csn 3705   <.cop 3708   U_ciun 4007   X. cxp 4767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-iun 4009  df-opab 4188  df-xp 4775  df-rel 4776

This theorem is referenced by:  ralxpf  4921  issref  5165  ffnov  6182  eqfnov  6185  funimassov  6229  f1stres  6383  f2ndres  6384  ecopover  6897  ecopoverg  6900  xpf1o  7134  imasaddfnlemg  13612  srgfcl  14251  txbas  15282  cnmpt21  15315  txmetcnp  15542  txmetcn  15543  qtopbasss  15545  mpodvdsmulf1o  16018  fsumdvdsmul  16019