Theorem ralxp 4923

Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxp	|- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 4835	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	raleqi 2753	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	raliunxp 4921	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 186	1 |- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   A.wral 2528   {csn 3709   <.cop 3712   U_ciun 4012   X. cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-iun 4014  df-opab 4193  df-xp 4780  df-rel 4781

This theorem is used by:  ralxpf  4926  issref  5170  ffnov  6192  eqfnov  6195  funimassov  6239  f1stres  6393  f2ndres  6394  ecopover  6907  ecopoverg  6910  xpf1o  7144  imasaddfnlemg  13635  srgfcl  14277  txbas  15359  cnmpt21  15392  txmetcnp  15619  txmetcn  15620  qtopbasss  15622  mpodvdsmulf1o  16104  fsumdvdsmul  16105