Theorem ralxp 4810

Description: Universal quantification restricted to a cross product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralxp	|- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x   y, B

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunxpconst 4724	. . 3 |- U_ y e. A ( { y } X. B ) = ( A X. B )
2	1	raleqi 2697	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x e. ( A X. B ) ph )
3		ralxp.1	. . 3 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
4	3	raliunxp 4808	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )
5	2, 4	bitr3i 186	1 |- ( A. x e. ( A X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   A.wral 2475   {csn 3623   <.cop 3626   U_ciun 3917   X. cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-iun 3919  df-opab 4096  df-xp 4670  df-rel 4671

This theorem is referenced by:  ralxpf  4813  issref  5053  ffnov  6030  eqfnov  6033  funimassov  6077  f1stres  6226  f2ndres  6227  ecopover  6701  ecopoverg  6704  xpf1o  6914  imasaddfnlemg  13016  srgfcl  13605  txbas  14578  cnmpt21  14611  txmetcnp  14838  txmetcn  14839  qtopbasss  14841  mpodvdsmulf1o  15310  fsumdvdsmul  15311