Theorem fvsn 5910

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. _V
fvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	funsn 5429	. 2 |- Fun { <. A , B >. }
4	1, 2	opex 4369	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5	4	snid 3740	. 2 |- <. A , B >. e. { <. A , B >. }
6		funopfv 5740	. 2 |- ( Fun { <. A , B >. } -> ( <. A , B >. e. { <. A , B >. } -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
7	3, 5, 6	mp2 16	1 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   <.cop 3712   Fun wfun 5371   ` cfv 5377

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385

This theorem is used by:  fvsng  5911  fvsnun1  5912  fvpr1  5919  elixpsn  7017  mapsnen  7100  ac6sfi  7202