Theorem fvsn 5884

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. _V
fvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	funsn 5409	. 2 |- Fun { <. A , B >. }
4	1, 2	opex 4350	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5	4	snid 3725	. 2 |- <. A , B >. e. { <. A , B >. }
6		funopfv 5719	. 2 |- ( Fun { <. A , B >. } -> ( <. A , B >. e. { <. A , B >. } -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
7	3, 5, 6	mp2 16	1 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   <.cop 3697   Fun wfun 5351   ` cfv 5357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-sbc 3046  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fv 5365

This theorem is referenced by:  fvsng  5885  fvsnun1  5886  fvpr1  5893  elixpsn  6983  mapsnen  7066  ac6sfi  7168