Theorem fvsn 5531

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. _V
fvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	funsn 5096	. 2 |- Fun { <. A , B >. }
4	1, 2	opex 4080	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5	4	snid 3495	. 2 |- <. A , B >. e. { <. A , B >. }
6		funopfv 5379	. 2 |- ( Fun { <. A , B >. } -> ( <. A , B >. e. { <. A , B >. } -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
7	3, 5, 6	mp2 16	1 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1296   e. wcel 1445   _Vcvv 2633   {csn 3466   <.cop 3469   Fun wfun 5043   ` cfv 5049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057

This theorem is referenced by:  fvsng  5532  fvsnun1  5533  fvpr1  5540  elixpsn  6532  mapsnen  6608  ac6sfi  6694