Theorem fvsn 5879

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	|- A e. _V
fvsn.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	|- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 |- A e. _V
2		fvsn.2	. . 3 |- B e. _V
3	1, 2	funsn 5404	. 2 |- Fun { <. A , B >. }
4	1, 2	opex 4345	. . 3 |- <. A , B >. e. _V
5	4	snid 3720	. 2 |- <. A , B >. e. { <. A , B >. }
6		funopfv 5714	. 2 |- ( Fun { <. A , B >. } -> ( <. A , B >. e. { <. A , B >. } -> ( { <. A , B >. } ` A ) = B ) )
7	3, 5, 6	mp2 16	1 |- ( { <. A , B >. } ` A ) = B

Syntax hints:   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2813   {csn 3689   <.cop 3692   Fun wfun 5346   ` cfv 5352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fv 5360

This theorem is referenced by:  fvsng  5880  fvsnun1  5881  fvpr1  5888  elixpsn  6970  mapsnen  7053  ac6sfi  7155