ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1 GIF version

Theorem fvpr1 5592
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1 𝐴 ∈ V
fvpr1.2 𝐶 ∈ V
Assertion
Ref Expression
fvpr1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3504 . . . 4 {⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩} = ({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})
21fveq1i 5390 . . 3 ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴)
3 necom 2369 . . . 4 (𝐴𝐵𝐵𝐴)
4 fvpr1.1 . . . . 5 𝐴 ∈ V
5 fvunsng 5582 . . . . 5 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵𝐴) → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
64, 5mpan 420 . . . 4 (𝐵𝐴 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
73, 6sylbi 120 . . 3 (𝐴𝐵 → (({⟨𝐴, 𝐶⟩} ∪ {⟨𝐵, 𝐷⟩})‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
82, 7syl5eq 2162 . 2 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴))
9 fvpr1.2 . . 3 𝐶 ∈ V
104, 9fvsn 5583 . 2 ({⟨𝐴, 𝐶⟩}‘𝐴) = 𝐶
118, 10syl6eq 2166 1 (𝐴𝐵 → ({⟨𝐴, 𝐶⟩, ⟨𝐵, 𝐷⟩}‘𝐴) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1316  wcel 1465  wne 2285  Vcvv 2660  cun 3039  {csn 3497  {cpr 3498  cop 3500  cfv 5093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-sbc 2883  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-br 3900  df-opab 3960  df-id 4185  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-res 4521  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fv 5101
This theorem is referenced by:  fvpr2  5593
  Copyright terms: Public domain W3C validator