Theorem gt0ne0 8333

Description: Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 3-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
gt0ne0	|- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Proof of Theorem gt0ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 7908	. 2 |- ( A e. RR -> 0 e. RR )
2		ltne 7991	. 2 |- ( ( 0 e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )
3	1, 2	sylan 281	1 |- ( ( A e. RR /\ 0 < A ) -> A =/= 0 )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2141   =/= wne 2340   class class class wbr 3987   RRcr 7760   0cc0 7761   < clt 7941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4105  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-cnex 7852  ax-resscn 7853  ax-1re 7855  ax-addrcl 7858  ax-rnegex 7870  ax-pre-ltirr 7873

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-rab 2457  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-br 3988  df-opab 4049  df-xp 4615  df-pnf 7943  df-mnf 7944  df-ltxr 7946

This theorem is referenced by:  elnnz  9209  rpne0  9613