Theorem ltne 7568

Description: 'Less than' implies not equal. See also ltap 8106 which is the same but for apartness. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltne	|- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )

Proof of Theorem ltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7560	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 3849	. . . . 5 |- ( B = A -> ( A < B <-> A < A ) )
3	2	notbid 627	. . . 4 |- ( B = A -> ( -. A < B <-> -. A < A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 155	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B = A -> -. A < B ) )
5	4	necon2ad 2312	. 2 |- ( A e. RR -> ( A < B -> B =/= A ) )
6	5	imp 122	1 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   e. wcel 1438   =/= wne 2255   class class class wbr 3845   RRcr 7347   < clt 7520

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-pre-ltirr 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-br 3846  df-opab 3900  df-xp 4444  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-ltxr 7525

This theorem is referenced by:  gtneii  7578  ltnei  7586  gtned  7595  gt0ne0  7903  lt0ne0  7904  gt0ne0d  7988  nngt1ne1  8455  zdceq  8820  qdceq  9654  coprm  11397  phibndlem  11466