Theorem ltne 7473

Description: 'Less than' implies not equal. See also ltap 8008 which is the same but for apartness. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltne	|- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )

Proof of Theorem ltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 7465	. . . 4 |- ( A e. RR -> -. A < A )
2		breq2 3815	. . . . 5 |- ( B = A -> ( A < B <-> A < A ) )
3	2	notbid 625	. . . 4 |- ( B = A -> ( -. A < B <-> -. A < A ) )
4	1, 3	syl5ibrcom 155	. . 3 |- ( A e. RR -> ( B = A -> -. A < B ) )
5	4	necon2ad 2306	. 2 |- ( A e. RR -> ( A < B -> B =/= A ) )
6	5	imp 122	1 |- ( ( A e. RR /\ A < B ) -> B =/= A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1285   e. wcel 1434   =/= wne 2249   class class class wbr 3811   RRcr 7252   < clt 7425

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-sep 3922  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-cnex 7339  ax-resscn 7340  ax-pre-ltirr 7360

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-nel 2345  df-ral 2358  df-rex 2359  df-rab 2362  df-v 2614  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-br 3812  df-opab 3866  df-xp 4407  df-pnf 7427  df-mnf 7428  df-ltxr 7430

This theorem is referenced by:  gtneii  7483  ltnei  7491  gtned  7500  gt0ne0  7808  lt0ne0  7809  gt0ne0d  7890  nngt1ne1  8350  zdceq  8718  qdceq  9547  coprm  10903  phibndlem  10972