ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnnz Unicode version
Theorem elnnz 9659
Description: Positive integer property expressed in terms of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)
Assertion
Ref Expression
elnnz |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
Proof of Theorem elnnz
StepHypRef Expression
1 nnre 9314 . . . 4 |- ( N e. NN -> N e. RR )
2 orc 724 . . . 4 |- ( N e. NN -> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
3 nngt0 9332 . . . 4 |- ( N e. NN -> 0 < N )
41, 2, 3jca31 309 . . 3 |- ( N e. NN -> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) /\ 0 < N ) )
5 idd 21 . . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> ( N e. NN -> N e. NN ) )
6 lt0neg2 8799 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( 0 < N <-> -u N < 0 ) )
7 renegcl 8589 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( N e. RR -> -u N e. RR )
8 0re 8327 . . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
9 ltnsym 8412 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -u N e. RR /\ 0 e. RR ) -> ( -u N < 0 -> -. 0 < -u N ) )
107, 8, 9sylancl 417 . . . . . . . . . . . 12 |- ( N e. RR -> ( -u N < 0 -> -. 0 < -u N ) )
116, 10sylbid 150 . . . . . . . . . . 11 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> -. 0 < -u N ) )
1211imp 124 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> -. 0 < -u N )
13 nngt0 9332 . . . . . . . . . 10 |- ( -u N e. NN -> 0 < -u N )
1412, 13nsyl 637 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> -. -u N e. NN )
15 gt0ne0 8757 . . . . . . . . . 10 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> N =/= 0 )
1615neneqd 2441 . . . . . . . . 9 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> -. N = 0 )
17 ioran 764 . . . . . . . . 9 |- ( -. ( -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( -. -u N e. NN /\ -. N = 0 ) )
1814, 16, 17sylanbrc 421 . . . . . . . 8 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> -. ( -u N e. NN \/ N = 0 ) )
1918pm2.21d 628 . . . . . . 7 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> ( ( -u N e. NN \/ N = 0 ) -> N e. NN ) )
205, 19jaod 729 . . . . . 6 |- ( ( N e. RR /\ 0 < N ) -> ( ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) -> N e. NN ) )
2120ex 115 . . . . 5 |- ( N e. RR -> ( 0 < N -> ( ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) -> N e. NN ) ) )
2221com23 78 . . . 4 |- ( N e. RR -> ( ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) -> ( 0 < N -> N e. NN ) ) )
2322imp31 256 . . 3 |- ( ( ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) /\ 0 < N ) -> N e. NN )
244, 23impbii 126 . 2 |- ( N e. NN <-> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) /\ 0 < N ) )
25 elz 9651 . . . 4 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) )
26 3orrot 1015 . . . . . 6 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) )
27 3orass 1012 . . . . . 6 |- ( ( N e. NN \/ -u N e. NN \/ N = 0 ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
2826, 27bitri 184 . . . . 5 |- ( ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) <-> ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) )
2928anbi2i 461 . . . 4 |- ( ( N e. RR /\ ( N = 0 \/ N e. NN \/ -u N e. NN ) ) <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
3025, 29bitri 184 . . 3 |- ( N e. ZZ <-> ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) )
3130anbi1i 462 . 2 |- ( ( N e. ZZ /\ 0 < N ) <-> ( ( N e. RR /\ ( N e. NN \/ ( -u N e. NN \/ N = 0 ) ) ) /\ 0 < N ) )
3224, 31bitr4i 187 1 |- ( N e. NN <-> ( N e. ZZ /\ 0 < N ) )
Colors of variables:    wff set class
This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   RRcr 8179   0cc0 8180   < clt 8361   -ucneg 8500   NNcn 9307   ZZcz 9649
This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296
This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-inn 9308  df-z 9650
This theorem is used by:  nnssz  9666  elnnz1  9672  znnsub  9701  nn0ge0div  9738  msqznn  9751  elpq  10060  elfz1b  10508  lbfzo0  10603  fzo1fzo0n0  10606  elfzo0z  10607  fzofzim  10611  elfzodifsumelfzo  10630  exp3val  10992  nnesq  11111  swrdlsw  11456  pfxccatin12lem3  11519  nnabscl  11882  cvgratnnlemabsle  12312  p1modz1  12579  nndivdvds  12581  zdvdsdc  12597  oddge22np1  12666  evennn2n  12668  nno  12691  nnoddm1d2  12695  divalglemex  12707  divalglemeuneg  12708  divalg  12709  ndvdsadd  12716  bitsfzolem  12739  sqgcd  12824  qredeu  12893  prmind2  12916  sqrt2irrlem  12958  sqrt2irrap  12978  qgt0numnn  12997  oddprm  13060  pythagtriplem6  13071  pythagtriplem11  13075  pythagtriplem13  13077  pythagtriplem19  13083  pc2dvds  13131  pcadd  13141  4sqlem11  13202  4sqlem12  13203  mulgval  13976  mulgfng  13978  subgmulg  14042  znidomb  15044  ppiqfi  16164  sgmnncl  16179  mersenne  16219  gausslemma2dlem1a  16299  lgseisenlem1  16311  lgsquadlem1  16318  lgsquadlem2  16319  2sqlem8  16364
  Copyright terms: Public domain W3C validator