Theorem inex1g 4269

Description: Closed-form, generalized Separation Scheme. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
inex1g	|- ( A e. V -> ( A i^i B ) e. _V )

Proof of Theorem inex1g

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3425	. . 3 |- ( x = A -> ( x i^i B ) = ( A i^i B ) )
2	1	eleq1d 2307	. 2 |- ( x = A -> ( ( x i^i B ) e. _V <-> ( A i^i B ) e. _V ) )
3		vex 2824	. . 3 |- x e. _V
4	3	inex1 4267	. 2 |- ( x i^i B ) e. _V
5	2, 4	vtoclg 2883	1 |- ( A e. V -> ( A i^i B ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220  ax-sep 4249

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-in 3226

This theorem is used by:  onin  4531  dmresexg  5086  funimaexg  5465  offval  6310  offval3  6367  ssenen  7152  hashfibclem  11282  ressvalsets  13418  ressex  13419  ressbasd  13421  resseqnbasd  13427  ressinbasd  13428  ressressg  13429  qusin  13647  mgpress  14230  isunitd  14413  isrhm  14465  rhmfn  14479  rhmval  14480  2idlval  14839  2idlvalg  14840  eltg  15153  eltg3  15158  ntrval  15211  restco  15275  wlk1walkdom  16600