Theorem inex1g 4180

Description: Closed-form, generalized Separation Scheme. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
inex1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem inex1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3367	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2274	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V))
3		vex 2775	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex1 4178	. 2 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
5	2, 4	vtoclg 2833	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  Vcvv 2772   ∩ cin 3165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-sep 4162

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-in 3172

This theorem is referenced by:  onin  4433  dmresexg  4982  funimaexg  5358  offval  6166  offval3  6219  ssenen  6948  ressvalsets  12896  ressex  12897  ressbasd  12899  resseqnbasd  12905  ressinbasd  12906  ressressg  12907  qusin  13158  mgpress  13693  isunitd  13868  isrhm  13920  rhmfn  13934  rhmval  13935  2idlval  14264  2idlvalg  14265  eltg  14524  eltg3  14529  ntrval  14582  restco  14646