Theorem inex1g 4169

Description: Closed-form, generalized Separation Scheme. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
inex1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem inex1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3357	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2265	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V))
3		vex 2766	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex1 4167	. 2 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
5	2, 4	vtoclg 2824	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-sep 4151

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-v 2765  df-in 3163

This theorem is referenced by:  onin  4421  dmresexg  4969  funimaexg  5342  offval  6143  offval3  6191  ssenen  6912  ressvalsets  12742  ressex  12743  ressbasd  12745  resseqnbasd  12751  ressinbasd  12752  ressressg  12753  qusin  12969  mgpress  13487  isunitd  13662  isrhm  13714  rhmfn  13728  rhmval  13729  2idlval  14058  2idlvalg  14059  eltg  14288  eltg3  14293  ntrval  14346  restco  14410