Theorem inex1g 4165

Description: Closed-form, generalized Separation Scheme. (Contributed by NM, 7-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
inex1g	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem inex1g

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ineq1 3353	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵))
2	1	eleq1d 2262	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V ↔ (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V))
3		vex 2763	. . 3 ⊢ 𝑥 ∈ V
4	3	inex1 4163	. 2 ⊢ (𝑥 ∩ 𝐵) ∈ V
5	2, 4	vtoclg 2820	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-sep 4147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762  df-in 3159

This theorem is referenced by:  onin  4417  dmresexg  4965  funimaexg  5338  offval  6138  offval3  6186  ssenen  6907  ressvalsets  12682  ressex  12683  ressbasd  12685  resseqnbasd  12691  ressinbasd  12692  ressressg  12693  qusin  12909  mgpress  13427  isunitd  13602  isrhm  13654  rhmfn  13668  rhmval  13669  2idlval  13998  2idlvalg  13999  eltg  14220  eltg3  14225  ntrval  14278  restco  14342