ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressex Unicode version

Theorem ressex 12516
Description: Existence of structure restriction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ressex  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( Ws  A )  e.  _V )

Proof of Theorem ressex
StepHypRef Expression
1 ressvalsets 12515 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( Ws  A )  =  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W
) ) >. )
)
2 simpl 109 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  W  e.  X )
3 basendxnn 12509 . . . 4  |-  ( Base `  ndx )  e.  NN
43a1i 9 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( Base `  ndx )  e.  NN )
5 inex1g 4138 . . . 4  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A  i^i  ( Base `  W
) )  e.  _V )
65adantl 277 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( A  i^i  ( Base `  W ) )  e.  _V )
7 setsex 12485 . . 3  |-  ( ( W  e.  X  /\  ( Base `  ndx )  e.  NN  /\  ( A  i^i  ( Base `  W
) )  e.  _V )  ->  ( W sSet  <. (
Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) )
>. )  e.  _V )
82, 4, 6, 7syl3anc 1238 . 2  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( W sSet  <. ( Base `  ndx ) ,  ( A  i^i  ( Base `  W ) )
>. )  e.  _V )
91, 8eqeltrd 2254 1  |-  ( ( W  e.  X  /\  A  e.  Y )  ->  ( Ws  A )  e.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    e. wcel 2148   _Vcvv 2737    i^i cin 3128   <.cop 3595   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   NNcn 8914   ndxcnx 12450   sSet csts 12451   Basecbs 12453   ↾s cress 12454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7898  ax-resscn 7899  ax-1re 7901  ax-addrcl 7904
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-id 4292  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-inn 8915  df-ndx 12456  df-slot 12457  df-base 12459  df-sets 12460  df-iress 12461
This theorem is referenced by:  ressressg  12525  mgpress  13063  rdivmuldivd  13235  invrpropdg  13240
  Copyright terms: Public domain W3C validator