Theorem ressex 13147

Description: Existence of structure restriction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ressex	|- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) e. _V )

Proof of Theorem ressex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressvalsets 13146	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> W e. X )
3		basendxnn 13137	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( Base ` ndx ) e. NN )
5		inex1g 4225	. . . 4 |- ( A e. Y -> ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V )
7		setsex 13113	. . 3 |- ( ( W e. X /\ ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V ) -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) e. _V )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1273	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2308	1 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   i^i cin 3199   <.cop 3672   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   NNcn 9142   ndxcnx 13078   sSet csts 13079   Basecbs 13081   ↾_s cress 13082

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1re 8125  ax-addrcl 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-inn 9143  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089

This theorem is referenced by:  ressressg  13157  mgpress  13943  rdivmuldivd  14157  invrpropdg  14162  sraval  14450  sralemg  14451  srascag  14455  sravscag  14456  sraipg  14457  sraex  14459  rnglidlmmgm  14509  rnglidlmsgrp  14510  mplvalcoe  14703  fnmpl  14706