Theorem ressex 12743

Description: Existence of structure restriction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ressex	|- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) e. _V )

Proof of Theorem ressex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressvalsets 12742	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) = ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) )
2		simpl 109	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> W e. X )
3		basendxnn 12734	. . . 4 |- ( Base ` ndx ) e. NN
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( Base ` ndx ) e. NN )
5		inex1g 4169	. . . 4 |- ( A e. Y -> ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V )
6	5	adantl 277	. . 3 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V )
7		setsex 12710	. . 3 |- ( ( W e. X /\ ( Base ` ndx ) e. NN /\ ( A i^i ( Base ` W ) ) e. _V ) -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) e. _V )
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W sSet <. ( Base ` ndx ) , ( A i^i ( Base ` W ) ) >. ) e. _V )
9	1, 8	eqeltrd 2273	1 |- ( ( W e. X /\ A e. Y ) -> ( W ↾s A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   <.cop 3625   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   NNcn 8990   ndxcnx 12675   sSet csts 12676   Basecbs 12678   ↾_s cress 12679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686

This theorem is referenced by:  ressressg  12753  mgpress  13487  rdivmuldivd  13700  invrpropdg  13705  sraval  13993  sralemg  13994  srascag  13998  sravscag  13999  sraipg  14000  sraex  14002  rnglidlmmgm  14052  rnglidlmsgrp  14053