Theorem ixpin 6725

Description: The intersection of two infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpin	|- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ixpin

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi 590	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2		elin 3320	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
3	2	ralbii 2483	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
4		r19.26 2603	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
6	5	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
7		vex 2742	. . . . . 6 |- f e. _V
8	7	elixp 6707	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
9	7	elixp 6707	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
12	7	elixp 6707	. . 3 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
13		elin 3320	. . 3 |- ( f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 212	. 2 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) )
15	14	eqriv 2174	1 |- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   e. wcel 2148   A.wral 2455   i^i cin 3130   Fn wfn 5213   ` cfv 5218   X_cixp 6700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-ixp 6701

This theorem is referenced by: (None)