Theorem ixpin 6833

Description: The intersection of two infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpin	|- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ixpin

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi 590	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2		elin 3364	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
3	2	ralbii 2514	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
4		r19.26 2634	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
6	5	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
7		vex 2779	. . . . . 6 |- f e. _V
8	7	elixp 6815	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
9	7	elixp 6815	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
12	7	elixp 6815	. . 3 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
13		elin 3364	. . 3 |- ( f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 212	. 2 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) )
15	14	eqriv 2204	1 |- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   i^i cin 3173   Fn wfn 5285   ` cfv 5290   X_cixp 6808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-fv 5298  df-ixp 6809

This theorem is referenced by: (None)