Theorem ixpin 6971

Description: The intersection of two infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpin	|- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ixpin

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi 594	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2		elin 3406	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
3	2	ralbii 2550	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
4		r19.26 2671	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
5	3, 4	bitri 184	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
6	5	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
7		vex 2818	. . . . . 6 |- f e. _V
8	7	elixp 6953	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
9	7	elixp 6953	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 460	. . . 4 |- ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 212	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
12	7	elixp 6953	. . 3 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
13		elin 3406	. . 3 |- ( f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 212	. 2 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) )
15	14	eqriv 2231	1 |- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   A.wral 2522   i^i cin 3213   Fn wfn 5352   ` cfv 5357   X_cixp 6946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-br 4115  df-opab 4177  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ixp 6947

This theorem is referenced by: (None)