Theorem ixpin 6625

Description: The intersection of two infinite Cartesian products. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ixpin	|- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem ixpin

Dummy variable f is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		anandi 580	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
2		elin 3264	. . . . . . 7 |- ( ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
3	2	ralbii 2444	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) )
4		r19.26 2561	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( ( f ` x ) e. B /\ ( f ` x ) e. C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
5	3, 4	bitri 183	. . . . 5 |- ( A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) <-> ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
6	5	anbi2i 453	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f Fn A /\ ( A. x e. A ( f ` x ) e. B /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
7		vex 2692	. . . . . 6 |- f e. _V
8	7	elixp 6607	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A B <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) )
9	7	elixp 6607	. . . . 5 |- ( f e. X_ x e. A C <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) )
10	8, 9	anbi12i 456	. . . 4 |- ( ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) <-> ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. B ) /\ ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. C ) ) )
11	1, 6, 10	3bitr4i 211	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
12	7	elixp 6607	. . 3 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A ( f ` x ) e. ( B i^i C ) ) )
13		elin 3264	. . 3 |- ( f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) <-> ( f e. X_ x e. A B /\ f e. X_ x e. A C ) )
14	11, 12, 13	3bitr4i 211	. 2 |- ( f e. X_ x e. A ( B i^i C ) <-> f e. ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C ) )
15	14	eqriv 2137	1 |- X_ x e. A ( B i^i C ) = ( X_ x e. A B i^i X_ x e. A C )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   e. wcel 1481   A.wral 2417   i^i cin 3075   Fn wfn 5126   ` cfv 5131   X_cixp 6600

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-br 3938  df-opab 3998  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-fv 5139  df-ixp 6601

This theorem is referenced by: (None)