ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbinfle Unicode version

Theorem lbinfle 8323
Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinfle  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
Distinct variable groups:    x, S, y   
y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lbinfle
StepHypRef Expression
1 lbinf 8321 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) )
213adant3 961 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) )
3 lble 8320 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
42, 3eqbrtrd 3834 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 922    = wceq 1287    e. wcel 1436   A.wral 2355   E.wrex 2356    C_ wss 2986   class class class wbr 3814   iota_crio 5549  infcinf 6599   RRcr 7270    < clt 7443    <_ cle 7444
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-apti 7381
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rmo 2363  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-br 3815  df-opab 3869  df-xp 4410  df-cnv 4412  df-iota 4937  df-riota 5550  df-sup 6600  df-inf 6601  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator