Theorem lbinfle 9172

Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinfle	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, S, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lbinfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinf 9170	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
2	1	3adant3 1044	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
3		lble 9169	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
4	2, 3	eqbrtrd 4115	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E.wrex 2512   C_ wss 3201   class class class wbr 4093   iota_crio 5980  infcinf 7225   RRcr 8074   < clt 8256   <_ cle 8257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-apti 8190

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-xp 4737  df-cnv 4739  df-iota 5293  df-riota 5981  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262

This theorem is referenced by: (None)