Theorem lbinfle 8920

Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinfle	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, S, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lbinfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinf 8918	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
2	1	3adant3 1018	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
3		lble 8917	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
4	2, 3	eqbrtrd 4037	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 979   = wceq 1363   e. wcel 2158   A.wral 2465   E.wrex 2466   C_ wss 3141   class class class wbr 4015   iota_crio 5843  infcinf 6995   RRcr 7823   < clt 8005   <_ cle 8006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-apti 7939

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-xp 4644  df-cnv 4646  df-iota 5190  df-riota 5844  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011

This theorem is referenced by: (None)