Theorem lbinfle 8925

Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinfle	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, S, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lbinfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinf 8923	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
2	1	3adant3 1019	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
3		lble 8922	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
4	2, 3	eqbrtrd 4040	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E.wrex 2469   C_ wss 3144   class class class wbr 4018   iota_crio 5846  infcinf 7000   RRcr 7828   < clt 8010   <_ cle 8011

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-apti 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-opab 4080  df-xp 4647  df-cnv 4649  df-iota 5193  df-riota 5847  df-sup 7001  df-inf 7002  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016

This theorem is referenced by: (None)