Theorem lbinfle 8866

Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lbinfle	|- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Distinct variable groups:   x, S, y   y, A

Allowed substitution hint:   A( x)

Proof of Theorem lbinfle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lbinf 8864	. . 3 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
2	1	3adant3 1012	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) = ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) )
3		lble 8863	. 2 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> ( iota_ x e. S A. y e. S x <_ y ) <_ A )
4	2, 3	eqbrtrd 4011	1 |- ( ( S C_ RR /\ E. x e. S A. y e. S x <_ y /\ A e. S ) -> inf ( S , RR , < ) <_ A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   C_ wss 3121   class class class wbr 3989   iota_crio 5808  infcinf 6960   RRcr 7773   < clt 7954   <_ cle 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-apti 7889

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-cnv 4619  df-iota 5160  df-riota 5809  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960

This theorem is referenced by: (None)