ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lbinfle Unicode version

Theorem lbinfle 8731
Description: If a set of reals contains a lower bound, its infimum is less than or equal to all members of the set. (Contributed by NM, 11-Oct-2005.) (Revised by AV, 4-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
lbinfle  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
Distinct variable groups:    x, S, y   
y, A
Allowed substitution hint:    A( x)

Proof of Theorem lbinfle
StepHypRef Expression
1 lbinf 8729 . . 3  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) )
213adant3 1002 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  =  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y
) )
3 lble 8728 . 2  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  ->  ( iota_ x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y )  <_  A
)
42, 3eqbrtrd 3957 1  |-  ( ( S  C_  RR  /\  E. x  e.  S  A. y  e.  S  x  <_  y  /\  A  e.  S )  -> inf ( S ,  RR ,  <  )  <_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 963    = wceq 1332    e. wcel 1481   A.wral 2417   E.wrex 2418    C_ wss 3075   class class class wbr 3936   iota_crio 5736  infcinf 6877   RRcr 7642    < clt 7823    <_ cle 7824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-apti 7758
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-br 3937  df-opab 3997  df-xp 4552  df-cnv 4554  df-iota 5095  df-riota 5737  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator