Theorem suprubex 8846

Description: A member of a nonempty bounded set of reals is less than or equal to the set's upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
suprubex.ex	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
suprubex.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
suprubex.b	|- ( ph -> B e. A )

Assertion

Ref	Expression
suprubex	|- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y, z)   B( x, y, z)

Proof of Theorem suprubex

Dummy variables f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suprubex.ss	. . 3 |- ( ph -> A C_ RR )
2		suprubex.b	. . 3 |- ( ph -> B e. A )
3	1, 2	sseldd 3143	. 2 |- ( ph -> B e. RR )
4		lttri3 7978	. . . 4 |- ( ( f e. RR /\ g e. RR ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( ph /\ ( f e. RR /\ g e. RR ) ) -> ( f = g <-> ( -. f < g /\ -. g < f ) ) )
6		suprubex.ex	. . 3 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x < y /\ A. y e. RR ( y < x -> E. z e. A y < z ) ) )
7	5, 6	supclti 6963	. 2 |- ( ph -> sup ( A , RR , < ) e. RR )
8	5, 6	supubti 6964	. . 3 |- ( ph -> ( B e. A -> -. sup ( A , RR , < ) < B ) )
9	2, 8	mpd 13	. 2 |- ( ph -> -. sup ( A , RR , < ) < B )
10	3, 7, 9	nltled 8019	1 |- ( ph -> B <_ sup ( A , RR , < ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   C_ wss 3116   class class class wbr 3982   supcsup 6947   RRcr 7752   < clt 7933   <_ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rmo 2452  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-iota 5153  df-riota 5798  df-sup 6949  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by:  suprzclex  9289