Theorem eqbrtrd 4067

Description: Substitution of equal classes into a binary relation. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
eqbrtrd.1	|- ( ph -> A = B )
eqbrtrd.2	|- ( ph -> B R C )

Assertion

Ref	Expression
eqbrtrd	|- ( ph -> A R C )

Proof of Theorem eqbrtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqbrtrd.2	. 2 |- ( ph -> B R C )
2		eqbrtrd.1	. . 3 |- ( ph -> A = B )
3	2	breq1d 4055	. 2 |- ( ph -> ( A R C <-> B R C ) )
4	1, 3	mpbird 167	1 |- ( ph -> A R C )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   class class class wbr 4045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774  df-un 3170  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-br 4046

This theorem is referenced by:  eqbrtrrd  4069  dif1en  6978  ccfunen  7378  prarloclemcalc  7617  ltexprlemopu  7718  recexprlemloc  7746  caucvgprprlemloccalc  7799  suplocsrlem  7923  axpre-suploclemres  8016  mulle0r  9019  lbinfle  9025  divge1  9847  xltnegi  9959  xleadd1a  9997  xltadd1  10000  xlt2add  10004  xposdif  10006  xleaddadd  10011  ubmelm1fzo  10357  zsupssdc  10383  qbtwnrelemcalc  10400  qbtwnxr  10402  ceiqm1l  10458  ceilqm1lt  10459  ceilqle  10461  modqlt  10480  modqeqmodmin  10541  addmodlteq  10545  seqf1oglem1  10666  exp3vallem  10687  bernneq  10807  nn0ltexp2  10856  faclbnd2  10889  ccatsymb  11061  ccatrn  11068  resqrexlemdec  11355  resqrexlemcalc2  11359  resqrexlemglsq  11366  resqrexlemga  11367  abslt  11432  amgm2  11462  icodiamlt  11524  maxabsle  11548  maxltsup  11562  minmax  11574  min1inf  11576  min2inf  11577  bdtrilem  11583  xrmaxltsup  11602  xrmaxaddlem  11604  xrmaxadd  11605  xrminmax  11609  xrmin1inf  11611  xrmin2inf  11612  climconst  11634  serclim0  11649  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  iserex  11683  climlec2  11685  iserge0  11687  climcau  11691  climcvg1nlem  11693  fsumabs  11809  iserabs  11819  isumlessdc  11840  divcnv  11841  expcnvre  11847  absgtap  11854  georeclim  11857  cvgratnnlembern  11867  cvgratnnlemsumlt  11872  cvgratnnlemfm  11873  cvgratnnlemrate  11874  mertenslemub  11878  mertenslemi1  11879  prodfclim1  11888  prodfap0  11889  efcvgfsum  12011  eftlub  12034  eflegeo  12045  tanval3ap  12058  tannegap  12072  ef01bndlem  12100  sin01bnd  12101  cos01bnd  12102  cos01gt0  12107  bitsfzolem  12298  bitsfzo  12299  bitsinv1lem  12305  mulgcd  12370  nnminle  12389  eucalglt  12412  lcmledvds  12425  mulgcddvds  12449  prmind2  12475  isprm5lem  12496  pw2dvdslemn  12520  pw2dvdseulemle  12522  oddpwdclemdvds  12525  sqrt2irrap  12535  divdenle  12552  nonsq  12562  pythagtriplem4  12624  pclem0  12642  pcpremul  12649  pczdvds  12670  pcprmpw2  12689  qexpz  12708  4sqlem10  12743  ennnfonelemkh  12816  prdsbaslemss  13139  triv1nsgd  13587  qusgrp  13601  bl2in  14908  xblcntrps  14918  xblcntr  14919  ssblps  14930  ssbl  14931  blssps  14932  blss  14933  xmetxp  15012  mulc1cncf  15094  cncfmptc  15101  mulcncflem  15112  ivthinclemlopn  15141  ivthinclemuopn  15143  ivthdec  15149  ivthreinc  15150  hovera  15152  hoverlt1  15154  limcimolemlt  15169  cnplimclemle  15173  cnplimclemr  15174  limccnp2lem  15181  dveflem  15231  reeff1olem  15276  reeff1oleme  15277  tangtx  15343  cosq34lt1  15355  logdivlti  15386  cxpap0  15409  rpabscxpbnd  15445  mersenne  15502  lgslem3  15512  gausslemma2dlem1a  15568  lgsquadlem1  15587  lgsquadlem2  15588  2lgslem1c  15600  qdencn  16003  cvgcmp2nlemabs  16008  trilpolemclim  16012  trilpolemisumle  16014  trilpolemeq1  16016  apdifflemf  16022  apdifflemr  16023