Theorem ltdcpi 7510

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7496	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7496	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nndcel 6646	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A e. B )
5		ltpiord 7506	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6	5	dcbid 843	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (DECID A <N B <-> DECID A e. B ) )
7	4, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   e. wcel 2200   class class class wbr 4083   omcom 4682   N.cnpi 7459   <N clti 7462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-ni 7491  df-lti 7494

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7584