Theorem ltdcpi 6936

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 6922	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 6922	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nndcel 6275	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )
4	1, 2, 3	syl2an 284	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A e. B )
5		ltpiord 6932	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6	5	dcbid 787	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (DECID A <N B <-> DECID A e. B ) )
7	4, 6	mpbird 166	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 781   e. wcel 1439   class class class wbr 3851   omcom 4418   N.cnpi 6885   <N clti 6888

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-br 3852  df-opab 3906  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-ni 6917  df-lti 6920

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7010