Theorem ltdcpi 7680

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7666	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7666	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nndcel 6763	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> DECID A e. B )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A e. B )
5		ltpiord 7676	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6	5	dcbid 850	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> (DECID A <N B <-> DECID A e. B ) )
7	4, 6	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> DECID A <N B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   omcom 4732   N.cnpi 7629   <N clti 7632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-ni 7661  df-lti 7664

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7754