Theorem pitri3or 7435

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7422	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7422	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri3or 6579	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		ltpiord 7432	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		biidd 172	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A = B <-> A = B ) )
7		ltpiord 7432	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
9	5, 6, 8	3orbi123d 1324	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4044   omcom 4638   N.cnpi 7385   <N clti 7388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-ni 7417  df-lti 7420

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7509  caucvgprlemnkj  7779  caucvgprlemnbj  7780  caucvgprprlemnkj  7805  caucvgprprlemnbj  7806  caucvgsr  7915