Theorem pitri3or 7689

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7676	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7676	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri3or 6766	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		ltpiord 7686	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		biidd 172	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A = B <-> A = B ) )
7		ltpiord 7686	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
9	5, 6, 8	3orbi123d 1352	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 1008   = wceq 1402   e. wcel 2209   class class class wbr 4130   omcom 4737   N.cnpi 7639   <N clti 7642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-ni 7671  df-lti 7674

This theorem is used by:  nqtri3or  7763  caucvgprlemnkj  8033  caucvgprlemnbj  8034  caucvgprprlemnkj  8059  caucvgprprlemnbj  8060  caucvgsr  8169