ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pitri3or Unicode version

Theorem pitri3or 7098
Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
pitri3or  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  \/  A  =  B  \/  B  <N  A ) )

Proof of Theorem pitri3or
StepHypRef Expression
1 pinn 7085 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
2 pinn 7085 . . 3  |-  ( B  e.  N.  ->  B  e.  om )
3 nntri3or 6357 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
41, 2, 3syl2an 287 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
5 ltpiord 7095 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  <->  A  e.  B ) )
6 biidd 171 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  =  B  <-> 
A  =  B ) )
7 ltpiord 7095 . . . 4  |-  ( ( B  e.  N.  /\  A  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
87ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( B  <N  A  <->  B  e.  A ) )
95, 6, 83orbi123d 1274 . 2  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( ( A  <N  B  \/  A  =  B  \/  B  <N  A )  <-> 
( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) ) )
104, 9mpbird 166 1  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( A  <N  B  \/  A  =  B  \/  B  <N  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ w3o 946    = wceq 1316    e. wcel 1465   class class class wbr 3899   omcom 4474   N.cnpi 7048    <N clti 7051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-iinf 4472
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-br 3900  df-opab 3960  df-tr 3997  df-eprel 4181  df-iord 4258  df-on 4260  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-ni 7080  df-lti 7083
This theorem is referenced by:  nqtri3or  7172  caucvgprlemnkj  7442  caucvgprlemnbj  7443  caucvgprprlemnkj  7468  caucvgprprlemnbj  7469  caucvgsr  7578
  Copyright terms: Public domain W3C validator