Theorem pitri3or 7470

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7457	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7457	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri3or 6602	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		ltpiord 7467	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		biidd 172	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A = B <-> A = B ) )
7		ltpiord 7467	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
9	5, 6, 8	3orbi123d 1324	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2178   class class class wbr 4059   omcom 4656   N.cnpi 7420   <N clti 7423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-br 4060  df-opab 4122  df-tr 4159  df-eprel 4354  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-ni 7452  df-lti 7455

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7544  caucvgprlemnkj  7814  caucvgprlemnbj  7815  caucvgprprlemnkj  7840  caucvgprprlemnbj  7841  caucvgsr  7950