Theorem pitri3or 7382

Description: Trichotomy for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
pitri3or	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Proof of Theorem pitri3or

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7369	. . 3 |- ( A e. N. -> A e. om )
2		pinn 7369	. . 3 |- ( B e. N. -> B e. om )
3		nntri3or 6546	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
5		ltpiord 7379	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )
6		biidd 172	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A = B <-> A = B ) )
7		ltpiord 7379	. . . 4 |- ( ( B e. N. /\ A e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
8	7	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( B <N A <-> B e. A ) )
9	5, 6, 8	3orbi123d 1322	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) <-> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) ) )
10	4, 9	mpbird 167	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B \/ A = B \/ B <N A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ w3o 979   = wceq 1364   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   omcom 4622   N.cnpi 7332   <N clti 7335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-ni 7364  df-lti 7367

This theorem is referenced by:  nqtri3or  7456  caucvgprlemnkj  7726  caucvgprlemnbj  7727  caucvgprprlemnkj  7752  caucvgprprlemnbj  7753  caucvgsr  7862