ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Unicode version

Theorem ltdcnq 7010
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  -> DECID  A 
<Q  B )

Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 6991 . . . 4  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  ) )
2 nqpi 6991 . . . 4  |-  ( B  e.  Q.  ->  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
31, 2anim12i 332 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  ( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
4 ee4anv 1858 . . 3  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  <-> 
( E. x E. y ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  E. z E. w ( ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
53, 4sylibr 133 . 2  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  ->  E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) ) )
6 mulclpi 6941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  ->  ( x  .N  w
)  e.  N. )
7 mulclpi 6941 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )  ->  ( y  .N  z
)  e.  N. )
8 ltdcpi 6936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  .N  w
)  e.  N.  /\  ( y  .N  z
)  e.  N. )  -> DECID  ( x  .N  w ) 
<N  ( y  .N  z
) )
96, 7, 8syl2an 284 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  w  e.  N. )  /\  ( y  e.  N.  /\  z  e.  N. )
)  -> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) )
109an42s 557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  -> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) )
11 ordpipqqs 6987 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  ( [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <->  ( x  .N  w )  <N  (
y  .N  z ) ) )
1211dcbid 787 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  ->  (DECID  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  <-> DECID  ( x  .N  w
)  <N  ( y  .N  z ) ) )
1310, 12mpbird 166 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  N.  /\  y  e.  N. )  /\  ( z  e.  N.  /\  w  e.  N. )
)  -> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
1413ad2ant2r 494 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )
15 breq12 3856 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  [ <. x ,  y >. ]  ~Q  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  )  ->  ( A  <Q  B  <->  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1615ad2ant2l 493 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  ->  ( A  <Q  B  <->  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1716dcbid 787 . . . . 5  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  ->  (DECID  A  <Q  B  <-> DECID  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  <Q  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )
1814, 17mpbird 166 . . . 4  |-  ( ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
1918exlimivv 1825 . . 3  |-  ( E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
2019exlimivv 1825 . 2  |-  ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x  e. 
N.  /\  y  e.  N. )  /\  A  =  [ <. x ,  y
>. ]  ~Q  )  /\  ( ( z  e. 
N.  /\  w  e.  N. )  /\  B  =  [ <. z ,  w >. ]  ~Q  ) )  -> DECID 
A  <Q  B )
215, 20syl 14 1  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  B  e.  Q. )  -> DECID  A 
<Q  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104  DECID wdc 781    = wceq 1290   E.wex 1427    e. wcel 1439   <.cop 3453   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666   [cec 6304   N.cnpi 6885    .N cmi 6887    <N clti 6888    ~Q ceq 6892   Q.cnq 6893    <Q cltq 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-lti 6920  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-ltnqqs 6966
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7197  distrlem4pru  7198
  Copyright terms: Public domain W3C validator