ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Unicode version
Theorem ltdcnq 7317
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7298 . . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2 nqpi 7298 . . . 4 |- ( B e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
31, 2anim12i 336 . . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
4 ee4anv 1914 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
53, 4sylibr 133 . 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
6 mulclpi 7248 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7 mulclpi 7248 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
8 ltdcpi 7243 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
96, 7, 8syl2an 287 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
109an42s 579 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
11 ordpipqqs 7294 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1211dcbid 824 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> (DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1310, 12mpbird 166 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
1413ad2ant2r 501 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
15 breq12 3970 . . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1615ad2ant2l 500 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1716dcbid 824 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> (DECID A <Q B <-> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1814, 17mpbird 166 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
1918exlimivv 1876 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
2019exlimivv 1876 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
215, 20syl 14 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104  DECID wdc 820   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   <.cop 3563   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   [cec 6478   N.cnpi 7192   .N cmi 7194   <N clti 7195   ~Q ceq 7199   Q.cnq 7200   <Q cltq 7205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-mi 7226  df-lti 7227  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-ltnqqs 7273
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7504  distrlem4pru  7505
  Copyright terms: Public domain W3C validator