Theorem ltdcnq 7770

Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcnq	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )

Proof of Theorem ltdcnq

Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nqpi 7751	. . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2		nqpi 7751	. . . 4 |- ( B e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
3	1, 2	anim12i 338	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
4		ee4anv 1994	. . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
5	3, 4	sylibr 134	. 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
6		mulclpi 7701	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7		mulclpi 7701	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
8		ltdcpi 7696	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
9	6, 7, 8	syl2an 289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
10	9	an42s 597	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
11		ordpipqqs 7747	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
12	11	dcbid 850	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> (DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
13	10, 12	mpbird 167	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
14	13	ad2ant2r 513	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
15		breq12 4136	. . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
16	15	ad2ant2l 512	. . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
17	16	dcbid 850	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> (DECID A <Q B <-> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
18	14, 17	mpbird 167	. . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
19	18	exlimivv 1952	. . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
20	19	exlimivv 1952	. 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
21	5, 20	syl 14	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 846   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4131  (class class class)co 6088   [cec 6809   N.cnpi 7645   .N cmi 7647   <N clti 7648   ~Q ceq 7652   Q.cnq 7653   <Q cltq 7658

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-mi 7679  df-lti 7680  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-ltnqqs 7726

This theorem is used by:  distrlem4prl  7957  distrlem4pru  7958