ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Unicode version
Theorem ltdcnq 7616
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7597 . . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2 nqpi 7597 . . . 4 |- ( B e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
31, 2anim12i 338 . . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
4 ee4anv 1987 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
53, 4sylibr 134 . 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
6 mulclpi 7547 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7 mulclpi 7547 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
8 ltdcpi 7542 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
109an42s 593 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
11 ordpipqqs 7593 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1211dcbid 845 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> (DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1310, 12mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
1413ad2ant2r 509 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
15 breq12 4093 . . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1615ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1716dcbid 845 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> (DECID A <Q B <-> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1814, 17mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
1918exlimivv 1945 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
2019exlimivv 1945 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
215, 20syl 14 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 841   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   <.cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017   [cec 6699   N.cnpi 7491   .N cmi 7493   <N clti 7494   ~Q ceq 7498   Q.cnq 7499   <Q cltq 7504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-irdg 6535  df-oadd 6585  df-omul 6586  df-er 6701  df-ec 6703  df-qs 6707  df-ni 7523  df-mi 7525  df-lti 7526  df-enq 7566  df-nqqs 7567  df-ltnqqs 7572
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7803  distrlem4pru  7804
  Copyright terms: Public domain W3C validator