ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcnq Unicode version
Theorem ltdcnq 7510
Description: Less-than for positive fractions is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcnq |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Proof of Theorem ltdcnq
Dummy variables w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nqpi 7491 . . . 4 |- ( A e. Q. -> E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) )
2 nqpi 7491 . . . 4 |- ( B e. Q. -> E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) )
31, 2anim12i 338 . . 3 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
4 ee4anv 1962 . . 3 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) <-> ( E. x E. y ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ E. z E. w ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
53, 4sylibr 134 . 2 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) )
6 mulclpi 7441 . . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ w e. N. ) -> ( x .N w ) e. N. )
7 mulclpi 7441 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. N. /\ z e. N. ) -> ( y .N z ) e. N. )
8 ltdcpi 7436 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x .N w ) e. N. /\ ( y .N z ) e. N. ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
96, 7, 8syl2an 289 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ w e. N. ) /\ ( y e. N. /\ z e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
109an42s 589 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) )
11 ordpipqqs 7487 . . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1211dcbid 840 . . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> (DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q <-> DECID ( x .N w ) <N ( y .N z ) ) )
1310, 12mpbird 167 . . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
1413ad2ant2r 509 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q )
15 breq12 4049 . . . . . . 7 |- ( ( A = [ <. x , y >. ] ~Q /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1615ad2ant2l 508 . . . . . 6 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> ( A <Q B <-> [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1716dcbid 840 . . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> (DECID A <Q B <-> DECID [ <. x , y >. ] ~Q <Q [ <. z , w >. ] ~Q ) )
1814, 17mpbird 167 . . . 4 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
1918exlimivv 1920 . . 3 |- ( E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
2019exlimivv 1920 . 2 |- ( E. x E. y E. z E. w ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ A = [ <. x , y >. ] ~Q ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ B = [ <. z , w >. ] ~Q ) ) -> DECID A <Q B )
215, 20syl 14 1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. ) -> DECID A <Q B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105  DECID wdc 836   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   <.cop 3636   class class class wbr 4044  (class class class)co 5944   [cec 6618   N.cnpi 7385   .N cmi 7387   <N clti 7388   ~Q ceq 7392   Q.cnq 7393   <Q cltq 7398
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-iinf 4636
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-tr 4143  df-eprel 4336  df-id 4340  df-iord 4413  df-on 4415  df-suc 4418  df-iom 4639  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-recs 6391  df-irdg 6456  df-oadd 6506  df-omul 6507  df-er 6620  df-ec 6622  df-qs 6626  df-ni 7417  df-mi 7419  df-lti 7420  df-enq 7460  df-nqqs 7461  df-ltnqqs 7466
This theorem is referenced by:  distrlem4prl  7697  distrlem4pru  7698
  Copyright terms: Public domain W3C validator