Theorem ltdcpi 7285

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7271	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7271	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nndcel 6479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
5		ltpiord 7281	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	5	dcbid 833	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵 ↔ DECID 𝐴 ∈ 𝐵))
7	4, 6	mpbird 166	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103  DECID wdc 829   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  ωcom 4574  Ncnpi 7234   <_N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-ni 7266  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7359