Theorem ltdcpi 7690

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7676	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7676	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nndcel 6773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
5		ltpiord 7686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	5	dcbid 850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵 ↔ DECID 𝐴 ∈ 𝐵))
7	4, 6	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 846   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4130  ωcom 4737  Ncnpi 7639   <_N clti 7642

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-ni 7671  df-lti 7674

This theorem is used by:  ltdcnq  7764