ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltdcpi GIF version

Theorem ltdcpi 7072
Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltdcpi ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi
StepHypRef Expression
1 pinn 7058 . . 3 (𝐴N𝐴 ∈ ω)
2 pinn 7058 . . 3 (𝐵N𝐵 ∈ ω)
3 nndcel 6347 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴𝐵)
41, 2, 3syl2an 285 . 2 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴𝐵)
5 ltpiord 7068 . . 3 ((𝐴N𝐵N) → (𝐴 <N 𝐵𝐴𝐵))
65dcbid 806 . 2 ((𝐴N𝐵N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵DECID 𝐴𝐵))
74, 6mpbird 166 1 ((𝐴N𝐵N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  DECID wdc 802  wcel 1461   class class class wbr 3893  ωcom 4462  Ncnpi 7021   <N clti 7024
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-ral 2393  df-rex 2394  df-v 2657  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-br 3894  df-opab 3948  df-tr 3985  df-eprel 4169  df-iord 4246  df-on 4248  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-ni 7053  df-lti 7056
This theorem is referenced by:  ltdcnq  7146
  Copyright terms: Public domain W3C validator