Theorem ltdcpi 7324

Description: Less-than for positive integers is decidable. (Contributed by Jim Kingdon, 12-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ltdcpi	⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Proof of Theorem ltdcpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pinn 7310	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ N → 𝐴 ∈ ω)
2		pinn 7310	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ N → 𝐵 ∈ ω)
3		nndcel 6503	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2an 289	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 ∈ 𝐵)
5		ltpiord 7320	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (𝐴 <N 𝐵 ↔ 𝐴 ∈ 𝐵))
6	5	dcbid 838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → (DECID 𝐴 <N 𝐵 ↔ DECID 𝐴 ∈ 𝐵))
7	4, 6	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐴 ∈ N ∧ 𝐵 ∈ N) → DECID 𝐴 <N 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104  DECID wdc 834   ∈ wcel 2148   class class class wbr 4005  ωcom 4591  Ncnpi 7273   <_N clti 7276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-ni 7305  df-lti 7308

This theorem is referenced by:  ltdcnq  7398