Theorem ltpiord 7281

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 7269	. . 3 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
2	1	breqi 3995	. 2 |- ( A <N B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B )
3		brinxp 4679	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B ) )
4		epelg 4275	. . . 4 |- ( B e. N. -> ( A _E B <-> A e. B ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A e. B ) )
6	3, 5	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B <-> A e. B ) )
7	2, 6	syl5bb 191	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   i^i cin 3120   class class class wbr 3989   _E cep 4272   X. cxp 4609   N.cnpi 7234   <N clti 7237

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-br 3990  df-opab 4051  df-eprel 4274  df-xp 4617  df-lti 7269

This theorem is referenced by:  ltsopi  7282  pitric  7283  pitri3or  7284  ltdcpi  7285  ltexpi  7299  ltapig  7300  ltmpig  7301  1lt2pi  7302  nlt1pig  7303  archnqq  7379  prarloclemarch2  7381  prarloclemlt  7455  prarloclemn  7461