Theorem ltpiord 7120

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 7108	. . 3 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
2	1	breqi 3930	. 2 |- ( A <N B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B )
3		brinxp 4602	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B ) )
4		epelg 4207	. . . 4 |- ( B e. N. -> ( A _E B <-> A e. B ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A e. B ) )
6	3, 5	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B <-> A e. B ) )
7	2, 6	syl5bb 191	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1480   i^i cin 3065   class class class wbr 3924   _E cep 4204   X. cxp 4532   N.cnpi 7073   <N clti 7076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-pow 4093  ax-pr 4126

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-br 3925  df-opab 3985  df-eprel 4206  df-xp 4540  df-lti 7108

This theorem is referenced by:  ltsopi  7121  pitric  7122  pitri3or  7123  ltdcpi  7124  ltexpi  7138  ltapig  7139  ltmpig  7140  1lt2pi  7141  nlt1pig  7142  archnqq  7218  prarloclemarch2  7220  prarloclemlt  7294  prarloclemn  7300