Theorem ltpiord 7151

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership. (Contributed by NM, 6-Feb-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lti 7139	. . 3 |- <N = ( _E i^i ( N. X. N. ) )
2	1	breqi 3943	. 2 |- ( A <N B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B )
3		brinxp 4615	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B ) )
4		epelg 4220	. . . 4 |- ( B e. N. -> ( A _E B <-> A e. B ) )
5	4	adantl 275	. . 3 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A _E B <-> A e. B ) )
6	3, 5	bitr3d 189	. 2 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A ( _E i^i ( N. X. N. ) ) B <-> A e. B ) )
7	2, 6	syl5bb 191	1 |- ( ( A e. N. /\ B e. N. ) -> ( A <N B <-> A e. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 1481   i^i cin 3075   class class class wbr 3937   _E cep 4217   X. cxp 4545   N.cnpi 7104   <N clti 7107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-br 3938  df-opab 3998  df-eprel 4219  df-xp 4553  df-lti 7139

This theorem is referenced by:  ltsopi  7152  pitric  7153  pitri3or  7154  ltdcpi  7155  ltexpi  7169  ltapig  7170  ltmpig  7171  1lt2pi  7172  nlt1pig  7173  archnqq  7249  prarloclemarch2  7251  prarloclemlt  7325  prarloclemn  7331