Theorem ltrelsr 7679

Description: Signed real 'less than' is a relation on signed reals. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelsr	|- <R C_ ( R. X. R. )

Proof of Theorem ltrelsr

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltr 7671	. 2 |- <R = { <. x , y >. | ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~R /\ y = [ <. v , u >. ] ~R ) /\ ( z +P. u ) <P ( w +P. v ) ) ) }
2		opabssxp 4678	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~R /\ y = [ <. v , u >. ] ~R ) /\ ( z +P. u ) <P ( w +P. v ) ) ) } C_ ( R. X. R. )
3	1, 2	eqsstri 3174	1 |- <R C_ ( R. X. R. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   {copab 4042   X. cxp 4602  (class class class)co 5842   [cec 6499   +P. cpp 7234   <P cltp 7236   ~R cer 7237   R.cnr 7238   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-ext 2147

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-in 3122  df-ss 3129  df-opab 4044  df-xp 4610  df-ltr 7671

This theorem is referenced by:  gt0srpr  7689  recexgt0sr  7714  addgt0sr  7716  mulgt0sr  7719  caucvgsrlemcl  7730  caucvgsrlemasr  7731  caucvgsrlemfv  7732  map2psrprg  7746  suplocsrlemb  7747  suplocsrlempr  7748  suplocsrlem  7749  suplocsr  7750  ltresr  7780  axpre-ltirr  7823  axpre-lttrn  7825