Theorem ltrelsr 7570

Description: Signed real 'less than' is a relation on signed reals. (Contributed by NM, 14-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltrelsr	|- <R C_ ( R. X. R. )

Proof of Theorem ltrelsr

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ltr 7562	. 2 |- <R = { <. x , y >. | ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~R /\ y = [ <. v , u >. ] ~R ) /\ ( z +P. u ) <P ( w +P. v ) ) ) }
2		opabssxp 4621	. 2 |- { <. x , y >. | ( ( x e. R. /\ y e. R. ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = [ <. z , w >. ] ~R /\ y = [ <. v , u >. ] ~R ) /\ ( z +P. u ) <P ( w +P. v ) ) ) } C_ ( R. X. R. )
3	1, 2	eqsstri 3134	1 |- <R C_ ( R. X. R. )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1332   E.wex 1469   e. wcel 1481   C_ wss 3076   <.cop 3535   class class class wbr 3937   {copab 3996   X. cxp 4545  (class class class)co 5782   [cec 6435   +P. cpp 7125   <P cltp 7127   ~R cer 7128   R.cnr 7129   <R cltr 7135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-in 3082  df-ss 3089  df-opab 3998  df-xp 4553  df-ltr 7562

This theorem is referenced by:  gt0srpr  7580  recexgt0sr  7605  addgt0sr  7607  mulgt0sr  7610  caucvgsrlemcl  7621  caucvgsrlemasr  7622  caucvgsrlemfv  7623  map2psrprg  7637  suplocsrlemb  7638  suplocsrlempr  7639  suplocsrlem  7640  suplocsr  7641  ltresr  7671  axpre-ltirr  7714  axpre-lttrn  7716