ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr Unicode version

Theorem caucvgsrlemasr 7591
Description: Lemma for caucvgsr 7603. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Distinct variable group:    A, m
Allowed substitution hints:    ph( m)    F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
2 ltrelsr 7539 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4586 . . . . 5  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  ( A  e.  R.  /\  ( F `
 m )  e. 
R. ) )
43simpld 111 . . . 4  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  A  e.  R. )
54ralimi 2493 . . 3  |-  ( A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m
)  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
61, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
7 1pi 7116 . . 3  |-  1o  e.  N.
8 elex2 2697 . . 3  |-  ( 1o  e.  N.  ->  E. x  x  e.  N. )
9 r19.3rmv 3448 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  N.  ->  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. ) )
107, 8, 9mp2b 8 . 2  |-  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
116, 10sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   1oc1o 6299   N.cnpi 7073   R.cnr 7098    <R cltr 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-v 2683  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-br 3925  df-opab 3985  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-1o 6306  df-ni 7105  df-ltr 7531
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7597  caucvgsrlemofff  7598  caucvgsrlemoffcau  7599  caucvgsrlemoffgt1  7600  caucvgsrlemoffres  7601
  Copyright terms: Public domain W3C validator