Theorem caucvgsrlemasr 8070

Description: Lemma for caucvgsr 8082. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 8018	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4784	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 112	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2596	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 7595	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2820	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3587	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 134	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1541   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   ` cfv 5333   1oc1o 6618   N.cnpi 7552   R.cnr 7577   <R cltr 7583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-1o 6625  df-ni 7584  df-ltr 8010

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  8076  caucvgsrlemofff  8077  caucvgsrlemoffcau  8078  caucvgsrlemoffgt1  8079  caucvgsrlemoffres  8080