ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr Unicode version

Theorem caucvgsrlemasr 7725
Description: Lemma for caucvgsr 7737. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Distinct variable group:    A, m
Allowed substitution hints:    ph( m)    F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
2 ltrelsr 7673 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4653 . . . . 5  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  ( A  e.  R.  /\  ( F `
 m )  e. 
R. ) )
43simpld 111 . . . 4  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  A  e.  R. )
54ralimi 2527 . . 3  |-  ( A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m
)  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
61, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
7 1pi 7250 . . 3  |-  1o  e.  N.
8 elex2 2740 . . 3  |-  ( 1o  e.  N.  ->  E. x  x  e.  N. )
9 r19.3rmv 3497 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  N.  ->  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. ) )
107, 8, 9mp2b 8 . 2  |-  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
116, 10sylibr 133 1  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104   E.wex 1479    e. wcel 2135   A.wral 2442   class class class wbr 3979   ` cfv 5185   1oc1o 6371   N.cnpi 7207   R.cnr 7232    <R cltr 7238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 969  df-tru 1345  df-nf 1448  df-sb 1750  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-ral 2447  df-rex 2448  df-v 2726  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-br 3980  df-opab 4041  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-1o 6378  df-ni 7239  df-ltr 7665
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7731  caucvgsrlemofff  7732  caucvgsrlemoffcau  7733  caucvgsrlemoffgt1  7734  caucvgsrlemoffres  7735
  Copyright terms: Public domain W3C validator