Theorem caucvgsrlemasr 7803

Description: Lemma for caucvgsr 7815. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 7751	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4690	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 112	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2550	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 7328	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2765	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3525	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 134	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   E.wex 1502   e. wcel 2158   A.wral 2465   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   1oc1o 6424   N.cnpi 7285   R.cnr 7310   <R cltr 7316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-1o 6431  df-ni 7317  df-ltr 7743

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7809  caucvgsrlemofff  7810  caucvgsrlemoffcau  7811  caucvgsrlemoffgt1  7812  caucvgsrlemoffres  7813