Theorem caucvgsrlemasr 7598

Description: Lemma for caucvgsr 7610. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 7546	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4591	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 111	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2495	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 7123	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2702	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3453	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 133	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wex 1468   e. wcel 1480   A.wral 2416   class class class wbr 3929   ` cfv 5123   1oc1o 6306   N.cnpi 7080   R.cnr 7105   <R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-1o 6313  df-ni 7112  df-ltr 7538

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7604  caucvgsrlemofff  7605  caucvgsrlemoffcau  7606  caucvgsrlemoffgt1  7607  caucvgsrlemoffres  7608