ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemasr Unicode version

Theorem caucvgsrlemasr 7803
Description: Lemma for caucvgsr 7815. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
caucvgsrlemasr.bnd  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemasr  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Distinct variable group:    A, m
Allowed substitution hints:    ph( m)    F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemasr.bnd . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m ) )
2 ltrelsr 7751 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
32brel 4690 . . . . 5  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  ( A  e.  R.  /\  ( F `
 m )  e. 
R. ) )
43simpld 112 . . . 4  |-  ( A 
<R  ( F `  m
)  ->  A  e.  R. )
54ralimi 2550 . . 3  |-  ( A. m  e.  N.  A  <R  ( F `  m
)  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
61, 5syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
7 1pi 7328 . . 3  |-  1o  e.  N.
8 elex2 2765 . . 3  |-  ( 1o  e.  N.  ->  E. x  x  e.  N. )
9 r19.3rmv 3525 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  N.  ->  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. ) )
107, 8, 9mp2b 8 . 2  |-  ( A  e.  R.  <->  A. m  e.  N.  A  e.  R. )
116, 10sylibr 134 1  |-  ( ph  ->  A  e.  R. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 105   E.wex 1502    e. wcel 2158   A.wral 2465   class class class wbr 4015   ` cfv 5228   1oc1o 6424   N.cnpi 7285   R.cnr 7310    <R cltr 7316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-1o 6431  df-ni 7317  df-ltr 7743
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7809  caucvgsrlemofff  7810  caucvgsrlemoffcau  7811  caucvgsrlemoffgt1  7812  caucvgsrlemoffres  7813
  Copyright terms: Public domain W3C validator