Theorem caucvgsrlemasr 7731

Description: Lemma for caucvgsr 7743. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 7679	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4656	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 111	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2529	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 7256	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2742	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3499	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 133	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   1oc1o 6377   N.cnpi 7213   R.cnr 7238   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-1o 6384  df-ni 7245  df-ltr 7671

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7737  caucvgsrlemofff  7738  caucvgsrlemoffcau  7739  caucvgsrlemoffgt1  7740  caucvgsrlemoffres  7741