Theorem caucvgsrlemasr 7432

Description: Lemma for caucvgsr 7444. The lower bound is a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Jul-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
caucvgsrlemasr.bnd	|- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemasr	|- ( ph -> A e. R. )

Distinct variable group:   A, m

Allowed substitution hints:   ph( m)   F( m)

Proof of Theorem caucvgsrlemasr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemasr.bnd	. . 3 |- ( ph -> A. m e. N. A <R ( F ` m ) )
2		ltrelsr 7381	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4519	. . . . 5 |- ( A <R ( F ` m ) -> ( A e. R. /\ ( F ` m ) e. R. ) )
4	3	simpld 111	. . . 4 |- ( A <R ( F ` m ) -> A e. R. )
5	4	ralimi 2449	. . 3 |- ( A. m e. N. A <R ( F ` m ) -> A. m e. N. A e. R. )
6	1, 5	syl 14	. 2 |- ( ph -> A. m e. N. A e. R. )
7		1pi 6971	. . 3 |- 1o e. N.
8		elex2 2649	. . 3 |- ( 1o e. N. -> E. x x e. N. )
9		r19.3rmv 3392	. . 3 |- ( E. x x e. N. -> ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. ) )
10	7, 8, 9	mp2b 8	. 2 |- ( A e. R. <-> A. m e. N. A e. R. )
11	6, 10	sylibr 133	1 |- ( ph -> A e. R. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   E.wex 1433   e. wcel 1445   A.wral 2370   class class class wbr 3867   ` cfv 5049   1oc1o 6212   N.cnpi 6928   R.cnr 6953   <R cltr 6959

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-nul 3986  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-nul 3303  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-int 3711  df-br 3868  df-opab 3922  df-suc 4222  df-iom 4434  df-xp 4473  df-1o 6219  df-ni 6960  df-ltr 7373

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemoffval  7438  caucvgsrlemofff  7439  caucvgsrlemoffcau  7440  caucvgsrlemoffgt1  7441  caucvgsrlemoffres  7442