Theorem addgt0sr 8092

Description: The sum of two positive signed reals is positive. (Contributed by NM, 14-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
addgt0sr	|- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R ( A +R B ) )

Proof of Theorem addgt0sr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R B )
2		ltrelsr 8055	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
3	2	brel 4804	. . . . . 6 |- ( 0R <R B -> ( 0R e. R. /\ B e. R. ) )
4	3	simprd 114	. . . . 5 |- ( 0R <R B -> B e. R. )
5	2	brel 4804	. . . . . 6 |- ( 0R <R A -> ( 0R e. R. /\ A e. R. ) )
6	5	simprd 114	. . . . 5 |- ( 0R <R A -> A e. R. )
7		0r 8067	. . . . . 6 |- 0R e. R.
8		ltasrg 8087	. . . . . 6 |- ( ( 0R e. R. /\ B e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
9	7, 8	mp3an1 1361	. . . . 5 |- ( ( B e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
10	4, 6, 9	syl2anr 290	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( 0R <R B <-> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) ) )
11	1, 10	mpbid 147	. . 3 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) )
12	6	adantr 276	. . . 4 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> A e. R. )
13		0idsr 8084	. . . . 5 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
14	13	breq1d 4121	. . . 4 |- ( A e. R. -> ( ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) <-> A <R ( A +R B ) ) )
15	12, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> ( ( A +R 0R ) <R ( A +R B ) <-> A <R ( A +R B ) ) )
16	11, 15	mpbid 147	. 2 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> A <R ( A +R B ) )
17		ltsosr 8081	. . 3 |- <R Or R.
18	17, 2	sotri 5160	. 2 |- ( ( 0R <R A /\ A <R ( A +R B ) ) -> 0R <R ( A +R B ) )
19	16, 18	syldan 282	1 |- ( ( 0R <R A /\ 0R <R B ) -> 0R <R ( A +R B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   R.cnr 7614   0Rc0r 7615   +R cplr 7618   <R cltr 7620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-eprel 4412  df-id 4416  df-po 4419  df-iso 4420  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-1o 6649  df-2o 6650  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7621  df-pli 7622  df-mi 7623  df-lti 7624  df-plpq 7661  df-mpq 7662  df-enq 7664  df-nqqs 7665  df-plqqs 7666  df-mqqs 7667  df-1nqqs 7668  df-rq 7669  df-ltnqqs 7670  df-enq0 7741  df-nq0 7742  df-0nq0 7743  df-plq0 7744  df-mq0 7745  df-inp 7783  df-i1p 7784  df-iplp 7785  df-iltp 7787  df-enr 8043  df-nr 8044  df-plr 8045  df-ltr 8047  df-0r 8048

This theorem is referenced by: (None)