Theorem map2psrprg 7613

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	|- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7546	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
2	1	brel 4591	. . . . . 6 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) )
3	2	simprd 113	. . . . 5 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> A e. R. )
4	3	anim2i 339	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C e. R. /\ A e. R. ) )
5		simpr 109	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C +R -1R ) <R A )
6		m1r 7560	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> -1R e. R. )
8		simpl 108	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> C e. R. )
9		mulclsr 7562	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
10	8, 7, 9	syl2anc 408	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
11		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> A e. R. )
12		addclsr 7561	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
13	10, 11, 12	syl2anc 408	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
14		ltasrg 7578	. . . . . . 7 |- ( ( -1R e. R. /\ ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1216	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
16		pn0sr 7579	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( C +R ( C .R -1R ) ) = 0R )
17	16	oveq1d 5789	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. R. -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
18	17	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
19		addasssrg 7564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
21		0r 7558	. . . . . . . . . . 11 |- 0R e. R.
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> 0R e. R. )
23		addcomsrg 7563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0R e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
24	22, 11, 23	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2180	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = ( A +R 0R ) )
26		0idsr 7575	. . . . . . . . 9 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
27	26	adantl 275	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( A +R 0R ) = A )
28	25, 27	eqtrd 2172	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = A )
29	28	breq2d 3941	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
30	15, 29	bitrd 187	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
31	6, 9	mpan2 421	. . . . . . . 8 |- ( C e. R. -> ( C .R -1R ) e. R. )
32	31, 12	sylan 281	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
33		df-nr 7535	. . . . . . . 8 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
34		breq2 3933	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
35		eqeq2 2149	. . . . . . . . . 10 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
36	35	rexbidv 2438	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
37	34, 36	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) <-> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
38		df-m1r 7541	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
39	38	breq1i 3936	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R )
40		1pr 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1P e. P.
41		addassprg 7387	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
42	40, 40, 41	mp3an12 1305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
43	42	breq2d 3941	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
44	43	adantr 274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
45		addclpr 7345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
46	40, 40, 45	mp2an 422	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
47		ltsrprg 7555	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
48	40, 46, 47	mpanl12 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
49		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> z e. P. )
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> 1P e. P. )
51		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> y e. P. )
52		addclpr 7345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
53	50, 51, 52	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
54		ltaprg 7427	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ ( 1P +P. y ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
56	44, 48, 55	3bitr4d 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
57	39, 56	syl5bb 191	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
58		ltexpri 7421	. . . . . . . . . 10 |- ( z <P ( 1P +P. y ) -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) )
59	57, 58	syl6bi 162	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
60		enreceq 7544	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
61	40, 60	mpanl2 431	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
62	49	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> z e. P. )
63		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> x e. P. )
64		addcomprg 7386	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. P. /\ x e. P. ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
65	62, 63, 64	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
66	65	eqeq1d 2148	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
67	61, 66	bitr4d 190	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
68	67	ancoms 266	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. P. /\ z e. P. ) /\ x e. P. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
69	68	rexbidva 2434	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
70	59, 69	sylibrd 168	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) )
71	33, 37, 70	ecoptocl 6516	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
73		oveq2 5782	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
74	73, 28	sylan9eqr 2194	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. R. /\ A e. R. ) /\ [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
75	74	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
76	75	reximdv 2533	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
78	30, 77	sylbird 169	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
80	79	ex 114	. 2 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
81		mappsrprg 7612	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) )
82		breq2 3933	. . . . 5 |- ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
83	81, 82	syl5ibcom 154	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
84	83	ancoms 266	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ x e. P. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
85	84	rexlimdva 2549	. 2 |- ( C e. R. -> ( E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
86	80, 85	impbid 128	1 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   e. wcel 1480   E.wrex 2417   <.cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774   [cec 6427   P.cnp 7099   1Pc1p 7100   +P. cpp 7101   <P cltp 7103   ~R cer 7104   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   -1Rcm1r 7108   +R cplr 7109   .R cmr 7110   <R cltr 7111

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-enq0 7232  df-nq0 7233  df-0nq0 7234  df-plq0 7235  df-mq0 7236  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-iplp 7276  df-imp 7277  df-iltp 7278  df-enr 7534  df-nr 7535  df-plr 7536  df-mr 7537  df-ltr 7538  df-0r 7539  df-1r 7540  df-m1r 7541

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7614  suplocsrlempr  7615  suplocsrlem  7616