Theorem map2psrprg 8137

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	|- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 8070	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
2	1	brel 4808	. . . . . 6 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> A e. R. )
4	3	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C e. R. /\ A e. R. ) )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C +R -1R ) <R A )
6		m1r 8084	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> -1R e. R. )
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> C e. R. )
9		mulclsr 8086	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
10	8, 7, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
11		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> A e. R. )
12		addclsr 8085	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
14		ltasrg 8102	. . . . . . 7 |- ( ( -1R e. R. /\ ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1274	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
16		pn0sr 8103	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( C +R ( C .R -1R ) ) = 0R )
17	16	oveq1d 6074	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. R. -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
19		addasssrg 8088	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1274	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
21		0r 8082	. . . . . . . . . . 11 |- 0R e. R.
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> 0R e. R. )
23		addcomsrg 8087	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0R e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
24	22, 11, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2275	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = ( A +R 0R ) )
26		0idsr 8099	. . . . . . . . 9 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( A +R 0R ) = A )
28	25, 27	eqtrd 2267	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = A )
29	28	breq2d 4127	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
31	6, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( C e. R. -> ( C .R -1R ) e. R. )
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
33		df-nr 8059	. . . . . . . 8 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
34		breq2 4119	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
35		eqeq2 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
36	35	rexbidv 2545	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) <-> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
38		df-m1r 8065	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
39	38	breq1i 4122	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R )
40		1pr 7886	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1P e. P.
41		addassprg 7911	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
42	40, 40, 41	mp3an12 1364	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
43	42	breq2d 4127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
45		addclpr 7869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
46	40, 40, 45	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
47		ltsrprg 8079	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
48	40, 46, 47	mpanl12 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> z e. P. )
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> 1P e. P. )
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> y e. P. )
52		addclpr 7869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
54		ltaprg 7951	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ ( 1P +P. y ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1274	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
58		ltexpri 7945	. . . . . . . . . 10 |- ( z <P ( 1P +P. y ) -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) )
59	57, 58	biimtrdi 163	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
60		enreceq 8068	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
61	40, 60	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> z e. P. )
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> x e. P. )
64		addcomprg 7910	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. P. /\ x e. P. ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
66	65	eqeq1d 2243	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. P. /\ z e. P. ) /\ x e. P. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
69	68	rexbidva 2541	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) )
71	33, 37, 70	ecoptocl 6870	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
73		oveq2 6067	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
74	73, 28	sylan9eqr 2289	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. R. /\ A e. R. ) /\ [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
75	74	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
76	75	reximdv 2645	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
80	79	ex 115	. 2 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
81		mappsrprg 8136	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) )
82		breq2 4119	. . . . 5 |- ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
84	83	ancoms 268	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ x e. P. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
85	84	rexlimdva 2662	. 2 |- ( C e. R. -> ( E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
86	80, 85	impbid 129	1 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   E.wrex 2523   <.cop 3698   class class class wbr 4115  (class class class)co 6059   [cec 6779   P.cnp 7623   1Pc1p 7624   +P. cpp 7625   <P cltp 7627   ~R cer 7628   R.cnr 7629   0Rc0r 7630   -1Rcm1r 7632   +R cplr 7633   .R cmr 7634   <R cltr 7635

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4231  ax-sep 4234  ax-nul 4242  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4665  ax-iinf 4716

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-iun 3999  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-tr 4215  df-eprel 4416  df-id 4420  df-po 4423  df-iso 4424  df-iord 4493  df-on 4495  df-suc 4498  df-iom 4719  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-ov 6062  df-oprab 6063  df-mpo 6064  df-1st 6348  df-2nd 6349  df-recs 6550  df-irdg 6615  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-omul 6666  df-er 6781  df-ec 6783  df-qs 6787  df-ni 7636  df-pli 7637  df-mi 7638  df-lti 7639  df-plpq 7676  df-mpq 7677  df-enq 7679  df-nqqs 7680  df-plqqs 7681  df-mqqs 7682  df-1nqqs 7683  df-rq 7684  df-ltnqqs 7685  df-enq0 7756  df-nq0 7757  df-0nq0 7758  df-plq0 7759  df-mq0 7760  df-inp 7798  df-i1p 7799  df-iplp 7800  df-imp 7801  df-iltp 7802  df-enr 8058  df-nr 8059  df-plr 8060  df-mr 8061  df-ltr 8062  df-0r 8063  df-1r 8064  df-m1r 8065

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  8138  suplocsrlempr  8139  suplocsrlem  8140