ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  map2psrprg Unicode version

Theorem map2psrprg 7767
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
map2psrprg  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  <->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C

Proof of Theorem map2psrprg
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 7700 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
21brel 4663 . . . . . 6  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  ( ( C  +R  -1R )  e. 
R.  /\  A  e.  R. ) )
32simprd 113 . . . . 5  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  A  e.  R. )
43anim2i 340 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
5 simpr 109 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A )
6 m1r 7714 . . . . . . . 8  |-  -1R  e.  R.
76a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  -1R  e.  R. )
8 simpl 108 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  C  e.  R. )
9 mulclsr 7716 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( C  .R  -1R )  e.  R. )
108, 7, 9syl2anc 409 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  .R  -1R )  e.  R. )
11 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  A  e.  R. )
12 addclsr 7715 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .R  -1R )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  e. 
R. )
1310, 11, 12syl2anc 409 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R. )
14 ltasrg 7732 . . . . . . 7  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
157, 13, 8, 14syl3anc 1233 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
16 pn0sr 7733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  =  0R )
1716oveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  +R  A )  =  ( 0R  +R  A
) )
1817adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  ( C  .R  -1R )
)  +R  A )  =  ( 0R  +R  A ) )
19 addasssrg 7718 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  .R  -1R )  e.  R.  /\  A  e. 
R. )  ->  (
( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  +R  A )  =  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
208, 10, 11, 19syl3anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  ( C  .R  -1R )
)  +R  A )  =  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
21 0r 7712 . . . . . . . . . . 11  |-  0R  e.  R.
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  0R  e.  R. )
23 addcomsrg 7717 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  +R  A
)  =  ( A  +R  0R ) )
2422, 11, 23syl2anc 409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  +R  A
)  =  ( A  +R  0R ) )
2518, 20, 243eqtr3d 2211 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) )  =  ( A  +R  0R ) )
26 0idsr 7729 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
2726adantl 275 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
2825, 27eqtrd 2203 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) )  =  A )
2928breq2d 4001 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
3015, 29bitrd 187 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
316, 9mpan2 423 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  .R  -1R )  e. 
R. )
3231, 12sylan 281 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R. )
33 df-nr 7689 . . . . . . . 8  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
34 breq2 3993 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  -1R 
<R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
35 eqeq2 2180 . . . . . . . . . 10  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
3635rexbidv 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  E. x  e.  P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
3734, 36imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  (
( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ) 
<->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
38 df-m1r 7695 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
3938breq1i 3996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
<R  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  )
40 1pr 7516 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1P  e.  P.
41 addassprg 7541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) )
4240, 40, 41mp3an12 1322 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) )
4342breq2d 4001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( 1P  +P.  z
)  <P  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  y
)  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
4443adantr 274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
45 addclpr 7499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
4640, 40, 45mp2an 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
47 ltsrprg 7709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y ) ) )
4840, 46, 47mpanl12 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y ) ) )
49 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  z  e.  P. )
5040a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  1P  e.  P. )
51 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  y  e.  P. )
52 addclpr 7499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  y
)  e.  P. )
5350, 51, 52syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  y
)  e.  P. )
54 ltaprg 7581 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  y )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
z  <P  ( 1P  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
5549, 53, 50, 54syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( z  <P  ( 1P  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
5644, 48, 553bitr4d 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  <->  z  <P  ( 1P  +P.  y ) ) )
5739, 56syl5bb 191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  z 
<P  ( 1P  +P.  y
) ) )
58 ltexpri 7575 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
<P  ( 1P  +P.  y
)  ->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) )
5957, 58syl6bi 162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x
)  =  ( 1P 
+P.  y ) ) )
60 enreceq 7698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6140, 60mpanl2 433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6249adantl 275 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  z  e.  P. )
63 simpl 108 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  x  e.  P. )
64 addcomprg 7540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( z  +P.  x
)  =  ( x  +P.  z ) )
6562, 63, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( z  +P.  x )  =  ( x  +P.  z ) )
6665eqeq1d 2179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( (
z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y )  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6761, 66bitr4d 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6867ancoms 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  x  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6968rexbidva 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( E. x  e. 
P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
7059, 69sylibrd 168 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ) )
7133, 37, 70ecoptocl 6600 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  e. 
R.  ->  ( -1R  <R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
7232, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
73 oveq2 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
7473, 28sylan9eqr 2225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  /\  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) )  ->  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
7574ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  ->  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
7675reximdv 2571 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( E. x  e. 
P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
7772, 76syld 45 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
)
7830, 77sylbird 169 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
)
794, 5, 78sylc 62 . . 3  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
8079ex 114 . 2  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
81 mappsrprg 7766 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  ) )
82 breq2 3993 . . . . 5  |-  ( ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8381, 82syl5ibcom 154 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8483ancoms 266 . . 3  |-  ( ( C  e.  R.  /\  x  e.  P. )  ->  ( ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8584rexlimdva 2587 . 2  |-  ( C  e.  R.  ->  ( E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8680, 85impbid 128 1  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  <->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   [cec 6511   P.cnp 7253   1Pc1p 7254    +P. cpp 7255    <P cltp 7257    ~R cer 7258   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   -1Rcm1r 7262    +R cplr 7263    .R cmr 7264    <R cltr 7265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7768  suplocsrlempr  7769  suplocsrlem  7770
  Copyright terms: Public domain W3C validator