ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  map2psrprg Unicode version

Theorem map2psrprg 7821
Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
map2psrprg  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  <->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, C

Proof of Theorem map2psrprg
Dummy variables  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelsr 7754 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
21brel 4692 . . . . . 6  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  ( ( C  +R  -1R )  e. 
R.  /\  A  e.  R. ) )
32simprd 114 . . . . 5  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  A  e.  R. )
43anim2i 342 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. ) )
5 simpr 110 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A )
6 m1r 7768 . . . . . . . 8  |-  -1R  e.  R.
76a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  -1R  e.  R. )
8 simpl 109 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  C  e.  R. )
9 mulclsr 7770 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( C  .R  -1R )  e.  R. )
108, 7, 9syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  .R  -1R )  e.  R. )
11 simpr 110 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  A  e.  R. )
12 addclsr 7769 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  .R  -1R )  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  e. 
R. )
1310, 11, 12syl2anc 411 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R. )
14 ltasrg 7786 . . . . . . 7  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
157, 13, 8, 14syl3anc 1248 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
16 pn0sr 7787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  =  0R )
1716oveq1d 5905 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  +R  A )  =  ( 0R  +R  A
) )
1817adantr 276 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  ( C  .R  -1R )
)  +R  A )  =  ( 0R  +R  A ) )
19 addasssrg 7772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  .R  -1R )  e.  R.  /\  A  e. 
R. )  ->  (
( C  +R  ( C  .R  -1R ) )  +R  A )  =  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
208, 10, 11, 19syl3anc 1248 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  ( C  .R  -1R )
)  +R  A )  =  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
21 0r 7766 . . . . . . . . . . 11  |-  0R  e.  R.
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  0R  e.  R. )
23 addcomsrg 7771 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  +R  A
)  =  ( A  +R  0R ) )
2422, 11, 23syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( 0R  +R  A
)  =  ( A  +R  0R ) )
2518, 20, 243eqtr3d 2229 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) )  =  ( A  +R  0R ) )
26 0idsr 7783 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  R.  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
2726adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( A  +R  0R )  =  A )
2825, 27eqtrd 2221 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( C  +R  (
( C  .R  -1R )  +R  A ) )  =  A )
2928breq2d 4029 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
3015, 29bitrd 188 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
316, 9mpan2 425 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  .R  -1R )  e. 
R. )
3231, 12sylan 283 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  e.  R. )
33 df-nr 7743 . . . . . . . 8  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
34 breq2 4021 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  -1R 
<R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
35 eqeq2 2198 . . . . . . . . . 10  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
3635rexbidv 2490 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  E. x  e.  P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
3734, 36imbi12d 234 . . . . . . . 8  |-  ( [
<. y ,  z >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  (
( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ) 
<->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) ) )
38 df-m1r 7749 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  =  [ <. 1P ,  ( 1P  +P.  1P )
>. ]  ~R
3938breq1i 4024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -1R 
<R  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  )
40 1pr 7570 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1P  e.  P.
41 addassprg 7595 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) )
4240, 40, 41mp3an12 1337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  =  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) )
4342breq2d 4029 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( 1P  +P.  z
)  <P  ( ( 1P 
+P.  1P )  +P.  y
)  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
4443adantr 276 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
45 addclpr 7553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  -> 
( 1P  +P.  1P )  e.  P. )
4640, 40, 45mp2an 426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1P 
+P.  1P )  e.  P.
47 ltsrprg 7763 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  1P )  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. 1P ,  ( 1P 
+P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y ) ) )
4840, 46, 47mpanl12 436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  (
( 1P  +P.  1P )  +P.  y ) ) )
49 simpr 110 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  z  e.  P. )
5040a1i 9 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  1P  e.  P. )
51 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  y  e.  P. )
52 addclpr 7553 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1P  e.  P.  /\  y  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  y
)  e.  P. )
5350, 51, 52syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( 1P  +P.  y
)  e.  P. )
54 ltaprg 7635 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  P.  /\  ( 1P  +P.  y )  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  (
z  <P  ( 1P  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
5549, 53, 50, 54syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( z  <P  ( 1P  +P.  y )  <->  ( 1P  +P.  z )  <P  ( 1P  +P.  ( 1P  +P.  y ) ) ) )
5644, 48, 553bitr4d 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P , 
( 1P  +P.  1P ) >. ]  ~R  <R  [
<. y ,  z >. ]  ~R  <->  z  <P  ( 1P  +P.  y ) ) )
5739, 56bitrid 192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  z 
<P  ( 1P  +P.  y
) ) )
58 ltexpri 7629 . . . . . . . . . 10  |-  ( z 
<P  ( 1P  +P.  y
)  ->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) )
5957, 58biimtrdi 163 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x
)  =  ( 1P 
+P.  y ) ) )
60 enreceq 7752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6140, 60mpanl2 435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6249adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  z  e.  P. )
63 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  x  e.  P. )
64 addcomprg 7594 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  P.  /\  x  e.  P. )  ->  ( z  +P.  x
)  =  ( x  +P.  z ) )
6562, 63, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( z  +P.  x )  =  ( x  +P.  z ) )
6665eqeq1d 2197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( (
z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y )  <->  ( x  +P.  z )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6761, 66bitr4d 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  P.  /\  ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )
)  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  <->  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6867ancoms 268 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  /\  x  e.  P. )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
6968rexbidva 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( E. x  e. 
P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z
>. ]  ~R  <->  E. x  e.  P.  ( z  +P.  x )  =  ( 1P  +P.  y ) ) )
7059, 69sylibrd 169 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  P.  /\  z  e.  P. )  ->  ( -1R  <R  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. y ,  z >. ]  ~R  ) )
7133, 37, 70ecoptocl 6639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  e. 
R.  ->  ( -1R  <R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
7232, 71syl 14 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) ) )
73 oveq2 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( [
<. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
) ) )
7473, 28sylan9eqr 2243 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  /\  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A ) )  ->  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
7574ex 115 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  ->  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
7675reximdv 2590 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( E. x  e. 
P.  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  =  ( ( C  .R  -1R )  +R  A
)  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
7772, 76syld 45 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  (
( C  .R  -1R )  +R  A )  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
)
7830, 77sylbird 170 . . . 4  |-  ( ( C  e.  R.  /\  A  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  A  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
)
794, 5, 78sylc 62 . . 3  |-  ( ( C  e.  R.  /\  ( C  +R  -1R )  <R  A )  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A )
8079ex 115 . 2  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  ->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
81 mappsrprg 7820 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  ) )
82 breq2 4021 . . . . 5  |-  ( ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8381, 82syl5ibcom 155 . . . 4  |-  ( ( x  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8483ancoms 268 . . 3  |-  ( ( C  e.  R.  /\  x  e.  P. )  ->  ( ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8584rexlimdva 2606 . 2  |-  ( C  e.  R.  ->  ( E. x  e.  P.  ( C  +R  [ <. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A  ->  ( C  +R  -1R )  <R  A ) )
8680, 85impbid 129 1  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  A  <->  E. x  e.  P.  ( C  +R  [
<. x ,  1P >. ]  ~R  )  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1363    e. wcel 2159   E.wrex 2468   <.cop 3609   class class class wbr 4017  (class class class)co 5890   [cec 6550   P.cnp 7307   1Pc1p 7308    +P. cpp 7309    <P cltp 7311    ~R cer 7312   R.cnr 7313   0Rc0r 7314   -1Rcm1r 7316    +R cplr 7317    .R cmr 7318    <R cltr 7319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-coll 4132  ax-sep 4135  ax-nul 4143  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-iinf 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-reu 2474  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-csb 3072  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-iun 3902  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4116  df-eprel 4303  df-id 4307  df-po 4310  df-iso 4311  df-iord 4380  df-on 4382  df-suc 4385  df-iom 4604  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-ima 4653  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fn 5233  df-f 5234  df-f1 5235  df-fo 5236  df-f1o 5237  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-1st 6158  df-2nd 6159  df-recs 6323  df-irdg 6388  df-1o 6434  df-2o 6435  df-oadd 6438  df-omul 6439  df-er 6552  df-ec 6554  df-qs 6558  df-ni 7320  df-pli 7321  df-mi 7322  df-lti 7323  df-plpq 7360  df-mpq 7361  df-enq 7363  df-nqqs 7364  df-plqqs 7365  df-mqqs 7366  df-1nqqs 7367  df-rq 7368  df-ltnqqs 7369  df-enq0 7440  df-nq0 7441  df-0nq0 7442  df-plq0 7443  df-mq0 7444  df-inp 7482  df-i1p 7483  df-iplp 7484  df-imp 7485  df-iltp 7486  df-enr 7742  df-nr 7743  df-plr 7744  df-mr 7745  df-ltr 7746  df-0r 7747  df-1r 7748  df-m1r 7749
This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7822  suplocsrlempr  7823  suplocsrlem  7824
  Copyright terms: Public domain W3C validator