Theorem map2psrprg 7803

Description: Equivalence for positive signed real. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
map2psrprg	|- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Proof of Theorem map2psrprg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelsr 7736	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
2	1	brel 4678	. . . . . 6 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> ( ( C +R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) )
3	2	simprd 114	. . . . 5 |- ( ( C +R -1R ) <R A -> A e. R. )
4	3	anim2i 342	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C e. R. /\ A e. R. ) )
5		simpr 110	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> ( C +R -1R ) <R A )
6		m1r 7750	. . . . . . . 8 |- -1R e. R.
7	6	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> -1R e. R. )
8		simpl 109	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> C e. R. )
9		mulclsr 7752	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
10	8, 7, 9	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C .R -1R ) e. R. )
11		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> A e. R. )
12		addclsr 7751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
13	10, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
14		ltasrg 7768	. . . . . . 7 |- ( ( -1R e. R. /\ ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
15	7, 13, 8, 14	syl3anc 1238	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
16		pn0sr 7769	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( C +R ( C .R -1R ) ) = 0R )
17	16	oveq1d 5889	. . . . . . . . . 10 |- ( C e. R. -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
18	17	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( 0R +R A ) )
19		addasssrg 7754	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ ( C .R -1R ) e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
20	8, 10, 11, 19	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R ( C .R -1R ) ) +R A ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
21		0r 7748	. . . . . . . . . . 11 |- 0R e. R.
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> 0R e. R. )
23		addcomsrg 7753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 0R e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
24	22, 11, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( 0R +R A ) = ( A +R 0R ) )
25	18, 20, 24	3eqtr3d 2218	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = ( A +R 0R ) )
26		0idsr 7765	. . . . . . . . 9 |- ( A e. R. -> ( A +R 0R ) = A )
27	26	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( A +R 0R ) = A )
28	25, 27	eqtrd 2210	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) = A )
29	28	breq2d 4015	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
30	15, 29	bitrd 188	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
31	6, 9	mpan2 425	. . . . . . . 8 |- ( C e. R. -> ( C .R -1R ) e. R. )
32	31, 12	sylan 283	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. )
33		df-nr 7725	. . . . . . . 8 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
34		breq2 4007	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
35		eqeq2 2187	. . . . . . . . . 10 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
36	35	rexbidv 2478	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
37	34, 36	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( [ <. y , z >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) <-> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) ) )
38		df-m1r 7731	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R = [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R
39	38	breq1i 4010	. . . . . . . . . . 11 |- ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R )
40		1pr 7552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1P e. P.
41		addassprg 7577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
42	40, 40, 41	mp3an12 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) = ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) )
43	42	breq2d 4015	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. P. -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
44	43	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
45		addclpr 7535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( 1P +P. 1P ) e. P. )
46	40, 40, 45	mp2an 426	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1P +P. 1P ) e. P.
47		ltsrprg 7745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1P e. P. /\ ( 1P +P. 1P ) e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
48	40, 46, 47	mpanl12 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> ( 1P +P. z ) <P ( ( 1P +P. 1P ) +P. y ) ) )
49		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> z e. P. )
50	40	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> 1P e. P. )
51		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> y e. P. )
52		addclpr 7535	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 1P e. P. /\ y e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
53	50, 51, 52	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( 1P +P. y ) e. P. )
54		ltaprg 7617	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. P. /\ ( 1P +P. y ) e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
55	49, 53, 50, 54	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( z <P ( 1P +P. y ) <-> ( 1P +P. z ) <P ( 1P +P. ( 1P +P. y ) ) ) )
56	44, 48, 55	3bitr4d 220	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( [ <. 1P , ( 1P +P. 1P ) >. ] ~R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
57	39, 56	bitrid 192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R <-> z <P ( 1P +P. y ) ) )
58		ltexpri 7611	. . . . . . . . . 10 |- ( z <P ( 1P +P. y ) -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) )
59	57, 58	syl6bi 163	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
60		enreceq 7734	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( x e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
61	40, 60	mpanl2 435	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
62	49	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> z e. P. )
63		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> x e. P. )
64		addcomprg 7576	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( z e. P. /\ x e. P. ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
65	62, 63, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( z +P. x ) = ( x +P. z ) )
66	65	eqeq1d 2186	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) <-> ( x +P. z ) = ( 1P +P. y ) ) )
67	61, 66	bitr4d 191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. P. /\ ( y e. P. /\ z e. P. ) ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
68	67	ancoms 268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( y e. P. /\ z e. P. ) /\ x e. P. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
69	68	rexbidva 2474	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R <-> E. x e. P. ( z +P. x ) = ( 1P +P. y ) ) )
70	59, 69	sylibrd 169	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. P. /\ z e. P. ) -> ( -1R <R [ <. y , z >. ] ~R -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = [ <. y , z >. ] ~R ) )
71	33, 37, 70	ecoptocl 6621	. . . . . . 7 |- ( ( ( C .R -1R ) +R A ) e. R. -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
72	32, 71	syl 14	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
73		oveq2 5882	. . . . . . . . 9 |- ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = ( C +R ( ( C .R -1R ) +R A ) ) )
74	73, 28	sylan9eqr 2232	. . . . . . . 8 |- ( ( ( C e. R. /\ A e. R. ) /\ [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
75	74	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
76	75	reximdv 2578	. . . . . 6 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( E. x e. P. [ <. x , 1P >. ] ~R = ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
77	72, 76	syld 45	. . . . 5 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( -1R <R ( ( C .R -1R ) +R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
78	30, 77	sylbird 170	. . . 4 |- ( ( C e. R. /\ A e. R. ) -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
79	4, 5, 78	sylc 62	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ ( C +R -1R ) <R A ) -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A )
80	79	ex 115	. 2 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A -> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )
81		mappsrprg 7802	. . . . 5 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) )
82		breq2 4007	. . . . 5 |- ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( ( C +R -1R ) <R ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R -1R ) <R A ) )
83	81, 82	syl5ibcom 155	. . . 4 |- ( ( x e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
84	83	ancoms 268	. . 3 |- ( ( C e. R. /\ x e. P. ) -> ( ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
85	84	rexlimdva 2594	. 2 |- ( C e. R. -> ( E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A -> ( C +R -1R ) <R A ) )
86	80, 85	impbid 129	1 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R A <-> E. x e. P. ( C +R [ <. x , 1P >. ] ~R ) = A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   E.wrex 2456   <.cop 3595   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874   [cec 6532   P.cnp 7289   1Pc1p 7290   +P. cpp 7291   <P cltp 7293   ~R cer 7294   R.cnr 7295   0Rc0r 7296   -1Rcm1r 7298   +R cplr 7299   .R cmr 7300   <R cltr 7301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-nul 4129  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-iinf 4587

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-tr 4102  df-eprel 4289  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-iord 4366  df-on 4368  df-suc 4371  df-iom 4590  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-1st 6140  df-2nd 6141  df-recs 6305  df-irdg 6370  df-1o 6416  df-2o 6417  df-oadd 6420  df-omul 6421  df-er 6534  df-ec 6536  df-qs 6540  df-ni 7302  df-pli 7303  df-mi 7304  df-lti 7305  df-plpq 7342  df-mpq 7343  df-enq 7345  df-nqqs 7346  df-plqqs 7347  df-mqqs 7348  df-1nqqs 7349  df-rq 7350  df-ltnqqs 7351  df-enq0 7422  df-nq0 7423  df-0nq0 7424  df-plq0 7425  df-mq0 7426  df-inp 7464  df-i1p 7465  df-iplp 7466  df-imp 7467  df-iltp 7468  df-enr 7724  df-nr 7725  df-plr 7726  df-mr 7727  df-ltr 7728  df-0r 7729  df-1r 7730  df-m1r 7731

This theorem is referenced by:  suplocsrlemb  7804  suplocsrlempr  7805  suplocsrlem  7806