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Theorem suplocsrlem 7609
Description: Lemma for suplocsr 7610. The set  A has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsrlem.b  |-  B  =  { w  e.  P.  |  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
suplocsrlem.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  R. )
suplocsrlem.c  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
suplocsrlem.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
suplocsrlem.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocsrlem  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable groups:    w, A, x, y, z    w, B, y, z, x    w, C, y, z, x    ph, w, y, x, z

Proof of Theorem suplocsrlem
Dummy variables  b  u  v  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocsrlem.b . . 3  |-  B  =  { w  e.  P.  |  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
2 suplocsrlem.ss . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  R. )
3 suplocsrlem.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
4 suplocsrlem.ub . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
5 suplocsrlem.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
61, 2, 3, 4, 5suplocsrlempr 7608 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
7 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  v  e. 
P. )
82, 3sseldd 3093 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  R. )
98adantr 274 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  C  e. 
R. )
10 mappsrprg 7605 . . . . . . 7  |-  ( ( v  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
117, 9, 10syl2anc 408 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
12 ltrelsr 7539 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
1312brel 4586 . . . . . 6  |-  ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
1411, 13syl 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( ( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. ) )
1514simprd 113 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R. )
16 breq2 3928 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  a  ->  (
v  <P  w  <->  v  <P  a ) )
1716notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( w  =  a  ->  ( -.  v  <P  w  <->  -.  v  <P  a ) )
1817cbvralv 2652 . . . . . 6  |-  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  <->  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )
19 ltsosr 7565 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <R  Or  R.
2019, 12sotri 4929 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
y )
2111, 20sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  ( C  +R  -1R )  <R 
y )
229adantr 274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  C  e.  R. )
23 map2psrprg 7606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y ) )
2422, 23syl 14 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y ) )
2521, 24mpbid 146 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
2625adantlr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
)  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
2726adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y )  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
28 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y )
29 simprr 521 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
3028, 29breqtrrd 3951 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  ) )
317ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  v  e.  P. )
32 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  w  e.  P. )
339ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  C  e.  R. )
34 ltpsrprg 7604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( v  e.  P.  /\  w  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v 
<P  w ) )
3531, 32, 33, 34syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <->  v  <P  w ) )
3630, 35mpbid 146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  v  <P  w )
37 equcom 1682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  a  <->  a  =  w )
38 bicom 139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -.  v  <P  w  <->  -.  v  <P  a )  <->  ( -.  v  <P  a  <->  -.  v  <P  w )
)
3917, 37, 383imtr3i 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  w  ->  ( -.  v  <P  a  <->  -.  v  <P  w ) )
40 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )
41 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  y  e.  A )
4229, 41eqeltrd 2214 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
431rabeq2i 2678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A ) )
4432, 42, 43sylanbrc 413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  w  e.  B )
4539, 40, 44rspcdva 2789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  ->  -.  v  <P  w )
4636, 45pm2.21fal 1351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )  /\  (
w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)  -> F.  )
4727, 46rexlimddv 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A
)  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y )  -> F.  )
4847inegd 1350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y )
4948ralrimiva 2503 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. a  e.  B  -.  v  <P  a )  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y
)
5049ex 114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. a  e.  B  -.  v  <P  a  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
5118, 50syl5bi 151 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  ->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
52 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w
( ph  /\  v  e.  P. )
53 nfra1 2464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ w A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )
5452, 53nfan 1544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w
( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )
55 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w  y  e.  R.
5654, 55nfan 1544 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )
57 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )
5856, 57nfan 1544 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)
59 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w
( C  +R  -1R )  <R  y
6058, 59nfan 1544 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w
( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y )
61 simp-6r 535 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )
62 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  w  e.  P. )
63 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
64 simp-4r 531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
6563, 64eqbrtrd 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)
66 simp-7r 537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
v  e.  P. )
679ad4antr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  ->  C  e.  R. )
6867ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  C  e.  R. )
69 ltpsrprg 7604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w 
<P  v ) )
7062, 66, 68, 69syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  -> 
( ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w 
<P  v ) )
7165, 70mpbid 146 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  w  <P  v )
72 rsp 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  ( w  e.  P.  ->  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
7361, 62, 71, 72syl3c 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )
74 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  b  ->  (
w  <P  u  <->  w  <P  b ) )
7574cbvrexv 2653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. u  e.  B  w 
<P  u  <->  E. b  e.  B  w  <P  b )
7673, 75sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. b  e.  B  w  <P  b )
77 simprl 520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  b  e.  B )
78 opeq1 3700 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  b  ->  <. w ,  1P >.  =  <. b ,  1P >. )
7978eceq1d 6458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  b  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )
8079oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  b  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  [
<. b ,  1P >. ]  ~R  ) )
8180eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  b  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
8281, 1elrab2 2838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  B  <->  ( b  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A ) )
8377, 82sylib 121 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  ( b  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A ) )
8483simprd 113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
85 simplr 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
86 simprr 521 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  w  <P  b )
87 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  w  e.  P. )
8883simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  b  e.  P. )
8967ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  C  e.  R. )
90 ltpsrprg 7604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  P.  /\  b  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w 
<P  b ) )
9187, 88, 89, 90syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  ( ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w  <P  b ) )
9286, 91mpbird 166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  ) )
9385, 92eqbrtrrd 3947 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  y  <R  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  ) )
94 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( C  +R  [
<. b ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  z  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
9594rspcev 2784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
9684, 93, 95syl2anc 408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  /\  ( b  e.  B  /\  w  <P  b ) )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
9776, 96rexlimddv 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  /\  w  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
98 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  ->  ( C  +R  -1R )  <R  y
)
9967, 23syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  <->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
)
10098, 99mpbid 146 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  ->  E. w  e.  P.  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  y )
10160, 97, 100r19.29af 2571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  ( C  +R  -1R )  <R  y
)  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
1023ad5antr 487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  y  <R  C )  ->  C  e.  A )
103 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  C  ->  (
y  <R  z  <->  y  <R  C ) )
104103rspcev 2784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  A  /\  y  <R  C )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
105102, 104sylancom 416 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  /\  y  <R  C )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
106 ltm1sr 7578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  -1R )  <R  C )
1078, 106syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  +R  -1R )  <R  C )
108107ad4antr 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  ( C  +R  -1R )  <R  C )
1099ad3antrrr 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  C  e.  R. )
110 m1r 7553 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  e.  R.
111 addclsr 7554 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( C  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  -> 
( C  +R  -1R )  e.  R. )
112109, 110, 111sylancl 409 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  ( C  +R  -1R )  e.  R. )
113 simplr 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  y  e.  R. )
114 sowlin 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 
<R  Or  R.  /\  (
( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  C  e.  R.  /\  y  e. 
R. ) )  -> 
( ( C  +R  -1R )  <R  C  -> 
( ( C  +R  -1R )  <R  y  \/  y  <R  C )
) )
11519, 114mpan 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  e.  R.  /\  C  e.  R.  /\  y  e. 
R. )  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  C  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  y  \/  y  <R  C ) ) )
116112, 109, 113, 115syl3anc 1216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  C  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  \/  y  <R  C ) ) )
117108, 116mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R 
y  \/  y  <R  C ) )
118101, 105, 117mpjaodan 787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  /\  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )
119118ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  /\  y  e.  R. )  ->  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
120119ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )
121120ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u )  ->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
12251, 121anim12d 333 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
123 breq1 3927 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
x  <R  y  <->  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
y ) )
124123notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( -.  x  <R  y  <->  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
125124ralbidv 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  <->  A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y ) )
126 breq2 3928 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  x  <->  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
127126imbi1d 230 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
128127ralbidv 2435 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  ( A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z )  <->  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
129125, 128anbi12d 464 . . . . 5  |-  ( x  =  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e. 
R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) )  <-> 
( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
130129rspcev 2784 . . . 4  |-  ( ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  e.  R.  /\  ( A. y  e.  A  -.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
13115, 122, 130syl6an 1410 . . 3  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
132131rexlimdva 2547 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. v  e. 
P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  ( w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) ) )
1336, 132mpd 13 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    /\ w3a 962    = wceq 1331   F. wfal 1336    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924    Or wor 4212  (class class class)co 5767   [cec 6420   P.cnp 7092   1Pc1p 7093    <P cltp 7096    ~R cer 7097   R.cnr 7098   -1Rcm1r 7101    +R cplr 7102    <R cltr 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534
This theorem is referenced by:  suplocsr  7610
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