Theorem addcmpblnr 8106

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnr	|- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6094	. 2 |- ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
2		addclpr 7904	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. ) -> ( A +P. F ) e. P. )
3		addclpr 7904	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. ) -> ( B +P. G ) e. P. )
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ F e. P. ) /\ ( B e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
5	4	an4s 596	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
6		addclpr 7904	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ R e. P. ) -> ( C +P. R ) e. P. )
7		addclpr 7904	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ S e. P. ) -> ( D +P. S ) e. P. )
8	6, 7	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. P. /\ R e. P. ) /\ ( D e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
9	8	an4s 596	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
10	5, 9	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) /\ ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
11	10	an4s 596	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
12		enrbreq 8101	. . . 4 |- ( ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
14		simprll 543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> F e. P. )
15		simplrr 542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> D e. P. )
16		addcomprg 7945	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
18	17	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( ( D +P. F ) +P. S ) )
19		simprrr 546	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> S e. P. )
20		addassprg 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
21	14, 15, 19, 20	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
22		addassprg 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ F e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
23	15, 14, 19, 22	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
24	18, 21, 23	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. ( D +P. S ) ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
25	24	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
26		simplll 539	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> A e. P. )
27	15, 19, 7	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( D +P. S ) e. P. )
28		addassprg 7946	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
29	26, 14, 27, 28	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
30		addclpr 7904	. . . . . . 7 |- ( ( F e. P. /\ S e. P. ) -> ( F +P. S ) e. P. )
31	14, 19, 30	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. S ) e. P. )
32		addassprg 7946	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ D e. P. /\ ( F +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
33	26, 15, 31, 32	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
34	25, 29, 33	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) )
35		simprlr 544	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> G e. P. )
36		simplrl 541	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> C e. P. )
37		addcomprg 7945	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
39	38	oveq1d 6100	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( ( C +P. G ) +P. R ) )
40		simprrl 545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> R e. P. )
41		addassprg 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
43		addassprg 7946	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ G e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
44	36, 35, 40, 43	syl3anc 1278	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
45	39, 42, 44	3eqtr3d 2279	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. ( C +P. R ) ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
46	45	oveq2d 6101	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
47		simpllr 540	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> B e. P. )
48	36, 40, 6	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( C +P. R ) e. P. )
49		addassprg 7946	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. /\ ( C +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
50	47, 35, 48, 49	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
51		addclpr 7904	. . . . . . 7 |- ( ( G e. P. /\ R e. P. ) -> ( G +P. R ) e. P. )
52	35, 40, 51	syl2anc 415	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. R ) e. P. )
53		addassprg 7946	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. /\ ( G +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
54	47, 36, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
55	46, 50, 54	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
56	34, 55	eqeq12d 2253	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
57	13, 56	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
58	1, 57	imbitrrid 156	1 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3712   class class class wbr 4130  (class class class)co 6085   P.cnp 7658   +P. cpp 7660   ~R cer 7663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-eprel 4434  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-irdg 6641  df-1o 6687  df-2o 6688  df-oadd 6691  df-omul 6692  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-ni 7671  df-pli 7672  df-mi 7673  df-lti 7674  df-plpq 7711  df-mpq 7712  df-enq 7714  df-nqqs 7715  df-plqqs 7716  df-mqqs 7717  df-1nqqs 7718  df-rq 7719  df-ltnqqs 7720  df-enq0 7791  df-nq0 7792  df-0nq0 7793  df-plq0 7794  df-mq0 7795  df-inp 7833  df-iplp 7835  df-enr 8093

This theorem is used by:  addsrmo  8110