Theorem addcmpblnr 7659

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnr	|- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5833	. 2 |- ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
2		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. ) -> ( A +P. F ) e. P. )
3		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. ) -> ( B +P. G ) e. P. )
4	2, 3	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ F e. P. ) /\ ( B e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
5	4	an4s 578	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
6		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ R e. P. ) -> ( C +P. R ) e. P. )
7		addclpr 7457	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ S e. P. ) -> ( D +P. S ) e. P. )
8	6, 7	anim12i 336	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. P. /\ R e. P. ) /\ ( D e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
9	8	an4s 578	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
10	5, 9	anim12i 336	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) /\ ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
11	10	an4s 578	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
12		enrbreq 7654	. . . 4 |- ( ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
14		simprll 527	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> F e. P. )
15		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> D e. P. )
16		addcomprg 7498	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
18	17	oveq1d 5839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( ( D +P. F ) +P. S ) )
19		simprrr 530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> S e. P. )
20		addassprg 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
21	14, 15, 19, 20	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
22		addassprg 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ F e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
23	15, 14, 19, 22	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
24	18, 21, 23	3eqtr3d 2198	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. ( D +P. S ) ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
25	24	oveq2d 5840	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
26		simplll 523	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> A e. P. )
27	15, 19, 7	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( D +P. S ) e. P. )
28		addassprg 7499	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
29	26, 14, 27, 28	syl3anc 1220	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
30		addclpr 7457	. . . . . . 7 |- ( ( F e. P. /\ S e. P. ) -> ( F +P. S ) e. P. )
31	14, 19, 30	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. S ) e. P. )
32		addassprg 7499	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ D e. P. /\ ( F +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
33	26, 15, 31, 32	syl3anc 1220	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
34	25, 29, 33	3eqtr4d 2200	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) )
35		simprlr 528	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> G e. P. )
36		simplrl 525	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> C e. P. )
37		addcomprg 7498	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
39	38	oveq1d 5839	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( ( C +P. G ) +P. R ) )
40		simprrl 529	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> R e. P. )
41		addassprg 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
43		addassprg 7499	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ G e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
44	36, 35, 40, 43	syl3anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
45	39, 42, 44	3eqtr3d 2198	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. ( C +P. R ) ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
46	45	oveq2d 5840	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
47		simpllr 524	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> B e. P. )
48	36, 40, 6	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( C +P. R ) e. P. )
49		addassprg 7499	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. /\ ( C +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
50	47, 35, 48, 49	syl3anc 1220	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
51		addclpr 7457	. . . . . . 7 |- ( ( G e. P. /\ R e. P. ) -> ( G +P. R ) e. P. )
52	35, 40, 51	syl2anc 409	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. R ) e. P. )
53		addassprg 7499	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. /\ ( G +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
54	47, 36, 52, 53	syl3anc 1220	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
55	46, 50, 54	3eqtr4d 2200	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
56	34, 55	eqeq12d 2172	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
57	13, 56	bitrd 187	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
58	1, 57	syl5ibr 155	1 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1335   e. wcel 2128   <.cop 3563   class class class wbr 3965  (class class class)co 5824   P.cnp 7211   +P. cpp 7213   ~R cer 7216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-eprel 4249  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-irdg 6317  df-1o 6363  df-2o 6364  df-oadd 6367  df-omul 6368  df-er 6480  df-ec 6482  df-qs 6486  df-ni 7224  df-pli 7225  df-mi 7226  df-lti 7227  df-plpq 7264  df-mpq 7265  df-enq 7267  df-nqqs 7268  df-plqqs 7269  df-mqqs 7270  df-1nqqs 7271  df-rq 7272  df-ltnqqs 7273  df-enq0 7344  df-nq0 7345  df-0nq0 7346  df-plq0 7347  df-mq0 7348  df-inp 7386  df-iplp 7388  df-enr 7646

This theorem is referenced by:  addsrmo  7663