Theorem addcmpblnr 7733

Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addcmpblnr	|- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5879	. 2 |- ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
2		addclpr 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. ) -> ( A +P. F ) e. P. )
3		addclpr 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. ) -> ( B +P. G ) e. P. )
4	2, 3	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. P. /\ F e. P. ) /\ ( B e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
5	4	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) -> ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) )
6		addclpr 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ R e. P. ) -> ( C +P. R ) e. P. )
7		addclpr 7531	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ S e. P. ) -> ( D +P. S ) e. P. )
8	6, 7	anim12i 338	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. P. /\ R e. P. ) /\ ( D e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
9	8	an4s 588	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) -> ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) )
10	5, 9	anim12i 338	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( F e. P. /\ G e. P. ) ) /\ ( ( C e. P. /\ D e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
11	10	an4s 588	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) )
12		enrbreq 7728	. . . 4 |- ( ( ( ( A +P. F ) e. P. /\ ( B +P. G ) e. P. ) /\ ( ( C +P. R ) e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
13	11, 12	syl 14	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) ) )
14		simprll 537	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> F e. P. )
15		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> D e. P. )
16		addcomprg 7572	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
17	14, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. D ) = ( D +P. F ) )
18	17	oveq1d 5885	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( ( D +P. F ) +P. S ) )
19		simprrr 540	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> S e. P. )
20		addassprg 7573	. . . . . . . 8 |- ( ( F e. P. /\ D e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
21	14, 15, 19, 20	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( F +P. D ) +P. S ) = ( F +P. ( D +P. S ) ) )
22		addassprg 7573	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. P. /\ F e. P. /\ S e. P. ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
23	15, 14, 19, 22	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( D +P. F ) +P. S ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
24	18, 21, 23	3eqtr3d 2218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. ( D +P. S ) ) = ( D +P. ( F +P. S ) ) )
25	24	oveq2d 5886	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
26		simplll 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> A e. P. )
27	15, 19, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( D +P. S ) e. P. )
28		addassprg 7573	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ F e. P. /\ ( D +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
29	26, 14, 27, 28	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( A +P. ( F +P. ( D +P. S ) ) ) )
30		addclpr 7531	. . . . . . 7 |- ( ( F e. P. /\ S e. P. ) -> ( F +P. S ) e. P. )
31	14, 19, 30	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( F +P. S ) e. P. )
32		addassprg 7573	. . . . . 6 |- ( ( A e. P. /\ D e. P. /\ ( F +P. S ) e. P. ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
33	26, 15, 31, 32	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( A +P. ( D +P. ( F +P. S ) ) ) )
34	25, 29, 33	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) )
35		simprlr 538	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> G e. P. )
36		simplrl 535	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> C e. P. )
37		addcomprg 7572	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
38	35, 36, 37	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. C ) = ( C +P. G ) )
39	38	oveq1d 5885	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( ( C +P. G ) +P. R ) )
40		simprrl 539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> R e. P. )
41		addassprg 7573	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. P. /\ C e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
42	35, 36, 40, 41	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( G +P. C ) +P. R ) = ( G +P. ( C +P. R ) ) )
43		addassprg 7573	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. P. /\ G e. P. /\ R e. P. ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
44	36, 35, 40, 43	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( C +P. G ) +P. R ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
45	39, 42, 44	3eqtr3d 2218	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. ( C +P. R ) ) = ( C +P. ( G +P. R ) ) )
46	45	oveq2d 5886	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
47		simpllr 534	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> B e. P. )
48	36, 40, 6	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( C +P. R ) e. P. )
49		addassprg 7573	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ G e. P. /\ ( C +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
50	47, 35, 48, 49	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( B +P. ( G +P. ( C +P. R ) ) ) )
51		addclpr 7531	. . . . . . 7 |- ( ( G e. P. /\ R e. P. ) -> ( G +P. R ) e. P. )
52	35, 40, 51	syl2anc 411	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( G +P. R ) e. P. )
53		addassprg 7573	. . . . . 6 |- ( ( B e. P. /\ C e. P. /\ ( G +P. R ) e. P. ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
54	47, 36, 52, 53	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) = ( B +P. ( C +P. ( G +P. R ) ) ) )
55	46, 50, 54	3eqtr4d 2220	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) )
56	34, 55	eqeq12d 2192	. . 3 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. F ) +P. ( D +P. S ) ) = ( ( B +P. G ) +P. ( C +P. R ) ) <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
57	13, 56	bitrd 188	. 2 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. <-> ( ( A +P. D ) +P. ( F +P. S ) ) = ( ( B +P. C ) +P. ( G +P. R ) ) ) )
58	1, 57	imbitrrid 156	1 |- ( ( ( ( A e. P. /\ B e. P. ) /\ ( C e. P. /\ D e. P. ) ) /\ ( ( F e. P. /\ G e. P. ) /\ ( R e. P. /\ S e. P. ) ) ) -> ( ( ( A +P. D ) = ( B +P. C ) /\ ( F +P. S ) = ( G +P. R ) ) -> <. ( A +P. F ) , ( B +P. G ) >. ~R <. ( C +P. R ) , ( D +P. S ) >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1353   e. wcel 2148   <.cop 3595   class class class wbr 4001  (class class class)co 5870   P.cnp 7285   +P. cpp 7287   ~R cer 7290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4116  ax-sep 4119  ax-nul 4127  ax-pow 4172  ax-pr 4207  ax-un 4431  ax-setind 4534  ax-iinf 4585

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3809  df-int 3844  df-iun 3887  df-br 4002  df-opab 4063  df-mpt 4064  df-tr 4100  df-eprel 4287  df-id 4291  df-po 4294  df-iso 4295  df-iord 4364  df-on 4366  df-suc 4369  df-iom 4588  df-xp 4630  df-rel 4631  df-cnv 4632  df-co 4633  df-dm 4634  df-rn 4635  df-res 4636  df-ima 4637  df-iota 5175  df-fun 5215  df-fn 5216  df-f 5217  df-f1 5218  df-fo 5219  df-f1o 5220  df-fv 5221  df-ov 5873  df-oprab 5874  df-mpo 5875  df-1st 6136  df-2nd 6137  df-recs 6301  df-irdg 6366  df-1o 6412  df-2o 6413  df-oadd 6416  df-omul 6417  df-er 6530  df-ec 6532  df-qs 6536  df-ni 7298  df-pli 7299  df-mi 7300  df-lti 7301  df-plpq 7338  df-mpq 7339  df-enq 7341  df-nqqs 7342  df-plqqs 7343  df-mqqs 7344  df-1nqqs 7345  df-rq 7346  df-ltnqqs 7347  df-enq0 7418  df-nq0 7419  df-0nq0 7420  df-plq0 7421  df-mq0 7422  df-inp 7460  df-iplp 7462  df-enr 7720

This theorem is referenced by:  addsrmo  7737