ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcmpblnr Unicode version

Theorem addcmpblnr 7511
Description: Lemma showing compatibility of addition. (Contributed by NM, 3-Sep-1995.)
Assertion
Ref Expression
addcmpblnr  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R
) )  ->  <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. ) )

Proof of Theorem addcmpblnr
StepHypRef Expression
1 oveq12 5749 . 2  |-  ( ( ( A  +P.  D
)  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R ) )  ->  (
( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
2 addclpr 7309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P. )  ->  ( A  +P.  F
)  e.  P. )
3 addclpr 7309 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  G  e.  P. )  ->  ( B  +P.  G
)  e.  P. )
42, 3anim12i 334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P. )  /\  ( B  e.  P.  /\  G  e.  P. )
)  ->  ( ( A  +P.  F )  e. 
P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. ) )
54an4s 560 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( F  e.  P.  /\  G  e.  P. )
)  ->  ( ( A  +P.  F )  e. 
P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. ) )
6 addclpr 7309 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  ( C  +P.  R
)  e.  P. )
7 addclpr 7309 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  ( D  +P.  S
)  e.  P. )
86, 7anim12i 334 . . . . . . 7  |-  ( ( ( C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  /\  ( D  e.  P.  /\  S  e.  P. )
)  ->  ( ( C  +P.  R )  e. 
P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )
98an4s 560 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. )
)  ->  ( ( C  +P.  R )  e. 
P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )
105, 9anim12i 334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( F  e.  P.  /\  G  e.  P. ) )  /\  ( ( C  e. 
P.  /\  D  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e. 
P. )  /\  (
( C  +P.  R
)  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) ) )
1110an4s 560 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e. 
P. )  /\  (
( C  +P.  R
)  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) ) )
12 enrbreq 7506 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +P.  F )  e.  P.  /\  ( B  +P.  G )  e.  P. )  /\  ( ( C  +P.  R )  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e.  P. ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) ) ) )
1311, 12syl 14 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) ) ) )
14 simprll 509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  F  e.  P. )
15 simplrr 508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  D  e.  P. )
16 addcomprg 7350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  P.  /\  D  e.  P. )  ->  ( F  +P.  D
)  =  ( D  +P.  F ) )
1714, 15, 16syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  D )  =  ( D  +P.  F ) )
1817oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( F  +P.  D )  +P. 
S )  =  ( ( D  +P.  F
)  +P.  S )
)
19 simprrr 512 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  S  e.  P. )
20 addassprg 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  P.  /\  D  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  (
( F  +P.  D
)  +P.  S )  =  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )
2114, 15, 19, 20syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( F  +P.  D )  +P. 
S )  =  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )
22 addassprg 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  P.  /\  F  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  (
( D  +P.  F
)  +P.  S )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2315, 14, 19, 22syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( D  +P.  F )  +P. 
S )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2418, 21, 233eqtr3d 2156 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
2524oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
26 simplll 505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  A  e.  P. )
2715, 19, 7syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( D  +P.  S )  e.  P. )
28 addassprg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  F  e.  P.  /\  ( D  +P.  S )  e. 
P. )  ->  (
( A  +P.  F
)  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) ) )
2926, 14, 27, 28syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S
) )  =  ( A  +P.  ( F  +P.  ( D  +P.  S ) ) ) )
30 addclpr 7309 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  P.  /\  S  e.  P. )  ->  ( F  +P.  S
)  e.  P. )
3114, 19, 30syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( F  +P.  S )  e.  P. )
32 addassprg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  D  e.  P.  /\  ( F  +P.  S )  e. 
P. )  ->  (
( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
3326, 15, 31, 32syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S
) )  =  ( A  +P.  ( D  +P.  ( F  +P.  S ) ) ) )
3425, 29, 333eqtr4d 2158 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S
) )  =  ( ( A  +P.  D
)  +P.  ( F  +P.  S ) ) )
35 simprlr 510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  G  e.  P. )
36 simplrl 507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  C  e.  P. )
37 addcomprg 7350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( G  +P.  C
)  =  ( C  +P.  G ) )
3835, 36, 37syl2anc 406 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  C )  =  ( C  +P.  G ) )
3938oveq1d 5755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( G  +P.  C )  +P. 
R )  =  ( ( C  +P.  G
)  +P.  R )
)
40 simprrl 511 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  R  e.  P. )
41 addassprg 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  P.  /\  C  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  (
( G  +P.  C
)  +P.  R )  =  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )
4235, 36, 40, 41syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( G  +P.  C )  +P. 
R )  =  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )
43 addassprg 7351 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  P.  /\  G  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  (
( C  +P.  G
)  +P.  R )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4436, 35, 40, 43syl3anc 1199 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( C  +P.  G )  +P. 
R )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4539, 42, 443eqtr3d 2156 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) )  =  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
4645oveq2d 5756 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
47 simpllr 506 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  B  e.  P. )
4836, 40, 6syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( C  +P.  R )  e.  P. )
49 addassprg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  G  e.  P.  /\  ( C  +P.  R )  e. 
P. )  ->  (
( B  +P.  G
)  +P.  ( C  +P.  R ) )  =  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) ) )
5047, 35, 48, 49syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) )  =  ( B  +P.  ( G  +P.  ( C  +P.  R ) ) ) )
51 addclpr 7309 . . . . . . 7  |-  ( ( G  e.  P.  /\  R  e.  P. )  ->  ( G  +P.  R
)  e.  P. )
5235, 40, 51syl2anc 406 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( G  +P.  R )  e.  P. )
53 addassprg 7351 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  C  e.  P.  /\  ( G  +P.  R )  e. 
P. )  ->  (
( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5447, 36, 52, 53syl3anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R
) )  =  ( B  +P.  ( C  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5546, 50, 543eqtr4d 2158 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( B  +P.  G )  +P.  ( C  +P.  R
) )  =  ( ( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) ) )
5634, 55eqeq12d 2130 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  F )  +P.  ( D  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  G
)  +P.  ( C  +P.  R ) )  <->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S
) )  =  ( ( B  +P.  C
)  +P.  ( G  +P.  R ) ) ) )
5713, 56bitrd 187 . 2  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. 
<->  ( ( A  +P.  D )  +P.  ( F  +P.  S ) )  =  ( ( B  +P.  C )  +P.  ( G  +P.  R
) ) ) )
581, 57syl5ibr 155 1  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( C  e.  P.  /\  D  e.  P. ) )  /\  ( ( F  e. 
P.  /\  G  e.  P. )  /\  ( R  e.  P.  /\  S  e.  P. ) ) )  ->  ( ( ( A  +P.  D )  =  ( B  +P.  C )  /\  ( F  +P.  S )  =  ( G  +P.  R
) )  ->  <. ( A  +P.  F ) ,  ( B  +P.  G
) >.  ~R  <. ( C  +P.  R ) ,  ( D  +P.  S
) >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1314    e. wcel 1463   <.cop 3498   class class class wbr 3897  (class class class)co 5740   P.cnp 7063    +P. cpp 7065    ~R cer 7068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-eprel 4179  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-irdg 6233  df-1o 6279  df-2o 6280  df-oadd 6283  df-omul 6284  df-er 6395  df-ec 6397  df-qs 6401  df-ni 7076  df-pli 7077  df-mi 7078  df-lti 7079  df-plpq 7116  df-mpq 7117  df-enq 7119  df-nqqs 7120  df-plqqs 7121  df-mqqs 7122  df-1nqqs 7123  df-rq 7124  df-ltnqqs 7125  df-enq0 7196  df-nq0 7197  df-0nq0 7198  df-plq0 7199  df-mq0 7200  df-inp 7238  df-iplp 7240  df-enr 7498
This theorem is referenced by:  addsrmo  7515
  Copyright terms: Public domain W3C validator