Theorem gt0srpr 7689

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	|- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7676	. . . . 5 |- ~R Er ( P. X. P. )
2		erdm 6511	. . . . 5 |- ( ~R Er ( P. X. P. ) -> dom ~R = ( P. X. P. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~R = ( P. X. P. )
4		ltrelsr 7679	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
5	4	brel 4656	. . . . . 6 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( 0R e. R. /\ [ <. A , B >. ] ~R e. R. ) )
6	5	simprd 113	. . . . 5 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. R. )
7		df-nr 7668	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2259	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		ecelqsdm 6571	. . . 4 |- ( ( dom ~R = ( P. X. P. ) /\ [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 411	. . 3 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
11		opelxp 4634	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( P. X. P. ) <-> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
12	10, 11	sylib 121	. 2 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
13		ltrelpr 7446	. . . 4 |- <P C_ ( P. X. P. )
14	13	brel 4656	. . 3 |- ( B <P A -> ( B e. P. /\ A e. P. ) )
15	14	ancomd 265	. 2 |- ( B <P A -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
16		df-0r 7672	. . . . 5 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
17	16	breq1i 3989	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R )
18		1pr 7495	. . . . 5 |- 1P e. P.
19		ltsrprg 7688	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( A e. P. /\ B e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
20	18, 18, 19	mpanl12 433	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
21	17, 20	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
22		ltaprg 7560	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
23	18, 22	mp3an3 1316	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
24	23	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
25	21, 24	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A ) )
26	12, 15, 25	pm5.21nii 694	1 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1343   e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   X. cxp 4602   dom cdm 4604  (class class class)co 5842   Er wer 6498   [cec 6499   /.cqs 6500   P.cnp 7232   1Pc1p 7233   +P. cpp 7234   <P cltp 7236   ~R cer 7237   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-ltr 7671  df-0r 7672

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7714  mulgt0sr  7719  srpospr  7724  prsrpos  7726