ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Unicode version

Theorem gt0srpr 7697
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 7684 . . . . 5  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
2 erdm 6519 . . . . 5  |-  (  ~R  Er  ( P.  X.  P. )  ->  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
)
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
4 ltrelsr 7687 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
54brel 4661 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( 0R  e.  R.  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
)
65simprd 113 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
7 df-nr 7676 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
86, 7eleqtrdi 2263 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
9 ecelqsdm 6579 . . . 4  |-  ( ( dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
103, 8, 9sylancr 412 . . 3  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P. 
X.  P. ) )
11 opelxp 4639 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) 
<->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)
1210, 11sylib 121 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
13 ltrelpr 7454 . . . 4  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1413brel 4661 . . 3  |-  ( B 
<P  A  ->  ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. ) )
1514ancomd 265 . 2  |-  ( B 
<P  A  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
16 df-0r 7680 . . . . 5  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
1716breq1i 3994 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
18 1pr 7503 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
19 ltsrprg 7696 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2018, 18, 19mpanl12 434 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2117, 20syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B ) 
<P  ( 1P  +P.  A
) ) )
22 ltaprg 7568 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2318, 22mp3an3 1321 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2423ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2521, 24bitr4d 190 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B 
<P  A ) )
2612, 15, 25pm5.21nii 699 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1348    e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987    X. cxp 4607   dom cdm 4609  (class class class)co 5850    Er wer 6506   [cec 6507   /.cqs 6508   P.cnp 7240   1Pc1p 7241    +P. cpp 7242    <P cltp 7244    ~R cer 7245   R.cnr 7246   0Rc0r 7247    <R cltr 7252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-i1p 7416  df-iplp 7417  df-iltp 7419  df-enr 7675  df-nr 7676  df-ltr 7679  df-0r 7680
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7722  mulgt0sr  7727  srpospr  7732  prsrpos  7734
  Copyright terms: Public domain W3C validator