Theorem gt0srpr 7710

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	|- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7697	. . . . 5 |- ~R Er ( P. X. P. )
2		erdm 6523	. . . . 5 |- ( ~R Er ( P. X. P. ) -> dom ~R = ( P. X. P. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~R = ( P. X. P. )
4		ltrelsr 7700	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
5	4	brel 4663	. . . . . 6 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( 0R e. R. /\ [ <. A , B >. ] ~R e. R. ) )
6	5	simprd 113	. . . . 5 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. R. )
7		df-nr 7689	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2263	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		ecelqsdm 6583	. . . 4 |- ( ( dom ~R = ( P. X. P. ) /\ [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 412	. . 3 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
11		opelxp 4641	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( P. X. P. ) <-> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
12	10, 11	sylib 121	. 2 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
13		ltrelpr 7467	. . . 4 |- <P C_ ( P. X. P. )
14	13	brel 4663	. . 3 |- ( B <P A -> ( B e. P. /\ A e. P. ) )
15	14	ancomd 265	. 2 |- ( B <P A -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
16		df-0r 7693	. . . . 5 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
17	16	breq1i 3996	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R )
18		1pr 7516	. . . . 5 |- 1P e. P.
19		ltsrprg 7709	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( A e. P. /\ B e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
20	18, 18, 19	mpanl12 434	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
21	17, 20	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
22		ltaprg 7581	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
23	18, 22	mp3an3 1321	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
24	23	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
25	21, 24	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A ) )
26	12, 15, 25	pm5.21nii 699	1 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3586   class class class wbr 3989   X. cxp 4609   dom cdm 4611  (class class class)co 5853   Er wer 6510   [cec 6511   /.cqs 6512   P.cnp 7253   1Pc1p 7254   +P. cpp 7255   <P cltp 7257   ~R cer 7258   R.cnr 7259   0Rc0r 7260   <R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-ltr 7692  df-0r 7693

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7735  mulgt0sr  7740  srpospr  7745  prsrpos  7747