ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Unicode version

Theorem gt0srpr 7568
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 7555 . . . . 5  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
2 erdm 6439 . . . . 5  |-  (  ~R  Er  ( P.  X.  P. )  ->  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
)
31, 2ax-mp 5 . . . 4  |-  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
4 ltrelsr 7558 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
54brel 4591 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( 0R  e.  R.  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
)
65simprd 113 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
7 df-nr 7547 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
86, 7eleqtrdi 2232 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
9 ecelqsdm 6499 . . . 4  |-  ( ( dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
103, 8, 9sylancr 410 . . 3  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P. 
X.  P. ) )
11 opelxp 4569 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) 
<->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)
1210, 11sylib 121 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
13 ltrelpr 7325 . . . 4  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1413brel 4591 . . 3  |-  ( B 
<P  A  ->  ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. ) )
1514ancomd 265 . 2  |-  ( B 
<P  A  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
16 df-0r 7551 . . . . 5  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
1716breq1i 3936 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
18 1pr 7374 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
19 ltsrprg 7567 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2018, 18, 19mpanl12 432 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2117, 20syl5bb 191 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B ) 
<P  ( 1P  +P.  A
) ) )
22 ltaprg 7439 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2318, 22mp3an3 1304 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2423ancoms 266 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2521, 24bitr4d 190 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B 
<P  A ) )
2612, 15, 25pm5.21nii 693 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    = wceq 1331    e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929    X. cxp 4537   dom cdm 4539  (class class class)co 5774    Er wer 6426   [cec 6427   /.cqs 6428   P.cnp 7111   1Pc1p 7112    +P. cpp 7113    <P cltp 7115    ~R cer 7116   R.cnr 7117   0Rc0r 7118    <R cltr 7123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-2o 6314  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7124  df-pli 7125  df-mi 7126  df-lti 7127  df-plpq 7164  df-mpq 7165  df-enq 7167  df-nqqs 7168  df-plqqs 7169  df-mqqs 7170  df-1nqqs 7171  df-rq 7172  df-ltnqqs 7173  df-enq0 7244  df-nq0 7245  df-0nq0 7246  df-plq0 7247  df-mq0 7248  df-inp 7286  df-i1p 7287  df-iplp 7288  df-iltp 7290  df-enr 7546  df-nr 7547  df-ltr 7550  df-0r 7551
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7593  mulgt0sr  7598  srpospr  7603  prsrpos  7605
  Copyright terms: Public domain W3C validator