Theorem gt0srpr 7697

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	|- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7684	. . . . 5 |- ~R Er ( P. X. P. )
2		erdm 6519	. . . . 5 |- ( ~R Er ( P. X. P. ) -> dom ~R = ( P. X. P. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~R = ( P. X. P. )
4		ltrelsr 7687	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
5	4	brel 4661	. . . . . 6 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( 0R e. R. /\ [ <. A , B >. ] ~R e. R. ) )
6	5	simprd 113	. . . . 5 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. R. )
7		df-nr 7676	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2263	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		ecelqsdm 6579	. . . 4 |- ( ( dom ~R = ( P. X. P. ) /\ [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 412	. . 3 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
11		opelxp 4639	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( P. X. P. ) <-> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
12	10, 11	sylib 121	. 2 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
13		ltrelpr 7454	. . . 4 |- <P C_ ( P. X. P. )
14	13	brel 4661	. . 3 |- ( B <P A -> ( B e. P. /\ A e. P. ) )
15	14	ancomd 265	. 2 |- ( B <P A -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
16		df-0r 7680	. . . . 5 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
17	16	breq1i 3994	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R )
18		1pr 7503	. . . . 5 |- 1P e. P.
19		ltsrprg 7696	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( A e. P. /\ B e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
20	18, 18, 19	mpanl12 434	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
21	17, 20	syl5bb 191	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
22		ltaprg 7568	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
23	18, 22	mp3an3 1321	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
24	23	ancoms 266	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
25	21, 24	bitr4d 190	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A ) )
26	12, 15, 25	pm5.21nii 699	1 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1348   e. wcel 2141   <.cop 3584   class class class wbr 3987   X. cxp 4607   dom cdm 4609  (class class class)co 5850   Er wer 6506   [cec 6507   /.cqs 6508   P.cnp 7240   1Pc1p 7241   +P. cpp 7242   <P cltp 7244   ~R cer 7245   R.cnr 7246   0Rc0r 7247   <R cltr 7252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-eprel 4272  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-ov 5853  df-oprab 5854  df-mpo 5855  df-1st 6116  df-2nd 6117  df-recs 6281  df-irdg 6346  df-1o 6392  df-2o 6393  df-oadd 6396  df-omul 6397  df-er 6509  df-ec 6511  df-qs 6515  df-ni 7253  df-pli 7254  df-mi 7255  df-lti 7256  df-plpq 7293  df-mpq 7294  df-enq 7296  df-nqqs 7297  df-plqqs 7298  df-mqqs 7299  df-1nqqs 7300  df-rq 7301  df-ltnqqs 7302  df-enq0 7373  df-nq0 7374  df-0nq0 7375  df-plq0 7376  df-mq0 7377  df-inp 7415  df-i1p 7416  df-iplp 7417  df-iltp 7419  df-enr 7675  df-nr 7676  df-ltr 7679  df-0r 7680

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7722  mulgt0sr  7727  srpospr  7732  prsrpos  7734