ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0srpr Unicode version

Theorem gt0srpr 7273
Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)
Assertion
Ref Expression
gt0srpr  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )

Proof of Theorem gt0srpr
StepHypRef Expression
1 enrer 7260 . . . . 5  |-  ~R  Er  ( P.  X.  P. )
2 erdm 6282 . . . . 5  |-  (  ~R  Er  ( P.  X.  P. )  ->  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
)
31, 2ax-mp 7 . . . 4  |-  dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )
4 ltrelsr 7263 . . . . . . 7  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
54brel 4478 . . . . . 6  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( 0R  e.  R.  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
)
65simprd 112 . . . . 5  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  R. )
7 df-nr 7252 . . . . 5  |-  R.  =  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
86, 7syl6eleq 2180 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  )
)
9 ecelqsdm 6342 . . . 4  |-  ( ( dom  ~R  =  ( P.  X.  P. )  /\  [ <. A ,  B >. ]  ~R  e.  ( ( P.  X.  P. ) /.  ~R  ) )  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) )
103, 8, 9sylancr 405 . . 3  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  <. A ,  B >.  e.  ( P. 
X.  P. ) )
11 opelxp 4457 . . 3  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( P.  X.  P. ) 
<->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)
1210, 11sylib 120 . 2  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
13 ltrelpr 7043 . . . 4  |-  <P  C_  ( P.  X.  P. )
1413brel 4478 . . 3  |-  ( B 
<P  A  ->  ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. ) )
1514ancomd 263 . 2  |-  ( B 
<P  A  ->  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. ) )
16 df-0r 7256 . . . . 5  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
1716breq1i 3844 . . . 4  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  )
18 1pr 7092 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
19 ltsrprg 7272 . . . . 5  |-  ( ( ( 1P  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  /\  ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )
)  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2018, 18, 19mpanl12 427 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2117, 20syl5bb 190 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  ( 1P  +P.  B ) 
<P  ( 1P  +P.  A
) ) )
22 ltaprg 7157 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P.  /\  1P  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2318, 22mp3an3 1262 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2423ancoms 264 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( B  <P  A  <->  ( 1P  +P.  B )  <P  ( 1P  +P.  A ) ) )
2521, 24bitr4d 189 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( 0R  <R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B 
<P  A ) )
2612, 15, 25pm5.21nii 655 1  |-  ( 0R 
<R  [ <. A ,  B >. ]  ~R  <->  B  <P  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   <.cop 3444   class class class wbr 3837    X. cxp 4426   dom cdm 4428  (class class class)co 5634    Er wer 6269   [cec 6270   /.cqs 6271   P.cnp 6829   1Pc1p 6830    +P. cpp 6831    <P cltp 6833    ~R cer 6834   R.cnr 6835   0Rc0r 6836    <R cltr 6841
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-iplp 7006  df-iltp 7008  df-enr 7251  df-nr 7252  df-ltr 7255  df-0r 7256
This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7298  mulgt0sr  7302  srpospr  7307  prsrpos  7309
  Copyright terms: Public domain W3C validator