Theorem gt0srpr 8105

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	|- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 8092	. . . . 5 |- ~R Er ( P. X. P. )
2		erdm 6807	. . . . 5 |- ( ~R Er ( P. X. P. ) -> dom ~R = ( P. X. P. ) )
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 |- dom ~R = ( P. X. P. )
4		ltrelsr 8095	. . . . . . 7 |- <R C_ ( R. X. R. )
5	4	brel 4822	. . . . . 6 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( 0R e. R. /\ [ <. A , B >. ] ~R e. R. ) )
6	5	simprd 114	. . . . 5 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. R. )
7		df-nr 8084	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2331	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) )
9		ecelqsdm 6869	. . . 4 |- ( ( dom ~R = ( P. X. P. ) /\ [ <. A , B >. ] ~R e. ( ( P. X. P. ) /. ~R ) ) -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 418	. . 3 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> <. A , B >. e. ( P. X. P. ) )
11		opelxp 4799	. . 3 |- ( <. A , B >. e. ( P. X. P. ) <-> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
12	10, 11	sylib 122	. 2 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
13		ltrelpr 7862	. . . 4 |- <P C_ ( P. X. P. )
14	13	brel 4822	. . 3 |- ( B <P A -> ( B e. P. /\ A e. P. ) )
15	14	ancomd 267	. 2 |- ( B <P A -> ( A e. P. /\ B e. P. ) )
16		df-0r 8088	. . . . 5 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
17	16	breq1i 4132	. . . 4 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R )
18		1pr 7911	. . . . 5 |- 1P e. P.
19		ltsrprg 8104	. . . . 5 |- ( ( ( 1P e. P. /\ 1P e. P. ) /\ ( A e. P. /\ B e. P. ) ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
20	18, 18, 19	mpanl12 440	. . . 4 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( [ <. 1P , 1P >. ] ~R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
22		ltaprg 7976	. . . . 5 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. /\ 1P e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
23	18, 22	mp3an3 1367	. . . 4 |- ( ( B e. P. /\ A e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
24	23	ancoms 268	. . 3 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( B <P A <-> ( 1P +P. B ) <P ( 1P +P. A ) ) )
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 |- ( ( A e. P. /\ B e. P. ) -> ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A ) )
26	12, 15, 25	pm5.21nii 716	1 |- ( 0R <R [ <. A , B >. ] ~R <-> B <P A )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   X. cxp 4767   dom cdm 4769  (class class class)co 6075   Er wer 6794   [cec 6795   /.cqs 6796   P.cnp 7648   1Pc1p 7649   +P. cpp 7650   <P cltp 7652   ~R cer 7653   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   <R cltr 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-iltp 7827  df-enr 8083  df-nr 8084  df-ltr 8087  df-0r 8088

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  8130  mulgt0sr  8135  srpospr  8140  prsrpos  8142