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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ltresr | Unicode version |
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) |
Ref | Expression |
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ltresr |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ltrelre 7665 |
. . . 4
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2 | 1 | brel 4599 |
. . 3
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3 | opelreal 7659 |
. . . 4
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4 | opelreal 7659 |
. . . 4
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5 | 3, 4 | anbi12i 456 |
. . 3
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6 | 2, 5 | sylib 121 |
. 2
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7 | ltrelsr 7570 |
. . 3
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8 | 7 | brel 4599 |
. 2
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9 | eleq1 2203 |
. . . . . . . . 9
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10 | 9 | anbi1d 461 |
. . . . . . . 8
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11 | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | anbi1d 461 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 12 | anbi1d 461 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | 2exbidv 1841 |
. . . . . . . 8
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15 | 10, 14 | anbi12d 465 |
. . . . . . 7
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16 | eleq1 2203 |
. . . . . . . . 9
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17 | 16 | anbi2d 460 |
. . . . . . . 8
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18 | eqeq1 2147 |
. . . . . . . . . . 11
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19 | 18 | anbi2d 460 |
. . . . . . . . . 10
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20 | 19 | anbi1d 461 |
. . . . . . . . 9
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21 | 20 | 2exbidv 1841 |
. . . . . . . 8
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22 | 17, 21 | anbi12d 465 |
. . . . . . 7
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23 | df-lt 7657 |
. . . . . . 7
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24 | 15, 22, 23 | brabg 4199 |
. . . . . 6
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25 | 24 | bianabs 601 |
. . . . 5
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26 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . 11
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27 | 26 | eqresr 7668 |
. . . . . . . . . 10
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28 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . 10
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29 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . 10
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30 | 27, 28, 29 | 3bitr4i 211 |
. . . . . . . . 9
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31 | vex 2692 |
. . . . . . . . . . 11
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32 | 31 | eqresr 7668 |
. . . . . . . . . 10
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33 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . 10
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34 | eqcom 2142 |
. . . . . . . . . 10
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35 | 32, 33, 34 | 3bitr4i 211 |
. . . . . . . . 9
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36 | 30, 35 | anbi12i 456 |
. . . . . . . 8
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37 | 26, 31 | opth2 4170 |
. . . . . . . 8
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38 | 36, 37 | bitr4i 186 |
. . . . . . 7
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39 | 38 | anbi1i 454 |
. . . . . 6
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40 | 39 | 2exbii 1586 |
. . . . 5
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41 | 25, 40 | syl6bb 195 |
. . . 4
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42 | 3, 4, 41 | syl2anbr 290 |
. . 3
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43 | breq12 3942 |
. . . 4
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44 | 43 | copsex2g 4176 |
. . 3
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45 | 42, 44 | bitrd 187 |
. 2
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46 | 6, 8, 45 | pm5.21nii 694 |
1
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 604 ax-in2 605 ax-io 699 ax-5 1424 ax-7 1425 ax-gen 1426 ax-ie1 1470 ax-ie2 1471 ax-8 1483 ax-10 1484 ax-11 1485 ax-i12 1486 ax-bndl 1487 ax-4 1488 ax-13 1492 ax-14 1493 ax-17 1507 ax-i9 1511 ax-ial 1515 ax-i5r 1516 ax-ext 2122 ax-coll 4051 ax-sep 4054 ax-nul 4062 ax-pow 4106 ax-pr 4139 ax-un 4363 ax-setind 4460 ax-iinf 4510 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 821 df-3or 964 df-3an 965 df-tru 1335 df-fal 1338 df-nf 1438 df-sb 1737 df-eu 2003 df-mo 2004 df-clab 2127 df-cleq 2133 df-clel 2136 df-nfc 2271 df-ne 2310 df-ral 2422 df-rex 2423 df-reu 2424 df-rab 2426 df-v 2691 df-sbc 2914 df-csb 3008 df-dif 3078 df-un 3080 df-in 3082 df-ss 3089 df-nul 3369 df-pw 3517 df-sn 3538 df-pr 3539 df-op 3541 df-uni 3745 df-int 3780 df-iun 3823 df-br 3938 df-opab 3998 df-mpt 3999 df-tr 4035 df-eprel 4219 df-id 4223 df-po 4226 df-iso 4227 df-iord 4296 df-on 4298 df-suc 4301 df-iom 4513 df-xp 4553 df-rel 4554 df-cnv 4555 df-co 4556 df-dm 4557 df-rn 4558 df-res 4559 df-ima 4560 df-iota 5096 df-fun 5133 df-fn 5134 df-f 5135 df-f1 5136 df-fo 5137 df-f1o 5138 df-fv 5139 df-ov 5785 df-oprab 5786 df-mpo 5787 df-1st 6046 df-2nd 6047 df-recs 6210 df-irdg 6275 df-1o 6321 df-oadd 6325 df-omul 6326 df-er 6437 df-ec 6439 df-qs 6443 df-ni 7136 df-pli 7137 df-mi 7138 df-lti 7139 df-plpq 7176 df-mpq 7177 df-enq 7179 df-nqqs 7180 df-plqqs 7181 df-mqqs 7182 df-1nqqs 7183 df-rq 7184 df-ltnqqs 7185 df-inp 7298 df-i1p 7299 df-enr 7558 df-nr 7559 df-ltr 7562 df-0r 7563 df-r 7654 df-lt 7657 |
This theorem is referenced by: ltresr2 7672 pitoregt0 7681 ltrennb 7686 ax0lt1 7708 axprecex 7712 axpre-ltirr 7714 axpre-ltwlin 7715 axpre-lttrn 7716 axpre-apti 7717 axpre-ltadd 7718 axpre-mulgt0 7719 axpre-mulext 7720 axarch 7723 axcaucvglemcau 7730 axcaucvglemres 7731 axpre-suploclemres 7733 |
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