Theorem ltresr 8196

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Proof of Theorem ltresr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelre 8190	. . . 4 |- <RR C_ ( RR X. RR )
2	1	brel 4822	. . 3 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) )
3		opelreal 8184	. . . 4 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )
4		opelreal 8184	. . . 4 |- ( <. B , 0R >. e. RR <-> B e. R. )
5	3, 4	anbi12i 464	. . 3 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) <-> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
6	2, 5	sylib 122	. 2 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
7		ltrelsr 8095	. . 3 |- <R C_ ( R. X. R. )
8	7	brel 4822	. 2 |- ( A <R B -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
9		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. A , 0R >. e. RR ) )
10	9	anbi1d 469	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) ) )
11		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x = <. z , 0R >. <-> <. A , 0R >. = <. z , 0R >. ) )
12	11	anbi1d 469	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) ) )
13	12	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
14	13	2exbidv 1921	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
15	10, 14	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
16		eleq1 2301	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. B , 0R >. e. RR ) )
17	16	anbi2d 468	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) ) )
18		eqeq1 2245	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y = <. w , 0R >. <-> <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) )
19	18	anbi2d 468	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) ) )
20	19	anbi1d 469	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
21	20	2exbidv 1921	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
22	17, 21	anbi12d 477	. . . . . . 7 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
23		df-lt 8182	. . . . . . 7 |- <RR = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4406	. . . . . 6 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
25	24	bianabs 619	. . . . 5 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
26		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
27	26	eqresr 8193	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. = <. A , 0R >. <-> z = A )
28		eqcom 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> <. z , 0R >. = <. A , 0R >. )
29		eqcom 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( A = z <-> z = A )
30	27, 28, 29	3bitr4i 212	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> A = z )
31		vex 2824	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
32	31	eqresr 8193	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , 0R >. = <. B , 0R >. <-> w = B )
33		eqcom 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> <. w , 0R >. = <. B , 0R >. )
34		eqcom 2240	. . . . . . . . . 10 |- ( B = w <-> w = B )
35	32, 33, 34	3bitr4i 212	. . . . . . . . 9 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> B = w )
36	30, 35	anbi12i 464	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> ( A = z /\ B = w ) )
37	26, 31	opth2 4375	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. z , w >. <-> ( A = z /\ B = w ) )
38	36, 37	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> <. A , B >. = <. z , w >. )
39	38	anbi1i 462	. . . . . 6 |- ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
40	39	2exbii 1659	. . . . 5 |- ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
41	25, 40	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
42	3, 4, 41	syl2anbr 292	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
43		breq12 4130	. . . 4 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( z <R w <-> A <R B ) )
44	43	copsex2g 4381	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) <-> A <R B ) )
45	42, 44	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B ) )
46	6, 8, 45	pm5.21nii 716	1 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   <.cop 3708   class class class wbr 4125   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   <R cltr 7660   RRcr 8168   <RR cltrr 8173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-enr 8083  df-nr 8084  df-ltr 8087  df-0r 8088  df-r 8179  df-lt 8182

This theorem is referenced by:  ltresr2  8197  pitoregt0  8206  ltrennb  8211  ax0lt1  8233  axprecex  8237  axpre-ltirr  8239  axpre-ltwlin  8240  axpre-lttrn  8241  axpre-apti  8242  axpre-ltadd  8243  axpre-mulgt0  8244  axpre-mulext  8245  axarch  8248  axcaucvglemcau  8255  axcaucvglemres  8256  axpre-suploclemres  8258