Theorem ltresr 7647

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Proof of Theorem ltresr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelre 7641	. . . 4 |- <RR C_ ( RR X. RR )
2	1	brel 4591	. . 3 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) )
3		opelreal 7635	. . . 4 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )
4		opelreal 7635	. . . 4 |- ( <. B , 0R >. e. RR <-> B e. R. )
5	3, 4	anbi12i 455	. . 3 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) <-> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
6	2, 5	sylib 121	. 2 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
7		ltrelsr 7546	. . 3 |- <R C_ ( R. X. R. )
8	7	brel 4591	. 2 |- ( A <R B -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
9		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. A , 0R >. e. RR ) )
10	9	anbi1d 460	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) ) )
11		eqeq1 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x = <. z , 0R >. <-> <. A , 0R >. = <. z , 0R >. ) )
12	11	anbi1d 460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) ) )
13	12	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
14	13	2exbidv 1840	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
15	10, 14	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
16		eleq1 2202	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. B , 0R >. e. RR ) )
17	16	anbi2d 459	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) ) )
18		eqeq1 2146	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y = <. w , 0R >. <-> <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) )
19	18	anbi2d 459	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) ) )
20	19	anbi1d 460	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
21	20	2exbidv 1840	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
22	17, 21	anbi12d 464	. . . . . . 7 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
23		df-lt 7633	. . . . . . 7 |- <RR = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4191	. . . . . 6 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
25	24	bianabs 600	. . . . 5 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
26		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
27	26	eqresr 7644	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. = <. A , 0R >. <-> z = A )
28		eqcom 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> <. z , 0R >. = <. A , 0R >. )
29		eqcom 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( A = z <-> z = A )
30	27, 28, 29	3bitr4i 211	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> A = z )
31		vex 2689	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
32	31	eqresr 7644	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , 0R >. = <. B , 0R >. <-> w = B )
33		eqcom 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> <. w , 0R >. = <. B , 0R >. )
34		eqcom 2141	. . . . . . . . . 10 |- ( B = w <-> w = B )
35	32, 33, 34	3bitr4i 211	. . . . . . . . 9 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> B = w )
36	30, 35	anbi12i 455	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> ( A = z /\ B = w ) )
37	26, 31	opth2 4162	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. z , w >. <-> ( A = z /\ B = w ) )
38	36, 37	bitr4i 186	. . . . . . 7 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> <. A , B >. = <. z , w >. )
39	38	anbi1i 453	. . . . . 6 |- ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
40	39	2exbii 1585	. . . . 5 |- ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
41	25, 40	syl6bb 195	. . . 4 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
42	3, 4, 41	syl2anbr 290	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
43		breq12 3934	. . . 4 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( z <R w <-> A <R B ) )
44	43	copsex2g 4168	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) <-> A <R B ) )
45	42, 44	bitrd 187	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B ) )
46	6, 8, 45	pm5.21nii 693	1 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   = wceq 1331   E.wex 1468   e. wcel 1480   <.cop 3530   class class class wbr 3929   R.cnr 7105   0Rc0r 7106   <R cltr 7111   RRcr 7619   <RR cltrr 7624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-1o 6313  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7112  df-pli 7113  df-mi 7114  df-lti 7115  df-plpq 7152  df-mpq 7153  df-enq 7155  df-nqqs 7156  df-plqqs 7157  df-mqqs 7158  df-1nqqs 7159  df-rq 7160  df-ltnqqs 7161  df-inp 7274  df-i1p 7275  df-enr 7534  df-nr 7535  df-ltr 7538  df-0r 7539  df-r 7630  df-lt 7633

This theorem is referenced by:  ltresr2  7648  pitoregt0  7657  ltrennb  7662  ax0lt1  7684  axprecex  7688  axpre-ltirr  7690  axpre-ltwlin  7691  axpre-lttrn  7692  axpre-apti  7693  axpre-ltadd  7694  axpre-mulgt0  7695  axpre-mulext  7696  axarch  7699  axcaucvglemcau  7706  axcaucvglemres  7707  axpre-suploclemres  7709