Theorem ltresr 7355

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Proof of Theorem ltresr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelre 7349	. . . 4 |- <RR C_ ( RR X. RR )
2	1	brel 4478	. . 3 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) )
3		opelreal 7344	. . . 4 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )
4		opelreal 7344	. . . 4 |- ( <. B , 0R >. e. RR <-> B e. R. )
5	3, 4	anbi12i 448	. . 3 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) <-> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
6	2, 5	sylib 120	. 2 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
7		ltrelsr 7263	. . 3 |- <R C_ ( R. X. R. )
8	7	brel 4478	. 2 |- ( A <R B -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
9		eleq1 2150	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. A , 0R >. e. RR ) )
10	9	anbi1d 453	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) ) )
11		eqeq1 2094	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x = <. z , 0R >. <-> <. A , 0R >. = <. z , 0R >. ) )
12	11	anbi1d 453	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) ) )
13	12	anbi1d 453	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
14	13	2exbidv 1796	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
15	10, 14	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
16		eleq1 2150	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. B , 0R >. e. RR ) )
17	16	anbi2d 452	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) ) )
18		eqeq1 2094	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y = <. w , 0R >. <-> <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) )
19	18	anbi2d 452	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) ) )
20	19	anbi1d 453	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
21	20	2exbidv 1796	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
22	17, 21	anbi12d 457	. . . . . . 7 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
23		df-lt 7342	. . . . . . 7 |- <RR = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4087	. . . . . 6 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
25	24	bianabs 578	. . . . 5 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
26		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
27	26	eqresr 7352	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. = <. A , 0R >. <-> z = A )
28		eqcom 2090	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> <. z , 0R >. = <. A , 0R >. )
29		eqcom 2090	. . . . . . . . . 10 |- ( A = z <-> z = A )
30	27, 28, 29	3bitr4i 210	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> A = z )
31		vex 2622	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
32	31	eqresr 7352	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , 0R >. = <. B , 0R >. <-> w = B )
33		eqcom 2090	. . . . . . . . . 10 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> <. w , 0R >. = <. B , 0R >. )
34		eqcom 2090	. . . . . . . . . 10 |- ( B = w <-> w = B )
35	32, 33, 34	3bitr4i 210	. . . . . . . . 9 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> B = w )
36	30, 35	anbi12i 448	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> ( A = z /\ B = w ) )
37	26, 31	opth2 4058	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. z , w >. <-> ( A = z /\ B = w ) )
38	36, 37	bitr4i 185	. . . . . . 7 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> <. A , B >. = <. z , w >. )
39	38	anbi1i 446	. . . . . 6 |- ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
40	39	2exbii 1542	. . . . 5 |- ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
41	25, 40	syl6bb 194	. . . 4 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
42	3, 4, 41	syl2anbr 286	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
43		breq12 3842	. . . 4 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( z <R w <-> A <R B ) )
44	43	copsex2g 4064	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) <-> A <R B ) )
45	42, 44	bitrd 186	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B ) )
46	6, 8, 45	pm5.21nii 655	1 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Syntax hints:   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   <.cop 3444   class class class wbr 3837   R.cnr 6835   0Rc0r 6836   <R cltr 6841   RRcr 7328   <RR cltrr 7333

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-inp 7004  df-i1p 7005  df-enr 7251  df-nr 7252  df-ltr 7255  df-0r 7256  df-r 7339  df-lt 7342

This theorem is referenced by:  ltresr2  7356  pitoregt0  7365  ltrennb  7370  ax0lt1  7390  axprecex  7394  axpre-ltirr  7396  axpre-ltwlin  7397  axpre-lttrn  7398  axpre-apti  7399  axpre-ltadd  7400  axpre-mulgt0  7401  axpre-mulext  7402  axarch  7405  axcaucvglemcau  7412  axcaucvglemres  7413