Theorem ltresr 8119

Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.)

Assertion

Ref	Expression
ltresr	|- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Proof of Theorem ltresr

Dummy variables x y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrelre 8113	. . . 4 |- <RR C_ ( RR X. RR )
2	1	brel 4784	. . 3 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) )
3		opelreal 8107	. . . 4 |- ( <. A , 0R >. e. RR <-> A e. R. )
4		opelreal 8107	. . . 4 |- ( <. B , 0R >. e. RR <-> B e. R. )
5	3, 4	anbi12i 460	. . 3 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) <-> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
6	2, 5	sylib 122	. 2 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
7		ltrelsr 8018	. . 3 |- <R C_ ( R. X. R. )
8	7	brel 4784	. 2 |- ( A <R B -> ( A e. R. /\ B e. R. ) )
9		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x e. RR <-> <. A , 0R >. e. RR ) )
10	9	anbi1d 465	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) ) )
11		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( x = <. z , 0R >. <-> <. A , 0R >. = <. z , 0R >. ) )
12	11	anbi1d 465	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) ) )
13	12	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
14	13	2exbidv 1916	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
15	10, 14	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , 0R >. -> ( ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
16		eleq1 2294	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y e. RR <-> <. B , 0R >. e. RR ) )
17	16	anbi2d 464	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) <-> ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) ) )
18		eqeq1 2238	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( y = <. w , 0R >. <-> <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) )
19	18	anbi2d 464	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) <-> ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) ) )
20	19	anbi1d 465	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
21	20	2exbidv 1916	. . . . . . . 8 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
22	17, 21	anbi12d 473	. . . . . . 7 |- ( y = <. B , 0R >. -> ( ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
23		df-lt 8105	. . . . . . 7 |- <RR = { <. x , y >. | ( ( x e. RR /\ y e. RR ) /\ E. z E. w ( ( x = <. z , 0R >. /\ y = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4369	. . . . . 6 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) /\ E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) ) )
25	24	bianabs 615	. . . . 5 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) ) )
26		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- z e. _V
27	26	eqresr 8116	. . . . . . . . . 10 |- ( <. z , 0R >. = <. A , 0R >. <-> z = A )
28		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> <. z , 0R >. = <. A , 0R >. )
29		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( A = z <-> z = A )
30	27, 28, 29	3bitr4i 212	. . . . . . . . 9 |- ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. <-> A = z )
31		vex 2806	. . . . . . . . . . 11 |- w e. _V
32	31	eqresr 8116	. . . . . . . . . 10 |- ( <. w , 0R >. = <. B , 0R >. <-> w = B )
33		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> <. w , 0R >. = <. B , 0R >. )
34		eqcom 2233	. . . . . . . . . 10 |- ( B = w <-> w = B )
35	32, 33, 34	3bitr4i 212	. . . . . . . . 9 |- ( <. B , 0R >. = <. w , 0R >. <-> B = w )
36	30, 35	anbi12i 460	. . . . . . . 8 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> ( A = z /\ B = w ) )
37	26, 31	opth2 4338	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. z , w >. <-> ( A = z /\ B = w ) )
38	36, 37	bitr4i 187	. . . . . . 7 |- ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) <-> <. A , B >. = <. z , w >. )
39	38	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
40	39	2exbii 1655	. . . . 5 |- ( E. z E. w ( ( <. A , 0R >. = <. z , 0R >. /\ <. B , 0R >. = <. w , 0R >. ) /\ z <R w ) <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) )
41	25, 40	bitrdi 196	. . . 4 |- ( ( <. A , 0R >. e. RR /\ <. B , 0R >. e. RR ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
42	3, 4, 41	syl2anbr 292	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) ) )
43		breq12 4098	. . . 4 |- ( ( z = A /\ w = B ) -> ( z <R w <-> A <R B ) )
44	43	copsex2g 4344	. . 3 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( E. z E. w ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ z <R w ) <-> A <R B ) )
45	42, 44	bitrd 188	. 2 |- ( ( A e. R. /\ B e. R. ) -> ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B ) )
46	6, 8, 45	pm5.21nii 712	1 |- ( <. A , 0R >. <RR <. B , 0R >. <-> A <R B )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2202   <.cop 3676   class class class wbr 4093   R.cnr 7577   0Rc0r 7578   <R cltr 7583   RRcr 8091   <RR cltrr 8096

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-1nqqs 7631  df-rq 7632  df-ltnqqs 7633  df-inp 7746  df-i1p 7747  df-enr 8006  df-nr 8007  df-ltr 8010  df-0r 8011  df-r 8102  df-lt 8105

This theorem is referenced by:  ltresr2  8120  pitoregt0  8129  ltrennb  8134  ax0lt1  8156  axprecex  8160  axpre-ltirr  8162  axpre-ltwlin  8163  axpre-lttrn  8164  axpre-apti  8165  axpre-ltadd  8166  axpre-mulgt0  8167  axpre-mulext  8168  axarch  8171  axcaucvglemcau  8178  axcaucvglemres  8179  axpre-suploclemres  8181