Theorem caucvgsrlemfv 7326

Description: Lemma for caucvgsr 7337. Coercing sequence value from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsr.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsr.cau	|- ( ph -> A. n e. N. A. k e. N. ( n <N k -> ( ( F ` n ) <R ( ( F ` k ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) /\ ( F ` k ) <R ( ( F ` n ) +R [ <. ( <. { l | l <Q ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) } , { u | ( *Q ` [ <. n , 1o >. ] ~Q ) <Q u } >. +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
caucvgsrlemf.xfr	|- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemfv	|- ( ( ph /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( G ` A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )

Distinct variable groups:   A, m   x, A, y   m, F   x, F, y   ph, x

Allowed substitution hints:   ph( y, u, k, m, n, l)   A( u, k, n, l)   F( u, k, n, l)   G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemf.xfr	. . . . . . 7 |- G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
2	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> G = ( x e. N. |-> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) ) )
3		fveq2 5299	. . . . . . . . 9 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
4	3	eqeq1d 2096	. . . . . . . 8 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
5	4	riotabidv 5602	. . . . . . 7 |- ( x = A -> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
6	5	adantl 271	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ A e. N. ) /\ x = A ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` x ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
7		simpr 108	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> A e. N. )
8		caucvgsr.f	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : N. --> R. )
9		caucvgsrlemgt1.gt1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
10	8, 9	caucvgsrlemcl 7324	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
11	2, 6, 7, 10	fvmptd 5379	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( G ` A ) = ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) )
12	11	oveq1d 5659	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( ( G ` A ) +P. 1P ) = ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) )
13	12	opeq1d 3626	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> <. ( ( G ` A ) +P. 1P ) , 1P >. = <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. )
14	13	eceq1d 6318	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( G ` A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
15		eqcom 2090	. . . . . . 7 |- ( ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
16	15	a1i 9	. . . . . 6 |- ( y e. P. -> ( ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R <-> [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) )
17	16	riotabiia 5617	. . . . 5 |- ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) = ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
18	17	oveq1i 5654	. . . 4 |- ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) = ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P )
19	18	opeq1i 3623	. . 3 |- <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. = <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >.
20		eceq1 6317	. . 3 |- ( <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. = <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >. -> [ <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
21	19, 20	mp1i 10	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = [ <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
22	8	ffvelrnda 5428	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( F ` A ) e. R. )
23		0lt1sr 7301	. . . 4 |- 0R <R 1R
24		fveq2 5299	. . . . . . 7 |- ( m = A -> ( F ` m ) = ( F ` A ) )
25	24	breq2d 3855	. . . . . 6 |- ( m = A -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` A ) ) )
26	25	rspcv 2718	. . . . 5 |- ( A e. N. -> ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) -> 1R <R ( F ` A ) ) )
27	9, 26	mpan9 275	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 1R <R ( F ` A ) )
28		ltsosr 7300	. . . . 5 |- <R Or R.
29		ltrelsr 7274	. . . . 5 |- <R C_ ( R. X. R. )
30	28, 29	sotri 4822	. . . 4 |- ( ( 0R <R 1R /\ 1R <R ( F ` A ) ) -> 0R <R ( F ` A ) )
31	23, 27, 30	sylancr 405	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 0R <R ( F ` A ) )
32		prsrriota 7323	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) e. R. /\ 0R <R ( F ` A ) ) -> [ <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
33	22, 31, 32	syl2anc 403	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( iota_ y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
34	14, 21, 33	3eqtrd 2124	1 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> [ <. ( ( G ` A ) +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   = wceq 1289   e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   <.cop 3447   class class class wbr 3843   |-> cmpt 3897   -->wf 5006   ` cfv 5010   iota_crio 5599  (class class class)co 5644   1oc1o 6166   [cec 6280   N.cnpi 6821   <N clti 6824   ~Q ceq 6828   *Qcrq 6833   <Q cltq 6834   P.cnp 6840   1Pc1p 6841   +P. cpp 6842   ~R cer 6845   R.cnr 6846   0Rc0r 6847   1Rc1r 6848   +R cplr 6850   <R cltr 6852

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-i1p 7016  df-iplp 7017  df-iltp 7019  df-enr 7262  df-nr 7263  df-ltr 7266  df-0r 7267  df-1r 7268

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7328  caucvgsrlembound  7329  caucvgsrlemgt1  7330