ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemfv Unicode version

Theorem caucvgsrlemfv 7326
Description: Lemma for caucvgsr 7337. Coercing sequence value from a positive real to a signed real. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsr.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsr.cau  |-  ( ph  ->  A. n  e.  N.  A. k  e.  N.  (
n  <N  k  ->  (
( F `  n
)  <R  ( ( F `
 k )  +R 
[ <. ( <. { l  |  l  <Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  /\  ( F `  k )  <R  (
( F `  n
)  +R  [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  ) } ,  { u  |  ( *Q `  [ <. n ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ) ) ) )
caucvgsrlemgt1.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
caucvgsrlemf.xfr  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemfv  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
Distinct variable groups:    A, m    x, A, y    m, F    x, F, y    ph, x
Allowed substitution hints:    ph( y, u, k, m, n, l)    A( u, k, n, l)    F( u, k, n, l)    G( x, y, u, k, m, n, l)

Proof of Theorem caucvgsrlemfv
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemf.xfr . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
21a1i 9 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  G  =  ( x  e.  N.  |->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
) )
3 fveq2 5299 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
43eqeq1d 2096 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
)  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
54riotabidv 5602 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
65adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A  e.  N. )  /\  x  =  A )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  x )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
7 simpr 108 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  A  e. 
N. )
8 caucvgsr.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
9 caucvgsrlemgt1.gt1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
108, 9caucvgsrlemcl 7324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
112, 6, 7, 10fvmptd 5379 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( G `
 A )  =  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
1211oveq1d 5659 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( ( G `  A )  +P.  1P )  =  ( ( iota_ y  e. 
P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) )
1312opeq1d 3626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  <. (
( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. )
1413eceq1d 6318 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
15 eqcom 2090 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
1615a1i 9 . . . . . 6  |-  ( y  e.  P.  ->  (
( F `  A
)  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <->  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) ) )
1716riotabiia 5617 . . . . 5  |-  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
1817oveq1i 5654 . . . 4  |-  ( (
iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P )  =  ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P )
1918opeq1i 3623 . . 3  |-  <. (
( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >.
20 eceq1 6317 . . 3  |-  ( <.
( ( iota_ y  e. 
P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >.  =  <. ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >.  ->  [ <. (
( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e. 
P.  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
2119, 20mp1i 10 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. ( ( iota_ y  e. 
P.  [ <. (
y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
228ffvelrnda 5428 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( F `
 A )  e. 
R. )
23 0lt1sr 7301 . . . 4  |-  0R  <R  1R
24 fveq2 5299 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  ( F `  m )  =  ( F `  A ) )
2524breq2d 3855 . . . . . 6  |-  ( m  =  A  ->  ( 1R  <R  ( F `  m )  <->  1R  <R  ( F `  A )
) )
2625rspcv 2718 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m )  ->  1R  <R  ( F `  A
) ) )
279, 26mpan9 275 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  1R  <R  ( F `  A ) )
28 ltsosr 7300 . . . . 5  |-  <R  Or  R.
29 ltrelsr 7274 . . . . 5  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
3028, 29sotri 4822 . . . 4  |-  ( ( 0R  <R  1R  /\  1R  <R  ( F `  A
) )  ->  0R  <R  ( F `  A
) )
3123, 27, 30sylancr 405 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  0R  <R  ( F `  A ) )
32 prsrriota 7323 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R.  /\  0R  <R  ( F `  A ) )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
3322, 31, 32syl2anc 403 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( iota_ y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
3414, 21, 333eqtrd 2124 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  [ <. ( ( G `  A
)  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   <.cop 3447   class class class wbr 3843    |-> cmpt 3897   -->wf 5006   ` cfv 5010   iota_crio 5599  (class class class)co 5644   1oc1o 6166   [cec 6280   N.cnpi 6821    <N clti 6824    ~Q ceq 6828   *Qcrq 6833    <Q cltq 6834   P.cnp 6840   1Pc1p 6841    +P. cpp 6842    ~R cer 6845   R.cnr 6846   0Rc0r 6847   1Rc1r 6848    +R cplr 6850    <R cltr 6852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3952  ax-sep 3955  ax-nul 3963  ax-pow 4007  ax-pr 4034  ax-un 4258  ax-setind 4351  ax-iinf 4401
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rmo 2367  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3429  df-sn 3450  df-pr 3451  df-op 3453  df-uni 3652  df-int 3687  df-iun 3730  df-br 3844  df-opab 3898  df-mpt 3899  df-tr 3935  df-eprel 4114  df-id 4118  df-po 4121  df-iso 4122  df-iord 4191  df-on 4193  df-suc 4196  df-iom 4404  df-xp 4442  df-rel 4443  df-cnv 4444  df-co 4445  df-dm 4446  df-rn 4447  df-res 4448  df-ima 4449  df-iota 4975  df-fun 5012  df-fn 5013  df-f 5014  df-f1 5015  df-fo 5016  df-f1o 5017  df-fv 5018  df-riota 5600  df-ov 5647  df-oprab 5648  df-mpt2 5649  df-1st 5903  df-2nd 5904  df-recs 6062  df-irdg 6127  df-1o 6173  df-2o 6174  df-oadd 6177  df-omul 6178  df-er 6282  df-ec 6284  df-qs 6288  df-ni 6853  df-pli 6854  df-mi 6855  df-lti 6856  df-plpq 6893  df-mpq 6894  df-enq 6896  df-nqqs 6897  df-plqqs 6898  df-mqqs 6899  df-1nqqs 6900  df-rq 6901  df-ltnqqs 6902  df-enq0 6973  df-nq0 6974  df-0nq0 6975  df-plq0 6976  df-mq0 6977  df-inp 7015  df-i1p 7016  df-iplp 7017  df-iltp 7019  df-enr 7262  df-nr 7263  df-ltr 7266  df-0r 7267  df-1r 7268
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemcau  7328  caucvgsrlembound  7329  caucvgsrlemgt1  7330
  Copyright terms: Public domain W3C validator