Theorem suplocsr 8140

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocsr.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsr.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	|- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		eleq1w 2295	. . . 4 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1970	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		opeq1 3888	. . . . . . 7 |- ( b = c -> <. b , 1P >. = <. c , 1P >. )
6	5	eceq1d 6816	. . . . . 6 |- ( b = c -> [ <. b , 1P >. ] ~R = [ <. c , 1P >. ] ~R )
7	6	oveq2d 6074	. . . . 5 |- ( b = c -> ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) = ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) )
8	7	eleq1d 2303	. . . 4 |- ( b = c -> ( ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
9	8	cbvrabv 2814	. . 3 |- { b e. P. | ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A } = { c e. P. | ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A }
10		suplocsr.ub	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
11		ltrelsr 8069	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
12	11	brel 4807	. . . . . . . . 9 |- ( y <R x -> ( y e. R. /\ x e. R. ) )
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( y <R x -> y e. R. )
14	13	ralimi 2607	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> A. y e. A y e. R. )
15		dfss3 3230	. . . . . . 7 |- ( A C_ R. <-> A. y e. A y e. R. )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
17	16	rexlimivw 2658	. . . . 5 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
18	10, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ R. )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A C_ R. )
20		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A )
21	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
22		suplocsr.loc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 8139	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
25	4, 24	exlimddv 1950	1 |- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 716   E.wex 1541   e. wcel 2205   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   C_ wss 3214   <.cop 3697   class class class wbr 4114  (class class class)co 6058   [cec 6778   P.cnp 7622   1Pc1p 7623   ~R cer 7627   R.cnr 7628   +R cplr 7632   <R cltr 7634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-eprel 4415  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-irdg 6614  df-1o 6660  df-2o 6661  df-oadd 6664  df-omul 6665  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-ni 7635  df-pli 7636  df-mi 7637  df-lti 7638  df-plpq 7675  df-mpq 7676  df-enq 7678  df-nqqs 7679  df-plqqs 7680  df-mqqs 7681  df-1nqqs 7682  df-rq 7683  df-ltnqqs 7684  df-enq0 7755  df-nq0 7756  df-0nq0 7757  df-plq0 7758  df-mq0 7759  df-inp 7797  df-i1p 7798  df-iplp 7799  df-imp 7800  df-iltp 7801  df-enr 8057  df-nr 8058  df-plr 8059  df-mr 8060  df-ltr 8061  df-0r 8062  df-1r 8063  df-m1r 8064

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  8232