ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocsr Unicode version

Theorem suplocsr 7610
Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsr.m  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
suplocsr.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
suplocsr.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocsr  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    ph, x, y, z

Proof of Theorem suplocsr
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocsr.m . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  x  e.  A )
2 eleq1w 2198 . . . 4  |-  ( x  =  a  ->  (
x  e.  A  <->  a  e.  A ) )
32cbvexv 1890 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  <->  E. a  a  e.  A
)
41, 3sylib 121 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  A )
5 opeq1 3700 . . . . . . 7  |-  ( b  =  c  ->  <. b ,  1P >.  =  <. c ,  1P >. )
65eceq1d 6458 . . . . . 6  |-  ( b  =  c  ->  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. c ,  1P >. ]  ~R  )
76oveq2d 5783 . . . . 5  |-  ( b  =  c  ->  (
a  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( a  +R  [ <. c ,  1P >. ]  ~R  ) )
87eleq1d 2206 . . . 4  |-  ( b  =  c  ->  (
( a  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( a  +R  [ <. c ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
98cbvrabv 2680 . . 3  |-  { b  e.  P.  |  ( a  +R  [ <. b ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  =  { c  e.  P.  |  ( a  +R 
[ <. c ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
10 suplocsr.ub . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
11 ltrelsr 7539 . . . . . . . . . 10  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
1211brel 4586 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
<R  x  ->  ( y  e.  R.  /\  x  e.  R. ) )
1312simpld 111 . . . . . . . 8  |-  ( y 
<R  x  ->  y  e. 
R. )
1413ralimi 2493 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
15 dfss3 3082 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  R.  <->  A. y  e.  A  y  e.  R. )
1614, 15sylibr 133 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A  C_  R. )
1716rexlimivw 2543 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  A  C_  R. )
1810, 17syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  R. )
1918adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  A  C_ 
R. )
20 simpr 109 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  a  e.  A )
2110adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y  <R  x
)
22 suplocsr.loc . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
2322adantr 274 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  A. x  e.  R.  A. y  e. 
R.  ( x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y
) ) )
249, 19, 20, 21, 23suplocsrlem 7609 . 2  |-  ( (
ph  /\  a  e.  A )  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  ( y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
254, 24exlimddv 1870 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  ( A. y  e.  A  -.  x  <R  y  /\  A. y  e.  R.  (
y  <R  x  ->  E. z  e.  A  y  <R  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   [cec 6420   P.cnp 7092   1Pc1p 7093    ~R cer 7097   R.cnr 7098    +R cplr 7102    <R cltr 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534
This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  7702
  Copyright terms: Public domain W3C validator