Theorem suplocsr 7771

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocsr.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsr.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	|- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		eleq1w 2231	. . . 4 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1911	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 121	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		opeq1 3765	. . . . . . 7 |- ( b = c -> <. b , 1P >. = <. c , 1P >. )
6	5	eceq1d 6549	. . . . . 6 |- ( b = c -> [ <. b , 1P >. ] ~R = [ <. c , 1P >. ] ~R )
7	6	oveq2d 5869	. . . . 5 |- ( b = c -> ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) = ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) )
8	7	eleq1d 2239	. . . 4 |- ( b = c -> ( ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
9	8	cbvrabv 2729	. . 3 |- { b e. P. | ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A } = { c e. P. | ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A }
10		suplocsr.ub	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
11		ltrelsr 7700	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
12	11	brel 4663	. . . . . . . . 9 |- ( y <R x -> ( y e. R. /\ x e. R. ) )
13	12	simpld 111	. . . . . . . 8 |- ( y <R x -> y e. R. )
14	13	ralimi 2533	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> A. y e. A y e. R. )
15		dfss3 3137	. . . . . . 7 |- ( A C_ R. <-> A. y e. A y e. R. )
16	14, 15	sylibr 133	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
17	16	rexlimivw 2583	. . . . 5 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
18	10, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ R. )
19	18	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A C_ R. )
20		simpr 109	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A )
21	10	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
22		suplocsr.loc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
23	22	adantr 274	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 7770	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
25	4, 24	exlimddv 1891	1 |- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 703   E.wex 1485   e. wcel 2141   A.wral 2448   E.wrex 2449   {crab 2452   C_ wss 3121   <.cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853   [cec 6511   P.cnp 7253   1Pc1p 7254   ~R cer 7258   R.cnr 7259   +R cplr 7263   <R cltr 7265

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-plpq 7306  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-plqqs 7311  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315  df-enq0 7386  df-nq0 7387  df-0nq0 7388  df-plq0 7389  df-mq0 7390  df-inp 7428  df-i1p 7429  df-iplp 7430  df-imp 7431  df-iltp 7432  df-enr 7688  df-nr 7689  df-plr 7690  df-mr 7691  df-ltr 7692  df-0r 7693  df-1r 7694  df-m1r 7695

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  7863