Theorem suplocsr 7876

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocsr.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsr.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	|- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		eleq1w 2257	. . . 4 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1933	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		opeq1 3808	. . . . . . 7 |- ( b = c -> <. b , 1P >. = <. c , 1P >. )
6	5	eceq1d 6628	. . . . . 6 |- ( b = c -> [ <. b , 1P >. ] ~R = [ <. c , 1P >. ] ~R )
7	6	oveq2d 5938	. . . . 5 |- ( b = c -> ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) = ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) )
8	7	eleq1d 2265	. . . 4 |- ( b = c -> ( ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
9	8	cbvrabv 2762	. . 3 |- { b e. P. | ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A } = { c e. P. | ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A }
10		suplocsr.ub	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
11		ltrelsr 7805	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
12	11	brel 4715	. . . . . . . . 9 |- ( y <R x -> ( y e. R. /\ x e. R. ) )
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( y <R x -> y e. R. )
14	13	ralimi 2560	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> A. y e. A y e. R. )
15		dfss3 3173	. . . . . . 7 |- ( A C_ R. <-> A. y e. A y e. R. )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
17	16	rexlimivw 2610	. . . . 5 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
18	10, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ R. )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A C_ R. )
20		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A )
21	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
22		suplocsr.loc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 7875	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
25	4, 24	exlimddv 1913	1 |- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   <.cop 3625   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   [cec 6590   P.cnp 7358   1Pc1p 7359   ~R cer 7363   R.cnr 7364   +R cplr 7368   <R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  7968