Theorem suplocsr 8169

Description: An inhabited, bounded, located set of signed reals has a supremum. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsr.m	|- ( ph -> E. x x e. A )
suplocsr.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsr.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsr	|- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   ph, x, y, z

Proof of Theorem suplocsr

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsr.m	. . 3 |- ( ph -> E. x x e. A )
2		eleq1w 2299	. . . 4 |- ( x = a -> ( x e. A <-> a e. A ) )
3	2	cbvexv 1974	. . 3 |- ( E. x x e. A <-> E. a a e. A )
4	1, 3	sylib 122	. 2 |- ( ph -> E. a a e. A )
5		opeq1 3902	. . . . . . 7 |- ( b = c -> <. b , 1P >. = <. c , 1P >. )
6	5	eceq1d 6836	. . . . . 6 |- ( b = c -> [ <. b , 1P >. ] ~R = [ <. c , 1P >. ] ~R )
7	6	oveq2d 6094	. . . . 5 |- ( b = c -> ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) = ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) )
8	7	eleq1d 2307	. . . 4 |- ( b = c -> ( ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
9	8	cbvrabv 2820	. . 3 |- { b e. P. | ( a +R [ <. b , 1P >. ] ~R ) e. A } = { c e. P. | ( a +R [ <. c , 1P >. ] ~R ) e. A }
10		suplocsr.ub	. . . . 5 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
11		ltrelsr 8098	. . . . . . . . . 10 |- <R C_ ( R. X. R. )
12	11	brel 4825	. . . . . . . . 9 |- ( y <R x -> ( y e. R. /\ x e. R. ) )
13	12	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( y <R x -> y e. R. )
14	13	ralimi 2613	. . . . . . 7 |- ( A. y e. A y <R x -> A. y e. A y e. R. )
15		dfss3 3236	. . . . . . 7 |- ( A C_ R. <-> A. y e. A y e. R. )
16	14, 15	sylibr 134	. . . . . 6 |- ( A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
17	16	rexlimivw 2664	. . . . 5 |- ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> A C_ R. )
18	10, 17	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> A C_ R. )
19	18	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A C_ R. )
20		simpr 110	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> a e. A )
21	10	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
22		suplocsr.loc	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
24	9, 19, 20, 21, 23	suplocsrlem 8168	. 2 |- ( ( ph /\ a e. A ) -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )
25	4, 24	exlimddv 1954	1 |- ( ph -> E. x e. R. ( A. y e. A -. x <R y /\ A. y e. R. ( y <R x -> E. z e. A y <R z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 720   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   <.cop 3711   class class class wbr 4128  (class class class)co 6078   [cec 6798   P.cnp 7651   1Pc1p 7652   ~R cer 7656   R.cnr 7657   +R cplr 7661   <R cltr 7663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-eprel 4432  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-recs 6569  df-irdg 6634  df-1o 6680  df-2o 6681  df-oadd 6684  df-omul 6685  df-er 6800  df-ec 6802  df-qs 6806  df-ni 7664  df-pli 7665  df-mi 7666  df-lti 7667  df-plpq 7704  df-mpq 7705  df-enq 7707  df-nqqs 7708  df-plqqs 7709  df-mqqs 7710  df-1nqqs 7711  df-rq 7712  df-ltnqqs 7713  df-enq0 7784  df-nq0 7785  df-0nq0 7786  df-plq0 7787  df-mq0 7788  df-inp 7826  df-i1p 7827  df-iplp 7828  df-imp 7829  df-iltp 7830  df-enr 8086  df-nr 8087  df-plr 8088  df-mr 8089  df-ltr 8090  df-0r 8091  df-1r 8092  df-m1r 8093

This theorem is referenced by:  axpre-suploclemres  8261