Theorem suplocsrlempr 7874

Description: Lemma for suplocsr 7876. The set B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	|- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
suplocsrlem.ss	|- ( ph -> A C_ R. )
suplocsrlem.c	|- ( ph -> C e. A )
suplocsrlem.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsrlem.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	|- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, v, y   u, A, x, z   u, B, v, w, x, z   w, C, v, x, y   u, C, z   ph, u, v, w, x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ R. )
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3184	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. R. )
4		0idsr 7834	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C +R 0R ) = C )
6	5, 2	eqeltrd 2273	. . . . 5 |- ( ph -> ( C +R 0R ) e. A )
7		1pr 7621	. . . . 5 |- 1P e. P.
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 |- ( ph -> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
9		opeq1 3808	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
10	9	eceq1d 6628	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 7798	. . . . . . . 8 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2247	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 5938	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2265	. . . . 5 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 |- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	14, 15	elrab2 2923	. . . 4 |- ( 1P e. B <-> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> 1P e. B )
18		elex2 2779	. . 3 |- ( 1P e. B -> E. v v e. B )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. v v e. B )
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
21		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
22	21	rspccv 2865	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> C <R x )
24		0lt1sr 7832	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R <R 1R
25		0r 7817	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
26		1sr 7818	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		m1r 7819	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
28		ltasrg 7837	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
31		0idsr 7834	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
33		m1p1sr 7827	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4062	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R <R 0R
35		ltasrg 7837	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -1R e. R. /\ 0R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
38	37, 5	breqtrd 4059	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R C )
39		ltsosr 7831	. . . . . . . . . . 11 |- <R Or R.
40		ltrelsr 7805	. . . . . . . . . . 11 |- <R C_ ( R. X. R. )
41	39, 40	sotri 5065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
43		map2psrprg 7872	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
48		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R x )
50		breq2 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
51	50	ralbidv 2497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
55	15	rabeq2i 2760	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B <-> ( w e. P. /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
58	48, 54, 57	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
59	58	ralrimiva 2570	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
61	60	reximdva 2599	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
63	62	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
64	63	rexlimdvw 2618	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
65	20, 64	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
66		elrabi 2917	. . . . . . . 8 |- ( w e. { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A } -> w e. P. )
67		opeq1 3808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = a -> <. w , 1P >. = <. a , 1P >. )
68	67	eceq1d 6628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = a -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. a , 1P >. ] ~R )
69	68	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) )
70	69	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
71	70	cbvrabv 2762	. . . . . . . . 9 |- { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A } = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
72	15, 71	eqtri 2217	. . . . . . . 8 |- B = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
73	66, 72	eleq2s 2291	. . . . . . 7 |- ( w e. B -> w e. P. )
74	73	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> w e. P. )
75		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> v e. P. )
76	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> C e. R. )
77		ltpsrprg 7870	. . . . . 6 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1249	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
79	78	ralbidva 2493	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. w e. B w <P v ) )
80	79	rexbidva 2494	. . 3 |- ( ph -> ( E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
81	65, 80	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
82		suplocsrlem.loc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7873	. 2 |- ( ph -> A. v e. P. A. w e. P. ( v <P w -> ( E. u e. B v <P u \/ A. u e. B u <P w ) ) )
84	19, 81, 83	suplocexpr 7792	1 |- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   <.cop 3625   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922   [cec 6590   P.cnp 7358   1Pc1p 7359   <P cltp 7362   ~R cer 7363   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   1Rc1r 7366   -1Rcm1r 7367   +R cplr 7368   <R cltr 7370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7875