Theorem suplocsrlempr 8122

Description: Lemma for suplocsr 8124. The set B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	|- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
suplocsrlem.ss	|- ( ph -> A C_ R. )
suplocsrlem.c	|- ( ph -> C e. A )
suplocsrlem.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsrlem.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	|- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, v, y   u, A, x, z   u, B, v, w, x, z   w, C, v, x, y   u, C, z   ph, u, v, w, x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ R. )
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3239	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. R. )
4		0idsr 8082	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C +R 0R ) = C )
6	5, 2	eqeltrd 2309	. . . . 5 |- ( ph -> ( C +R 0R ) e. A )
7		1pr 7869	. . . . 5 |- 1P e. P.
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 |- ( ph -> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
9		opeq1 3883	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
10	9	eceq1d 6803	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 8046	. . . . . . . 8 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2283	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 6066	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2301	. . . . 5 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 |- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	14, 15	elrab2 2976	. . . 4 |- ( 1P e. B <-> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> 1P e. B )
18		elex2 2830	. . 3 |- ( 1P e. B -> E. v v e. B )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. v v e. B )
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
21		breq1 4112	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
22	21	rspccv 2918	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> C <R x )
24		0lt1sr 8080	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R <R 1R
25		0r 8065	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
26		1sr 8066	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		m1r 8067	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
28		ltasrg 8085	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
31		0idsr 8082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
33		m1p1sr 8075	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4138	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R <R 0R
35		ltasrg 8085	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -1R e. R. /\ 0R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1378	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
38	37, 5	breqtrd 4135	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R C )
39		ltsosr 8079	. . . . . . . . . . 11 |- <R Or R.
40		ltrelsr 8053	. . . . . . . . . . 11 |- <R C_ ( R. X. R. )
41	39, 40	sotri 5158	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
43		map2psrprg 8120	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
48		breq1 4112	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
49		simpllr 536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R x )
50		breq2 4113	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
51	50	ralbidv 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
55	15	rabeq2i 2810	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B <-> ( w e. P. /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
58	48, 54, 57	rspcdva 2926	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
59	58	ralrimiva 2615	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
61	60	reximdva 2644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
63	62	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
64	63	rexlimdvw 2664	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
65	20, 64	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
66		elrabi 2970	. . . . . . . 8 |- ( w e. { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A } -> w e. P. )
67		opeq1 3883	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = a -> <. w , 1P >. = <. a , 1P >. )
68	67	eceq1d 6803	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = a -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. a , 1P >. ] ~R )
69	68	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) )
70	69	eleq1d 2301	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
71	70	cbvrabv 2812	. . . . . . . . 9 |- { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A } = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
72	15, 71	eqtri 2253	. . . . . . . 8 |- B = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
73	66, 72	eleq2s 2327	. . . . . . 7 |- ( w e. B -> w e. P. )
74	73	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> w e. P. )
75		simplr 529	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> v e. P. )
76	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> C e. R. )
77		ltpsrprg 8118	. . . . . 6 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1274	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
79	78	ralbidva 2538	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. w e. B w <P v ) )
80	79	rexbidva 2539	. . 3 |- ( ph -> ( E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
81	65, 80	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
82		suplocsrlem.loc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 8121	. 2 |- ( ph -> A. v e. P. A. w e. P. ( v <P w -> ( E. u e. B v <P u \/ A. u e. B u <P w ) ) )
84	19, 81, 83	suplocexpr 8040	1 |- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2203   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   C_ wss 3211   <.cop 3692   class class class wbr 4109  (class class class)co 6050   [cec 6765   P.cnp 7606   1Pc1p 7607   <P cltp 7610   ~R cer 7611   R.cnr 7612   0Rc0r 7613   1Rc1r 7614   -1Rcm1r 7615   +R cplr 7616   <R cltr 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-imp 7784  df-iltp 7785  df-enr 8041  df-nr 8042  df-plr 8043  df-mr 8044  df-ltr 8045  df-0r 8046  df-1r 8047  df-m1r 8048

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  8123