Theorem suplocsrlempr 7748

Description: Lemma for suplocsr 7750. The set B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	|- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
suplocsrlem.ss	|- ( ph -> A C_ R. )
suplocsrlem.c	|- ( ph -> C e. A )
suplocsrlem.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsrlem.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	|- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, v, y   u, A, x, z   u, B, v, w, x, z   w, C, v, x, y   u, C, z   ph, u, v, w, x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ R. )
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3143	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. R. )
4		0idsr 7708	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C +R 0R ) = C )
6	5, 2	eqeltrd 2243	. . . . 5 |- ( ph -> ( C +R 0R ) e. A )
7		1pr 7495	. . . . 5 |- 1P e. P.
8	6, 7	jctil 310	. . . 4 |- ( ph -> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
9		opeq1 3758	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
10	9	eceq1d 6537	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 7672	. . . . . . . 8 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2217	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 5858	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2235	. . . . 5 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 |- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	14, 15	elrab2 2885	. . . 4 |- ( 1P e. B <-> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
17	8, 16	sylibr 133	. . 3 |- ( ph -> 1P e. B )
18		elex2 2742	. . 3 |- ( 1P e. B -> E. v v e. B )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. v v e. B )
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
21		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
22	21	rspccv 2827	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
23	2, 22	mpan9 279	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> C <R x )
24		0lt1sr 7706	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R <R 1R
25		0r 7691	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
26		1sr 7692	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		m1r 7693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
28		ltasrg 7711	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1327	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
30	24, 29	mpbi 144	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
31		0idsr 7708	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
33		m1p1sr 7701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4011	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R <R 0R
35		ltasrg 7711	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -1R e. R. /\ 0R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
37	34, 36	mpbii 147	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
38	37, 5	breqtrd 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R C )
39		ltsosr 7705	. . . . . . . . . . 11 |- <R Or R.
40		ltrelsr 7679	. . . . . . . . . . 11 |- <R C_ ( R. X. R. )
41	39, 40	sotri 4999	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
42	38, 41	sylan 281	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
43		map2psrprg 7746	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
46	42, 45	mpbid 146	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
47	23, 46	syldan 280	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
48		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
49		simpllr 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R x )
50		breq2 3986	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
51	50	ralbidv 2466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
52	51	adantl 275	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
53	49, 52	mpbird 166	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
54	53	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
55	15	rabeq2i 2723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B <-> ( w e. P. /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
56	55	simprbi 273	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
57	56	adantl 275	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
58	48, 54, 57	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
59	58	ralrimiva 2539	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
60	59	ex 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
61	60	reximdva 2568	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
63	62	ex 114	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
64	63	rexlimdvw 2587	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
65	20, 64	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
66		elrabi 2879	. . . . . . . 8 |- ( w e. { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A } -> w e. P. )
67		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = a -> <. w , 1P >. = <. a , 1P >. )
68	67	eceq1d 6537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = a -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. a , 1P >. ] ~R )
69	68	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) )
70	69	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
71	70	cbvrabv 2725	. . . . . . . . 9 |- { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A } = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
72	15, 71	eqtri 2186	. . . . . . . 8 |- B = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
73	66, 72	eleq2s 2261	. . . . . . 7 |- ( w e. B -> w e. P. )
74	73	adantl 275	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> w e. P. )
75		simplr 520	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> v e. P. )
76	3	ad2antrr 480	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> C e. R. )
77		ltpsrprg 7744	. . . . . 6 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
79	78	ralbidva 2462	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. w e. B w <P v ) )
80	79	rexbidva 2463	. . 3 |- ( ph -> ( E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
81	65, 80	mpbid 146	. 2 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
82		suplocsrlem.loc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7747	. 2 |- ( ph -> A. v e. P. A. w e. P. ( v <P w -> ( E. u e. B v <P u \/ A. u e. B u <P w ) ) )
84	19, 81, 83	suplocexpr 7666	1 |- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842   [cec 6499   P.cnp 7232   1Pc1p 7233   <P cltp 7236   ~R cer 7237   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   1Rc1r 7240   -1Rcm1r 7241   +R cplr 7242   <R cltr 7244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7749