Theorem suplocsrlempr 8164

Description: Lemma for suplocsr 8166. The set B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	|- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
suplocsrlem.ss	|- ( ph -> A C_ R. )
suplocsrlem.c	|- ( ph -> C e. A )
suplocsrlem.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsrlem.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	|- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, v, y   u, A, x, z   u, B, v, w, x, z   w, C, v, x, y   u, C, z   ph, u, v, w, x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ R. )
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3249	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. R. )
4		0idsr 8124	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C +R 0R ) = C )
6	5, 2	eqeltrd 2315	. . . . 5 |- ( ph -> ( C +R 0R ) e. A )
7		1pr 7911	. . . . 5 |- 1P e. P.
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 |- ( ph -> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
9		opeq1 3899	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
10	9	eceq1d 6833	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 8088	. . . . . . . 8 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2289	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 6091	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2307	. . . . 5 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 |- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	14, 15	elrab2 2985	. . . 4 |- ( 1P e. B <-> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> 1P e. B )
18		elex2 2838	. . 3 |- ( 1P e. B -> E. v v e. B )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. v v e. B )
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
21		breq1 4128	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
22	21	rspccv 2926	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> C <R x )
24		0lt1sr 8122	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R <R 1R
25		0r 8107	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
26		1sr 8108	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		m1r 8109	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
28		ltasrg 8127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1378	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
31		0idsr 8124	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
33		m1p1sr 8117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4154	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R <R 0R
35		ltasrg 8127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -1R e. R. /\ 0R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
38	37, 5	breqtrd 4151	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R C )
39		ltsosr 8121	. . . . . . . . . . 11 |- <R Or R.
40		ltrelsr 8095	. . . . . . . . . . 11 |- <R C_ ( R. X. R. )
41	39, 40	sotri 5178	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
43		map2psrprg 8162	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
48		breq1 4128	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
49		simpllr 540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R x )
50		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
51	50	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
55	15	rabeq2i 2818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B <-> ( w e. P. /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
58	48, 54, 57	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
59	58	ralrimiva 2623	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
61	60	reximdva 2652	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
63	62	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
64	63	rexlimdvw 2672	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
65	20, 64	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
66		elrabi 2979	. . . . . . . 8 |- ( w e. { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A } -> w e. P. )
67		opeq1 3899	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = a -> <. w , 1P >. = <. a , 1P >. )
68	67	eceq1d 6833	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = a -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. a , 1P >. ] ~R )
69	68	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) )
70	69	eleq1d 2307	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
71	70	cbvrabv 2820	. . . . . . . . 9 |- { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A } = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
72	15, 71	eqtri 2259	. . . . . . . 8 |- B = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
73	66, 72	eleq2s 2333	. . . . . . 7 |- ( w e. B -> w e. P. )
74	73	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> w e. P. )
75		simplr 533	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> v e. P. )
76	3	ad2antrr 492	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> C e. R. )
77		ltpsrprg 8160	. . . . . 6 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1278	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
79	78	ralbidva 2546	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. w e. B w <P v ) )
80	79	rexbidva 2547	. . 3 |- ( ph -> ( E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
81	65, 80	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
82		suplocsrlem.loc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 8163	. 2 |- ( ph -> A. v e. P. A. w e. P. ( v <P w -> ( E. u e. B v <P u \/ A. u e. B u <P w ) ) )
84	19, 81, 83	suplocexpr 8082	1 |- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   A.wral 2528   E.wrex 2529   {crab 2532   C_ wss 3220   <.cop 3708   class class class wbr 4125  (class class class)co 6075   [cec 6795   P.cnp 7648   1Pc1p 7649   <P cltp 7652   ~R cer 7653   R.cnr 7654   0Rc0r 7655   1Rc1r 7656   -1Rcm1r 7657   +R cplr 7658   <R cltr 7660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-irdg 6631  df-1o 6677  df-2o 6678  df-oadd 6681  df-omul 6682  df-er 6797  df-ec 6799  df-qs 6803  df-ni 7661  df-pli 7662  df-mi 7663  df-lti 7664  df-plpq 7701  df-mpq 7702  df-enq 7704  df-nqqs 7705  df-plqqs 7706  df-mqqs 7707  df-1nqqs 7708  df-rq 7709  df-ltnqqs 7710  df-enq0 7781  df-nq0 7782  df-0nq0 7783  df-plq0 7784  df-mq0 7785  df-inp 7823  df-i1p 7824  df-iplp 7825  df-imp 7826  df-iltp 7827  df-enr 8083  df-nr 8084  df-plr 8085  df-mr 8086  df-ltr 8087  df-0r 8088  df-1r 8089  df-m1r 8090

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  8165