Theorem suplocsrlempr 7806

Description: Lemma for suplocsr 7808. The set B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
suplocsrlem.b	|- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
suplocsrlem.ss	|- ( ph -> A C_ R. )
suplocsrlem.c	|- ( ph -> C e. A )
suplocsrlem.ub	|- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
suplocsrlem.loc	|- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
suplocsrlempr	|- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Distinct variable groups:   w, A, v, y   u, A, x, z   u, B, v, w, x, z   w, C, v, x, y   u, C, z   ph, u, v, w, x, z   y, z

Allowed substitution hints:   ph( y)   B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		suplocsrlem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ R. )
2		suplocsrlem.c	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3157	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. R. )
4		0idsr 7766	. . . . . . 7 |- ( C e. R. -> ( C +R 0R ) = C )
5	3, 4	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C +R 0R ) = C )
6	5, 2	eqeltrd 2254	. . . . 5 |- ( ph -> ( C +R 0R ) e. A )
7		1pr 7553	. . . . 5 |- 1P e. P.
8	6, 7	jctil 312	. . . 4 |- ( ph -> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
9		opeq1 3779	. . . . . . . . 9 |- ( w = 1P -> <. w , 1P >. = <. 1P , 1P >. )
10	9	eceq1d 6571	. . . . . . . 8 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R )
11		df-0r 7730	. . . . . . . 8 |- 0R = [ <. 1P , 1P >. ] ~R
12	10, 11	eqtr4di 2228	. . . . . . 7 |- ( w = 1P -> [ <. w , 1P >. ] ~R = 0R )
13	12	oveq2d 5891	. . . . . 6 |- ( w = 1P -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R 0R ) )
14	13	eleq1d 2246	. . . . 5 |- ( w = 1P -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R 0R ) e. A ) )
15		suplocsrlem.b	. . . . 5 |- B = { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A }
16	14, 15	elrab2 2897	. . . 4 |- ( 1P e. B <-> ( 1P e. P. /\ ( C +R 0R ) e. A ) )
17	8, 16	sylibr 134	. . 3 |- ( ph -> 1P e. B )
18		elex2 2754	. . 3 |- ( 1P e. B -> E. v v e. B )
19	17, 18	syl 14	. 2 |- ( ph -> E. v v e. B )
20		suplocsrlem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. R. A. y e. A y <R x )
21		breq1 4007	. . . . . . . . . 10 |- ( y = C -> ( y <R x <-> C <R x ) )
22	21	rspccv 2839	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A y <R x -> ( C e. A -> C <R x ) )
23	2, 22	mpan9 281	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> C <R x )
24		0lt1sr 7764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0R <R 1R
25		0r 7749	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 0R e. R.
26		1sr 7750	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1R e. R.
27		m1r 7751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- -1R e. R.
28		ltasrg 7769	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( 0R e. R. /\ 1R e. R. /\ -1R e. R. ) -> ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) ) )
29	25, 26, 27, 28	mp3an 1337	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 0R <R 1R <-> ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R ) )
30	24, 29	mpbi 145	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) <R ( -1R +R 1R )
31		0idsr 7766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -1R e. R. -> ( -1R +R 0R ) = -1R )
32	27, 31	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 0R ) = -1R
33		m1p1sr 7759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( -1R +R 1R ) = 0R
34	30, 32, 33	3brtr3i 4033	. . . . . . . . . . . 12 |- -1R <R 0R
35		ltasrg 7769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -1R e. R. /\ 0R e. R. /\ C e. R. ) -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
36	27, 25, 3, 35	mp3an12i 1341	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( -1R <R 0R <-> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) ) )
37	34, 36	mpbii 148	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R ( C +R 0R ) )
38	37, 5	breqtrd 4030	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( C +R -1R ) <R C )
39		ltsosr 7763	. . . . . . . . . . 11 |- <R Or R.
40		ltrelsr 7737	. . . . . . . . . . 11 |- <R C_ ( R. X. R. )
41	39, 40	sotri 5025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( C +R -1R ) <R C /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
42	38, 41	sylan 283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( C +R -1R ) <R x )
43		map2psrprg 7804	. . . . . . . . . . 11 |- ( C e. R. -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
44	3, 43	syl 14	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> ( ( C +R -1R ) <R x <-> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) )
46	42, 45	mpbid 147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ C <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
47	23, 46	syldan 282	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x )
48		breq1 4007	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
49		simpllr 534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R x )
50		breq2 4008	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> y <R x ) )
51	50	ralbidv 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
52	51	adantl 277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> ( A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. y e. A y <R x ) )
53	49, 52	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
54	53	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> A. y e. A y <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
55	15	rabeq2i 2735	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. B <-> ( w e. P. /\ ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
56	55	simprbi 275	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. B -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
57	56	adantl 277	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A )
58	48, 54, 57	rspcdva 2847	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) /\ w e. B ) -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
59	58	ralrimiva 2550	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) /\ ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x ) -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
60	59	ex 115	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) /\ v e. P. ) -> ( ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
61	60	reximdva 2579	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> ( E. v e. P. ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) = x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
62	47, 61	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ A. y e. A y <R x ) -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
63	62	ex 115	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
64	63	rexlimdvw 2598	. . . 4 |- ( ph -> ( E. x e. R. A. y e. A y <R x -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) ) )
65	20, 64	mpd 13	. . 3 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) )
66		elrabi 2891	. . . . . . . 8 |- ( w e. { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A } -> w e. P. )
67		opeq1 3779	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = a -> <. w , 1P >. = <. a , 1P >. )
68	67	eceq1d 6571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = a -> [ <. w , 1P >. ] ~R = [ <. a , 1P >. ] ~R )
69	68	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = a -> ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) = ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) )
70	69	eleq1d 2246	. . . . . . . . . 10 |- ( w = a -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A <-> ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A ) )
71	70	cbvrabv 2737	. . . . . . . . 9 |- { w e. P. | ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) e. A } = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
72	15, 71	eqtri 2198	. . . . . . . 8 |- B = { a e. P. | ( C +R [ <. a , 1P >. ] ~R ) e. A }
73	66, 72	eleq2s 2272	. . . . . . 7 |- ( w e. B -> w e. P. )
74	73	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> w e. P. )
75		simplr 528	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> v e. P. )
76	3	ad2antrr 488	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> C e. R. )
77		ltpsrprg 7802	. . . . . 6 |- ( ( w e. P. /\ v e. P. /\ C e. R. ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
78	74, 75, 76, 77	syl3anc 1238	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ v e. P. ) /\ w e. B ) -> ( ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> w <P v ) )
79	78	ralbidva 2473	. . . 4 |- ( ( ph /\ v e. P. ) -> ( A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> A. w e. B w <P v ) )
80	79	rexbidva 2474	. . 3 |- ( ph -> ( E. v e. P. A. w e. B ( C +R [ <. w , 1P >. ] ~R ) <R ( C +R [ <. v , 1P >. ] ~R ) <-> E. v e. P. A. w e. B w <P v ) )
81	65, 80	mpbid 147	. 2 |- ( ph -> E. v e. P. A. w e. B w <P v )
82		suplocsrlem.loc	. . 3 |- ( ph -> A. x e. R. A. y e. R. ( x <R y -> ( E. z e. A x <R z \/ A. z e. A z <R y ) ) )
83	15, 1, 2, 20, 82	suplocsrlemb 7805	. 2 |- ( ph -> A. v e. P. A. w e. P. ( v <P w -> ( E. u e. B v <P u \/ A. u e. B u <P w ) ) )
84	19, 81, 83	suplocexpr 7724	1 |- ( ph -> E. v e. P. ( A. w e. B -. v <P w /\ A. w e. P. ( w <P v -> E. u e. B w <P u ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   C_ wss 3130   <.cop 3596   class class class wbr 4004  (class class class)co 5875   [cec 6533   P.cnp 7290   1Pc1p 7291   <P cltp 7294   ~R cer 7295   R.cnr 7296   0Rc0r 7297   1Rc1r 7298   -1Rcm1r 7299   +R cplr 7300   <R cltr 7302

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-eprel 4290  df-id 4294  df-po 4297  df-iso 4298  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-1o 6417  df-2o 6418  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-pli 7304  df-mi 7305  df-lti 7306  df-plpq 7343  df-mpq 7344  df-enq 7346  df-nqqs 7347  df-plqqs 7348  df-mqqs 7349  df-1nqqs 7350  df-rq 7351  df-ltnqqs 7352  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-0nq0 7425  df-plq0 7426  df-mq0 7427  df-inp 7465  df-i1p 7466  df-iplp 7467  df-imp 7468  df-iltp 7469  df-enr 7725  df-nr 7726  df-plr 7727  df-mr 7728  df-ltr 7729  df-0r 7730  df-1r 7731  df-m1r 7732

This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7807