Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | suplocsrlem.ss |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif)
![R. R.](calr.gif) ![) )](rp.gif) |
2 | | suplocsrlem.c |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
3 | 1, 2 | sseldd 3103 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![R. R.](calr.gif) ![) )](rp.gif) |
4 | | 0idsr 7599 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
5 | 3, 4 | syl 14 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif)
![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
6 | 5, 2 | eqeltrd 2217 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif)
![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
7 | | 1pr 7386 |
. . . . 5
![P. P.](calp.gif) |
8 | 6, 7 | jctil 310 |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif)
![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
9 | | opeq1 3713 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif)
![<. <.](langle.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) |
10 | 9 | eceq1d 6473 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) |
11 | | df-0r 7563 |
. . . . . . . 8
![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![~R ~R](_simr.gif) |
12 | 10, 11 | eqtr4di 2191 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![) )](rp.gif) |
13 | 12 | oveq2d 5798 |
. . . . . 6
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
14 | 13 | eleq1d 2209 |
. . . . 5
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
15 | | suplocsrlem.b |
. . . . 5
![{ {](lbrace.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![A A](_ca.gif) ![} }](rbrace.gif) |
16 | 14, 15 | elrab2 2847 |
. . . 4
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
17 | 8, 16 | sylibr 133 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
18 | | elex2 2705 |
. . 3
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
19 | 17, 18 | syl 14 |
. 2
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![B B](_cb.gif) ![) )](rp.gif) |
20 | | suplocsrlem.ub |
. . . 4
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![A. A.](forall.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
21 | | breq1 3940 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
22 | 21 | rspccv 2790 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
23 | 2, 22 | mpan9 279 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
24 | | 0lt1sr 7597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![1R 1R](_1cr.gif) |
25 | | 0r 7582 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![R. R.](calr.gif) |
26 | | 1sr 7583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![R. R.](calr.gif) |
27 | | m1r 7584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![R. R.](calr.gif) |
28 | | ltasrg 7602 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R. R.](calr.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif)
![( (](lp.gif) ![1R 1R](_1cr.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
29 | 25, 26, 27, 28 | mp3an 1316 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif)
![( (](lp.gif) ![1R 1R](_1cr.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
30 | 24, 29 | mpbi 144 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![(
(](lp.gif)
![1R 1R](_1cr.gif) ![) )](rp.gif) |
31 | | 0idsr 7599 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![) )](rp.gif) |
32 | 27, 31 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) |
33 | | m1p1sr 7592 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![1R 1R](_1cr.gif) ![0R 0R](_0r.gif) |
34 | 30, 32, 33 | 3brtr3i 3965 |
. . . . . . . . . . . 12
![0R 0R](_0r.gif) |
35 | | ltasrg 7602 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![R. R.](calr.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
36 | 27, 25, 3, 35 | mp3an12i 1320 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
37 | 34, 36 | mpbii 147 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![( (](lp.gif) ![0R 0R](_0r.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
38 | 37, 5 | breqtrd 3962 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![C C](_cc.gif) ![) )](rp.gif) |
39 | | ltsosr 7596 |
. . . . . . . . . . 11
![R. R.](calr.gif) |
40 | | ltrelsr 7570 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![R. R.](calr.gif) ![) )](rp.gif) |
41 | 39, 40 | sotri 4942 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
42 | 38, 41 | sylan 281 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif)
![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![x x](_x.gif) ![)
)](rp.gif) |
43 | | map2psrprg 7637 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
44 | 3, 43 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
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45 | 44 | adantr 274 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![-1R -1R](_m1r.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif)
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![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![)
)](rp.gif) |
46 | 42, 45 | mpbid 146 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![x x](_x.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
47 | 23, 46 | syldan 280 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif)
![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
48 | | breq1 3940 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![(
(](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
49 | | simpllr 524 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![x x](_x.gif) ![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) |
50 | | breq2 3941 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
51 | 50 | ralbidv 2438 |
. . . . . . . . . . . . . 14
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
52 | 51 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![x x](_x.gif) ![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif)
![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
53 | 49, 52 | mpbird 166 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![x x](_x.gif) ![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
54 | 53 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![x x](_x.gif)
![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![B B](_cb.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
55 | 15 | rabeq2i 2686 |
. . . . . . . . . . . . 13
![( (](lp.gif)
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
56 | 55 | simprbi 273 |
. . . . . . . . . . . 12
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
57 | 56 | adantl 275 |
. . . . . . . . . . 11
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![x x](_x.gif)
![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![A A](_ca.gif) ![) )](rp.gif) |
58 | 48, 54, 57 | rspcdva 2798 |
. . . . . . . . . 10
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A.
A.](forall.gif) ![x x](_x.gif)
![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![B B](_cb.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
59 | 58 | ralrimiva 2508 |
. . . . . . . . 9
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif) ![x x](_x.gif) ![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![x x](_x.gif) ![A. A.](forall.gif)
![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![(
(](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
60 | 59 | ex 114 |
. . . . . . . 8
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif) ![P. P.](calp.gif) ![( (](lp.gif) ![(
(](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![A. A.](forall.gif) ![( (](lp.gif)
![[ [](lbrack.gif) ![<. <.](langle.gif) ![w w](_w.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![( (](lp.gif) ![[ [](lbrack.gif) ![<.
<.](langle.gif) ![v v](_v.gif) ![1P 1P](_1p.gif) ![>. >.](rangle.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) ![) )](rp.gif) |
61 | 60 | reximdva 2537 |
. . . . . . 7
![( (](lp.gif) ![( (](lp.gif)
![A. A.](forall.gif)
![x x](_x.gif)
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62 | 47, 61 | mpd 13 |
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63 | 62 | ex 114 |
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64 | 63 | rexlimdvw 2556 |
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65 | 20, 64 | mpd 13 |
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66 | | elrabi 2841 |
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67 | | opeq1 3713 |
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68 | 67 | eceq1d 6473 |
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69 | 68 | oveq2d 5798 |
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70 | 69 | eleq1d 2209 |
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71 | 70 | cbvrabv 2688 |
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72 | 15, 71 | eqtri 2161 |
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73 | 66, 72 | eleq2s 2235 |
. . . . . . 7
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74 | 73 | adantl 275 |
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75 | | simplr 520 |
. . . . . 6
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76 | 3 | ad2antrr 480 |
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77 | | ltpsrprg 7635 |
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78 | 74, 75, 76, 77 | syl3anc 1217 |
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79 | 78 | ralbidva 2434 |
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80 | 79 | rexbidva 2435 |
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81 | 65, 80 | mpbid 146 |
. 2
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82 | | suplocsrlem.loc |
. . 3
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83 | 15, 1, 2, 20, 82 | suplocsrlemb 7638 |
. 2
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84 | 19, 81, 83 | suplocexpr 7557 |
1
![( (](lp.gif) ![E. E.](exists.gif) ![( (](lp.gif) ![A. A.](forall.gif)
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