ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  suplocsrlempr Unicode version

Theorem suplocsrlempr 7608
Description: Lemma for suplocsr 7610. The set  B has a least upper bound. (Contributed by Jim Kingdon, 19-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
suplocsrlem.b  |-  B  =  { w  e.  P.  |  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
suplocsrlem.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  R. )
suplocsrlem.c  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
suplocsrlem.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
suplocsrlem.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
Assertion
Ref Expression
suplocsrlempr  |-  ( ph  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
Distinct variable groups:    w, A, v, y    u, A, x, z    u, B, v, w, x, z    w, C, v, x, y    u, C, z    ph, u, v, w, x, z    y,
z
Allowed substitution hints:    ph( y)    B( y)

Proof of Theorem suplocsrlempr
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suplocsrlem.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  R. )
2 suplocsrlem.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
31, 2sseldd 3093 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  R. )
4 0idsr 7568 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  R.  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
53, 4syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  +R  0R )  =  C )
65, 2eqeltrd 2214 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( C  +R  0R )  e.  A )
7 1pr 7355 . . . . 5  |-  1P  e.  P.
86, 7jctil 310 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1P  e.  P.  /\  ( C  +R  0R )  e.  A )
)
9 opeq1 3700 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  1P  ->  <. w ,  1P >.  =  <. 1P ,  1P >. )
109eceq1d 6458 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R  )
11 df-0r 7532 . . . . . . . 8  |-  0R  =  [ <. 1P ,  1P >. ]  ~R
1210, 11syl6eqr 2188 . . . . . . 7  |-  ( w  =  1P  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  0R )
1312oveq2d 5783 . . . . . 6  |-  ( w  =  1P  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  0R ) )
1413eleq1d 2206 . . . . 5  |-  ( w  =  1P  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  0R )  e.  A ) )
15 suplocsrlem.b . . . . 5  |-  B  =  { w  e.  P.  |  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
1614, 15elrab2 2838 . . . 4  |-  ( 1P  e.  B  <->  ( 1P  e.  P.  /\  ( C  +R  0R )  e.  A ) )
178, 16sylibr 133 . . 3  |-  ( ph  ->  1P  e.  B )
18 elex2 2697 . . 3  |-  ( 1P  e.  B  ->  E. v 
v  e.  B )
1917, 18syl 14 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  v  e.  B )
20 suplocsrlem.ub . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  R.  A. y  e.  A  y 
<R  x )
21 breq1 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  C  ->  (
y  <R  x  <->  C  <R  x ) )
2221rspccv 2781 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  ( C  e.  A  ->  C  <R  x ) )
232, 22mpan9 279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  C  <R  x )
24 0lt1sr 7566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0R  <R  1R
25 0r 7551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  0R  e.  R.
26 1sr 7552 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1R  e.  R.
27 m1r 7553 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -1R  e.  R.
28 ltasrg 7571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 0R  e.  R.  /\  1R  e.  R.  /\  -1R  e.  R. )  ->  ( 0R  <R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) ) )
2925, 26, 27, 28mp3an 1315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0R 
<R  1R  <->  ( -1R  +R  0R )  <R  ( -1R 
+R  1R ) )
3024, 29mpbi 144 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
+R  0R )  <R 
( -1R  +R  1R )
31 0idsr 7568 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -1R 
e.  R.  ->  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R )
3227, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
+R  0R )  =  -1R
33 m1p1sr 7561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -1R 
+R  1R )  =  0R
3430, 32, 333brtr3i 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  -1R  <R  0R
35 ltasrg 7571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( -1R  e.  R.  /\  0R  e.  R.  /\  C  e.  R. )  ->  ( -1R  <R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) ) )
3627, 25, 3, 35mp3an12i 1319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -1R  <R  0R  <->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) ) )
3734, 36mpbii 147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  +R  -1R )  <R  ( C  +R  0R ) )
3837, 5breqtrd 3949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  +R  -1R )  <R  C )
39 ltsosr 7565 . . . . . . . . . . 11  |-  <R  Or  R.
40 ltrelsr 7539 . . . . . . . . . . 11  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
4139, 40sotri 4929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( C  +R  -1R )  <R  C  /\  C  <R  x )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x )
4238, 41sylan 281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <R  x )  ->  ( C  +R  -1R )  <R  x
)
43 map2psrprg 7606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( C  e.  R.  ->  (
( C  +R  -1R )  <R  x  <->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x ) )
443, 43syl 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  x  <->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x ) )
4544adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  C  <R  x )  ->  ( ( C  +R  -1R )  <R  x 
<->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
)
4642, 45mpbid 146 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  C  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
4723, 46syldan 280 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )
48 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  ->  (
y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
49 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  ->  A. y  e.  A  y  <R  x )
50 breq2 3928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  y  <R  x ) )
5150ralbidv 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. y  e.  A  y  <R  x ) )
5251adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. y  e.  A  y  <R  x ) )
5349, 52mpbird 166 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  ->  A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
5453adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. y  e.  A  y  <R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  /\  w  e.  B )  ->  A. y  e.  A  y  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
5515rabeq2i 2678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  B  <->  ( w  e.  P.  /\  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A ) )
5655simprbi 273 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  B  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
5756adantl 275 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. y  e.  A  y  <R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
5848, 54, 57rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\ 
A. y  e.  A  y  <R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  /\  w  e.  B )  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
5958ralrimiva 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  A. y  e.  A  y 
<R  x )  /\  v  e.  P. )  /\  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x )  ->  A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
6059ex 114 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. y  e.  A  y  <R  x )  /\  v  e.  P. )  ->  (
( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
6160reximdva 2532 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  ( E. v  e.  P.  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  =  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
) )
6247, 61mpd 13 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. y  e.  A  y  <R  x )  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
)
6362ex 114 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
6463rexlimdvw 2551 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. x  e. 
R.  A. y  e.  A  y  <R  x  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [
<. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )
) )
6520, 64mpd 13 . . 3  |-  ( ph  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  ) )
66 elrabi 2832 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  { a  e. 
P.  |  ( C  +R  [ <. a ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  ->  w  e.  P. )
67 opeq1 3700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  a  ->  <. w ,  1P >.  =  <. a ,  1P >. )
6867eceq1d 6458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  a  ->  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  =  [ <. a ,  1P >. ]  ~R  )
6968oveq2d 5783 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  a  ->  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  =  ( C  +R  [
<. a ,  1P >. ]  ~R  ) )
7069eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  a  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A  <->  ( C  +R  [ <. a ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A )
)
7170cbvrabv 2680 . . . . . . . . 9  |-  { w  e.  P.  |  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }  =  {
a  e.  P.  | 
( C  +R  [ <. a ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
7215, 71eqtri 2158 . . . . . . . 8  |-  B  =  { a  e.  P.  |  ( C  +R  [
<. a ,  1P >. ]  ~R  )  e.  A }
7366, 72eleq2s 2232 . . . . . . 7  |-  ( w  e.  B  ->  w  e.  P. )
7473adantl 275 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  w  e.  B )  ->  w  e.  P. )
75 simplr 519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  w  e.  B )  ->  v  e.  P. )
763ad2antrr 479 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  w  e.  B )  ->  C  e.  R. )
77 ltpsrprg 7604 . . . . . 6  |-  ( ( w  e.  P.  /\  v  e.  P.  /\  C  e.  R. )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w 
<P  v ) )
7874, 75, 76, 77syl3anc 1216 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  v  e.  P. )  /\  w  e.  B )  ->  (
( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  w 
<P  v ) )
7978ralbidva 2431 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  v  e.  P. )  ->  ( A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [ <. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A. w  e.  B  w  <P  v ) )
8079rexbidva 2432 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. v  e. 
P.  A. w  e.  B  ( C  +R  [ <. w ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. v ,  1P >. ]  ~R  )  <->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w  <P  v
) )
8165, 80mpbid 146 . 2  |-  ( ph  ->  E. v  e.  P.  A. w  e.  B  w 
<P  v )
82 suplocsrlem.loc . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  R.  A. y  e.  R.  (
x  <R  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <R  z  \/  A. z  e.  A  z  <R  y ) ) )
8315, 1, 2, 20, 82suplocsrlemb 7607 . 2  |-  ( ph  ->  A. v  e.  P.  A. w  e.  P.  (
v  <P  w  ->  ( E. u  e.  B  v  <P  u  \/  A. u  e.  B  u  <P  w ) ) )
8419, 81, 83suplocexpr 7526 1  |-  ( ph  ->  E. v  e.  P.  ( A. w  e.  B  -.  v  <P  w  /\  A. w  e.  P.  (
w  <P  v  ->  E. u  e.  B  w  <P  u ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924  (class class class)co 5767   [cec 6420   P.cnp 7092   1Pc1p 7093    <P cltp 7096    ~R cer 7097   R.cnr 7098   0Rc0r 7099   1Rc1r 7100   -1Rcm1r 7101    +R cplr 7102    <R cltr 7104
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534
This theorem is referenced by:  suplocsrlem  7609
  Copyright terms: Public domain W3C validator