ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-lttrn Unicode version

Theorem axpre-lttrn 7322
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7362. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttrn  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7269 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7269 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7269 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 3814 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
54anbi1d 453 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
6 breq1 3814 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
75, 6imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. ) ) )
8 breq2 3815 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq1 3814 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  B  <RR  <. z ,  0R >. ) )
108, 9anbi12d 457 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
1110imbi1d 229 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. ) ) )
12 breq2 3815 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( B  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  B  <RR  C ) )
1312anbi2d 452 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  /\  B  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C ) ) )
14 breq2 3815 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
1513, 14imbi12d 232 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) ) )
16 ltresr 7279 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
17 ltresr 7279 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  y  <R  z )
18 ltsosr 7213 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
19 ltrelsr 7187 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
2018, 19sotri 4782 . . . . 5  |-  ( ( x  <R  y  /\  y  <R  z )  ->  x  <R  z )
2116, 17, 20syl2anb 285 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  x  <R  z
)
22 ltresr 7279 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
2321, 22sylibr 132 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )
2423a1i 9 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) )
251, 2, 3, 7, 11, 15, 243gencl 2644 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    /\ w3a 920    = wceq 1285    e. wcel 1434   <.cop 3425   class class class wbr 3811   R.cnr 6759   0Rc0r 6760    <R cltr 6765   RRcr 7252    <RR cltrr 7257
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-i1p 6929  df-iplp 6930  df-iltp 6932  df-enr 7175  df-nr 7176  df-ltr 7179  df-0r 7180  df-r 7263  df-lt 7266
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator