ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-lttrn Unicode version

Theorem axpre-lttrn 7896
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7938. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttrn  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7840 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7840 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7840 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 4018 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
54anbi1d 465 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
6 breq1 4018 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
75, 6imbi12d 234 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. ) ) )
8 breq2 4019 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq1 4018 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  B  <RR  <. z ,  0R >. ) )
108, 9anbi12d 473 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
1110imbi1d 231 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. ) ) )
12 breq2 4019 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( B  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  B  <RR  C ) )
1312anbi2d 464 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  /\  B  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C ) ) )
14 breq2 4019 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
1513, 14imbi12d 234 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) ) )
16 ltresr 7851 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
17 ltresr 7851 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  y  <R  z )
18 ltsosr 7776 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
19 ltrelsr 7750 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
2018, 19sotri 5036 . . . . 5  |-  ( ( x  <R  y  /\  y  <R  z )  ->  x  <R  z )
2116, 17, 20syl2anb 291 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  x  <R  z
)
22 ltresr 7851 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
2321, 22sylibr 134 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )
2423a1i 9 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) )
251, 2, 3, 7, 11, 15, 243gencl 2783 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 979    = wceq 1363    e. wcel 2158   <.cop 3607   class class class wbr 4015   R.cnr 7309   0Rc0r 7310    <R cltr 7315   RRcr 7823    <RR cltrr 7828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-iltp 7482  df-enr 7738  df-nr 7739  df-ltr 7742  df-0r 7743  df-r 7834  df-lt 7837
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator