ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-lttrn Unicode version

Theorem axpre-lttrn 7825
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7867. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttrn  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7769 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7769 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7769 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 3985 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
54anbi1d 461 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
6 breq1 3985 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
75, 6imbi12d 233 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. ) ) )
8 breq2 3986 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq1 3985 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  B  <RR  <. z ,  0R >. ) )
108, 9anbi12d 465 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
1110imbi1d 230 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. ) ) )
12 breq2 3986 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( B  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  B  <RR  C ) )
1312anbi2d 460 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  /\  B  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C ) ) )
14 breq2 3986 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
1513, 14imbi12d 233 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) ) )
16 ltresr 7780 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
17 ltresr 7780 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  y  <R  z )
18 ltsosr 7705 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
19 ltrelsr 7679 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
2018, 19sotri 4999 . . . . 5  |-  ( ( x  <R  y  /\  y  <R  z )  ->  x  <R  z )
2116, 17, 20syl2anb 289 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  x  <R  z
)
22 ltresr 7780 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
2321, 22sylibr 133 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )
2423a1i 9 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) )
251, 2, 3, 7, 11, 15, 243gencl 2760 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    /\ w3a 968    = wceq 1343    e. wcel 2136   <.cop 3579   class class class wbr 3982   R.cnr 7238   0Rc0r 7239    <R cltr 7244   RRcr 7752    <RR cltrr 7757
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-r 7763  df-lt 7766
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator