Theorem axpre-lttrn 7912

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7954. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-lttrn	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7856	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7856	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7856	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 4021	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5	4	anbi1d 465	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) ) )
6		breq1 4021	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
7	5, 6	imbi12d 234	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
8		breq2 4022	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq1 4021	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> B <RR <. z , 0R >. ) )
10	8, 9	anbi12d 473	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) ) )
11	10	imbi1d 231	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
12		breq2 4022	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B <RR <. z , 0R >. <-> B <RR C ) )
13	12	anbi2d 464	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR C ) ) )
14		breq2 4022	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
15	13, 14	imbi12d 234	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) ) )
16		ltresr 7867	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
17		ltresr 7867	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> y <R z )
18		ltsosr 7792	. . . . . 6 |- <R Or R.
19		ltrelsr 7766	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
20	18, 19	sotri 5042	. . . . 5 |- ( ( x <R y /\ y <R z ) -> x <R z )
21	16, 17, 20	syl2anb 291	. . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> x <R z )
22		ltresr 7867	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
23	21, 22	sylibr 134	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
24	23	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) )
25	1, 2, 3, 7, 11, 15, 24	3gencl 2786	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   R.cnr 7325   0Rc0r 7326   <R cltr 7331   RRcr 7839   <RR cltrr 7844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-i1p 7495  df-iplp 7496  df-iltp 7498  df-enr 7754  df-nr 7755  df-ltr 7758  df-0r 7759  df-r 7850  df-lt 7853

This theorem is referenced by: (None)