ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-lttrn Unicode version

Theorem axpre-lttrn 7912
Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7954. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
axpre-lttrn  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elreal 7856 . 2  |-  ( A  e.  RR  <->  E. x  e.  R.  <. x ,  0R >.  =  A )
2 elreal 7856 . 2  |-  ( B  e.  RR  <->  E. y  e.  R.  <. y ,  0R >.  =  B )
3 elreal 7856 . 2  |-  ( C  e.  RR  <->  E. z  e.  R.  <. z ,  0R >.  =  C )
4 breq1 4021 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  A  <RR  <. y ,  0R >. ) )
54anbi1d 465 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( ( <. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
6 breq1 4021 . . 3  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  A  <RR  <. z ,  0R >. ) )
75, 6imbi12d 234 . 2  |-  ( <.
x ,  0R >.  =  A  ->  ( (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. ) ) )
8 breq2 4022 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( A  <RR 
<. y ,  0R >.  <->  A  <RR  B ) )
9 breq1 4021 . . . 4  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  B  <RR  <. z ,  0R >. ) )
108, 9anbi12d 473 . . 3  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( ( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  <->  ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. ) ) )
1110imbi1d 231 . 2  |-  ( <.
y ,  0R >.  =  B  ->  ( (
( A  <RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR 
<. z ,  0R >. ) ) )
12 breq2 4022 . . . 4  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( B  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  B  <RR  C ) )
1312anbi2d 464 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( ( A  <RR  B  /\  B  <RR 
<. z ,  0R >. )  <-> 
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C ) ) )
14 breq2 4022 . . 3  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( A  <RR 
<. z ,  0R >.  <->  A  <RR  C ) )
1513, 14imbi12d 234 . 2  |-  ( <.
z ,  0R >.  =  C  ->  ( (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  A  <RR  <.
z ,  0R >. )  <-> 
( ( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) ) )
16 ltresr 7867 . . . . 5  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  <->  x  <R  y )
17 ltresr 7867 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  y  <R  z )
18 ltsosr 7792 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
19 ltrelsr 7766 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
2018, 19sotri 5042 . . . . 5  |-  ( ( x  <R  y  /\  y  <R  z )  ->  x  <R  z )
2116, 17, 20syl2anb 291 . . . 4  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  x  <R  z
)
22 ltresr 7867 . . . 4  |-  ( <.
x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >.  <->  x  <R  z )
2321, 22sylibr 134 . . 3  |-  ( (
<. x ,  0R >.  <RR  <. y ,  0R >.  /\ 
<. y ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )
2423a1i 9 . 2  |-  ( ( x  e.  R.  /\  y  e.  R.  /\  z  e.  R. )  ->  (
( <. x ,  0R >. 
<RR  <. y ,  0R >.  /\  <. y ,  0R >. 
<RR  <. z ,  0R >. )  ->  <. x ,  0R >.  <RR  <. z ,  0R >. ) )
251, 2, 3, 7, 11, 15, 243gencl 2786 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <RR  B  /\  B  <RR  C )  ->  A  <RR  C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160   <.cop 3610   class class class wbr 4018   R.cnr 7325   0Rc0r 7326    <R cltr 7331   RRcr 7839    <RR cltrr 7844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4314  df-iso 4315  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5898  df-oprab 5899  df-mpo 5900  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-recs 6329  df-irdg 6394  df-1o 6440  df-2o 6441  df-oadd 6444  df-omul 6445  df-er 6558  df-ec 6560  df-qs 6564  df-ni 7332  df-pli 7333  df-mi 7334  df-lti 7335  df-plpq 7372  df-mpq 7373  df-enq 7375  df-nqqs 7376  df-plqqs 7377  df-mqqs 7378  df-1nqqs 7379  df-rq 7380  df-ltnqqs 7381  df-enq0 7452  df-nq0 7453  df-0nq0 7454  df-plq0 7455  df-mq0 7456  df-inp 7494  df-i1p 7495  df-iplp 7496  df-iltp 7498  df-enr 7754  df-nr 7755  df-ltr 7758  df-0r 7759  df-r 7850  df-lt 7853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator