Theorem axpre-lttrn 7322

Description: Ordering on reals is transitive. Axiom for real and complex numbers, derived from set theory. This construction-dependent theorem should not be referenced directly; instead, use ax-pre-lttrn 7362. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
axpre-lttrn	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Proof of Theorem axpre-lttrn

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elreal 7269	. 2 |- ( A e. RR <-> E. x e. R. <. x , 0R >. = A )
2		elreal 7269	. 2 |- ( B e. RR <-> E. y e. R. <. y , 0R >. = B )
3		elreal 7269	. 2 |- ( C e. RR <-> E. z e. R. <. z , 0R >. = C )
4		breq1 3814	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> A <RR <. y , 0R >. ) )
5	4	anbi1d 453	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) ) )
6		breq1 3814	. . 3 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> A <RR <. z , 0R >. ) )
7	5, 6	imbi12d 232	. 2 |- ( <. x , 0R >. = A -> ( ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
8		breq2 3815	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( A <RR <. y , 0R >. <-> A <RR B ) )
9		breq1 3814	. . . 4 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> B <RR <. z , 0R >. ) )
10	8, 9	anbi12d 457	. . 3 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) ) )
11	10	imbi1d 229	. 2 |- ( <. y , 0R >. = B -> ( ( ( A <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) ) )
12		breq2 3815	. . . 4 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( B <RR <. z , 0R >. <-> B <RR C ) )
13	12	anbi2d 452	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) <-> ( A <RR B /\ B <RR C ) ) )
14		breq2 3815	. . 3 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( A <RR <. z , 0R >. <-> A <RR C ) )
15	13, 14	imbi12d 232	. 2 |- ( <. z , 0R >. = C -> ( ( ( A <RR B /\ B <RR <. z , 0R >. ) -> A <RR <. z , 0R >. ) <-> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) ) )
16		ltresr 7279	. . . . 5 |- ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. <-> x <R y )
17		ltresr 7279	. . . . 5 |- ( <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> y <R z )
18		ltsosr 7213	. . . . . 6 |- <R Or R.
19		ltrelsr 7187	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
20	18, 19	sotri 4782	. . . . 5 |- ( ( x <R y /\ y <R z ) -> x <R z )
21	16, 17, 20	syl2anb 285	. . . 4 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> x <R z )
22		ltresr 7279	. . . 4 |- ( <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. <-> x <R z )
23	21, 22	sylibr 132	. . 3 |- ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. )
24	23	a1i 9	. 2 |- ( ( x e. R. /\ y e. R. /\ z e. R. ) -> ( ( <. x , 0R >. <RR <. y , 0R >. /\ <. y , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) -> <. x , 0R >. <RR <. z , 0R >. ) )
25	1, 2, 3, 7, 11, 15, 24	3gencl 2644	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A <RR B /\ B <RR C ) -> A <RR C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   /\ w3a 920   = wceq 1285   e. wcel 1434   <.cop 3425   class class class wbr 3811   R.cnr 6759   0Rc0r 6760   <R cltr 6765   RRcr 7252   <RR cltrr 7257

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-po 4087  df-iso 4088  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-2o 6114  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-plpq 6806  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-plqqs 6811  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-0nq0 6888  df-plq0 6889  df-mq0 6890  df-inp 6928  df-i1p 6929  df-iplp 6930  df-iltp 6932  df-enr 7175  df-nr 7176  df-ltr 7179  df-0r 7180  df-r 7263  df-lt 7266

This theorem is referenced by: (None)