Theorem enrex 7640

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	|- ~R e. _V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 7376	. . . 4 |- P. e. _V
2	1, 1	xpex 4698	. . 3 |- ( P. X. P. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4698	. 2 |- ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) ) e. _V
4		df-enr 7629	. . 3 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
5		opabssxp 4657	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) } C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
6	4, 5	eqsstri 3160	. 2 |- ~R C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
7	3, 6	ssexi 4102	1 |- ~R e. _V

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1335   E.wex 1472   e. wcel 2128   _Vcvv 2712   <.cop 3563   {copab 4024   X. cxp 4581  (class class class)co 5818   P.cnp 7194   +P. cpp 7196   ~R cer 7199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-iinf 4545

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-iom 4548  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-qs 6479  df-ni 7207  df-nqqs 7251  df-inp 7369  df-enr 7629

This theorem is referenced by:  addsrpr  7648  mulsrpr  7649  ltsrprg  7650  0r  7653  1sr  7654  m1r  7655  addclsr  7656  mulclsr  7657  recexgt0sr  7676  prsrcl  7687  ltpsrprg  7706  mappsrprg  7707  suplocsrlemb  7709  pitonnlem2  7750  pitonn  7751  pitore  7753  recnnre  7754