Theorem enrex 8105

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	|- ~R e. _V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 7841	. . . 4 |- P. e. _V
2	1, 1	xpex 4891	. . 3 |- ( P. X. P. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4891	. 2 |- ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) ) e. _V
4		df-enr 8094	. . 3 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
5		opabssxp 4849	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) } C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
6	4, 5	eqsstri 3280	. 2 |- ~R C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
7	3, 6	ssexi 4271	1 |- ~R e. _V

This proof depends on syntax axioms:   /\ wa 104   = wceq 1402   E.wex 1545   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   <.cop 3712   {copab 4191   X. cxp 4772  (class class class)co 6085   P.cnp 7659   +P. cpp 7661   ~R cer 7664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-iinf 4735

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-qs 6813  df-ni 7672  df-nqqs 7716  df-inp 7834  df-enr 8094

This theorem is used by:  addsrpr  8113  mulsrpr  8114  ltsrprg  8115  0r  8118  1sr  8119  m1r  8120  addclsr  8121  mulclsr  8122  recexgt0sr  8141  prsrcl  8152  ltpsrprg  8171  mappsrprg  8172  suplocsrlemb  8174  pitonnlem2  8215  pitonn  8216  pitore  8218  recnnre  8219