Theorem enrex 7739

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	|- ~R e. _V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 7475	. . . 4 |- P. e. _V
2	1, 1	xpex 4743	. . 3 |- ( P. X. P. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4743	. 2 |- ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) ) e. _V
4		df-enr 7728	. . 3 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
5		opabssxp 4702	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) } C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
6	4, 5	eqsstri 3189	. 2 |- ~R C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
7	3, 6	ssexi 4143	1 |- ~R e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1353   E.wex 1492   e. wcel 2148   _Vcvv 2739   <.cop 3597   {copab 4065   X. cxp 4626  (class class class)co 5878   P.cnp 7293   +P. cpp 7295   ~R cer 7298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-iinf 4589

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-qs 6544  df-ni 7306  df-nqqs 7350  df-inp 7468  df-enr 7728

This theorem is referenced by:  addsrpr  7747  mulsrpr  7748  ltsrprg  7749  0r  7752  1sr  7753  m1r  7754  addclsr  7755  mulclsr  7756  recexgt0sr  7775  prsrcl  7786  ltpsrprg  7805  mappsrprg  7806  suplocsrlemb  7808  pitonnlem2  7849  pitonn  7850  pitore  7852  recnnre  7853