Theorem enrex 7956

Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enrex	|- ~R e. _V

Proof of Theorem enrex

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		npex 7692	. . . 4 |- P. e. _V
2	1, 1	xpex 4842	. . 3 |- ( P. X. P. ) e. _V
3	2, 2	xpex 4842	. 2 |- ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) ) e. _V
4		df-enr 7945	. . 3 |- ~R = { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) }
5		opabssxp 4800	. . 3 |- { <. x , y >. | ( ( x e. ( P. X. P. ) /\ y e. ( P. X. P. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z +P. u ) = ( w +P. v ) ) ) } C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
6	4, 5	eqsstri 3259	. 2 |- ~R C_ ( ( P. X. P. ) X. ( P. X. P. ) )
7	3, 6	ssexi 4227	1 |- ~R e. _V

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1397   E.wex 1540   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   <.cop 3672   {copab 4149   X. cxp 4723  (class class class)co 6017   P.cnp 7510   +P. cpp 7512   ~R cer 7515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-qs 6707  df-ni 7523  df-nqqs 7567  df-inp 7685  df-enr 7945

This theorem is referenced by:  addsrpr  7964  mulsrpr  7965  ltsrprg  7966  0r  7969  1sr  7970  m1r  7971  addclsr  7972  mulclsr  7973  recexgt0sr  7992  prsrcl  8003  ltpsrprg  8022  mappsrprg  8023  suplocsrlemb  8025  pitonnlem2  8066  pitonn  8067  pitore  8069  recnnre  8070