ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enrex Unicode version

Theorem enrex 7509
Description: The equivalence relation for signed reals exists. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)
Assertion
Ref Expression
enrex  |-  ~R  e.  _V

Proof of Theorem enrex
Dummy variables  x  y  z  w  v  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 npex 7245 . . . 4  |-  P.  e.  _V
21, 1xpex 4622 . . 3  |-  ( P. 
X.  P. )  e.  _V
32, 2xpex 4622 . 2  |-  ( ( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )  e.  _V
4 df-enr 7498 . . 3  |-  ~R  =  { <. x ,  y
>.  |  ( (
x  e.  ( P. 
X.  P. )  /\  y  e.  ( P.  X.  P. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  +P.  u
)  =  ( w  +P.  v ) ) ) }
5 opabssxp 4581 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( P.  X.  P. )  /\  y  e.  ( P.  X.  P. ) )  /\  E. z E. w E. v E. u ( ( x  =  <. z ,  w >.  /\  y  =  <. v ,  u >. )  /\  ( z  +P.  u
)  =  ( w  +P.  v ) ) ) }  C_  (
( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )
64, 5eqsstri 3097 . 2  |-  ~R  C_  (
( P.  X.  P. )  X.  ( P.  X.  P. ) )
73, 6ssexi 4034 1  |-  ~R  e.  _V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   _Vcvv 2658   <.cop 3498   {copab 3956    X. cxp 4505  (class class class)co 5740   P.cnp 7063    +P. cpp 7065    ~R cer 7068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-iinf 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-qs 6401  df-ni 7076  df-nqqs 7120  df-inp 7238  df-enr 7498
This theorem is referenced by:  addsrpr  7517  mulsrpr  7518  ltsrprg  7519  0r  7522  1sr  7523  m1r  7524  addclsr  7525  mulclsr  7526  recexgt0sr  7545  prsrcl  7556  ltpsrprg  7575  mappsrprg  7576  suplocsrlemb  7578  pitonnlem2  7619  pitonn  7620  pitore  7622  recnnre  7623
  Copyright terms: Public domain W3C validator