Theorem caucvgsrlemcl 8069

Description: Lemma for caucvgsr 8082. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 8075 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	|- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Distinct variable groups:   A, m   y, A   m, F   y, F

Allowed substitution hints:   ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelcdmda 5790	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( F ` A ) e. R. )
3		0lt1sr 8045	. . . . 5 |- 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
5		fveq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( m = A -> ( F ` m ) = ( F ` A ) )
6	5	breq2d 4105	. . . . . . 7 |- ( m = A -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` A ) ) )
7	6	rspcv 2907	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) -> 1R <R ( F ` A ) ) )
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 1R <R ( F ` A ) )
9		ltsosr 8044	. . . . . 6 |- <R Or R.
10		ltrelsr 8018	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
11	9, 10	sotri 5139	. . . . 5 |- ( ( 0R <R 1R /\ 1R <R ( F ` A ) ) -> 0R <R ( F ` A ) )
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 0R <R ( F ` A ) )
13		srpospr 8063	. . . 4 |- ( ( ( F ` A ) e. R. /\ 0R <R ( F ` A ) ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
15		eqcom 2233	. . . 4 |- ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
16	15	reubii 2721	. . 3 |- ( E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
18		riotacl 5997	. 2 |- ( E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   E!wreu 2513   <.cop 3676   class class class wbr 4093   -->wf 5329   ` cfv 5333   iota_crio 5980  (class class class)co 6028   [cec 6743   N.cnpi 7552   P.cnp 7571   1Pc1p 7572   +P. cpp 7573   ~R cer 7576   R.cnr 7577   0Rc0r 7578   1Rc1r 7579   <R cltr 7583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-eprel 4392  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-1o 6625  df-2o 6626  df-oadd 6629  df-omul 6630  df-er 6745  df-ec 6747  df-qs 6751  df-ni 7584  df-pli 7585  df-mi 7586  df-lti 7587  df-plpq 7624  df-mpq 7625  df-enq 7627  df-nqqs 7628  df-plqqs 7629  df-mqqs 7630  df-1nqqs 7631  df-rq 7632  df-ltnqqs 7633  df-enq0 7704  df-nq0 7705  df-0nq0 7706  df-plq0 7707  df-mq0 7708  df-inp 7746  df-i1p 7747  df-iplp 7748  df-iltp 7750  df-enr 8006  df-nr 8007  df-ltr 8010  df-0r 8011  df-1r 8012

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  8071  caucvgsrlemf  8072