Theorem caucvgsrlemcl 7987

Description: Lemma for caucvgsr 8000. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7993 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	|- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Distinct variable groups:   A, m   y, A   m, F   y, F

Allowed substitution hints:   ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelcdmda 5772	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( F ` A ) e. R. )
3		0lt1sr 7963	. . . . 5 |- 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
5		fveq2 5629	. . . . . . . 8 |- ( m = A -> ( F ` m ) = ( F ` A ) )
6	5	breq2d 4095	. . . . . . 7 |- ( m = A -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` A ) ) )
7	6	rspcv 2903	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) -> 1R <R ( F ` A ) ) )
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 1R <R ( F ` A ) )
9		ltsosr 7962	. . . . . 6 |- <R Or R.
10		ltrelsr 7936	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
11	9, 10	sotri 5124	. . . . 5 |- ( ( 0R <R 1R /\ 1R <R ( F ` A ) ) -> 0R <R ( F ` A ) )
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 0R <R ( F ` A ) )
13		srpospr 7981	. . . 4 |- ( ( ( F ` A ) e. R. /\ 0R <R ( F ` A ) ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
15		eqcom 2231	. . . 4 |- ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
16	15	reubii 2718	. . 3 |- ( E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
18		riotacl 5976	. 2 |- ( E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   E!wreu 2510   <.cop 3669   class class class wbr 4083   -->wf 5314   ` cfv 5318   iota_crio 5959  (class class class)co 6007   [cec 6686   N.cnpi 7470   P.cnp 7489   1Pc1p 7490   +P. cpp 7491   ~R cer 7494   R.cnr 7495   0Rc0r 7496   1Rc1r 7497   <R cltr 7501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-eprel 4380  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-irdg 6522  df-1o 6568  df-2o 6569  df-oadd 6572  df-omul 6573  df-er 6688  df-ec 6690  df-qs 6694  df-ni 7502  df-pli 7503  df-mi 7504  df-lti 7505  df-plpq 7542  df-mpq 7543  df-enq 7545  df-nqqs 7546  df-plqqs 7547  df-mqqs 7548  df-1nqqs 7549  df-rq 7550  df-ltnqqs 7551  df-enq0 7622  df-nq0 7623  df-0nq0 7624  df-plq0 7625  df-mq0 7626  df-inp 7664  df-i1p 7665  df-iplp 7666  df-iltp 7668  df-enr 7924  df-nr 7925  df-ltr 7928  df-0r 7929  df-1r 7930

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7989  caucvgsrlemf  7990