Theorem caucvgsrlemcl 7806

Description: Lemma for caucvgsr 7819. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7812 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
caucvgsrlemcl.f	|- ( ph -> F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1	|- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )

Assertion

Ref	Expression
caucvgsrlemcl	|- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Distinct variable groups:   A, m   y, A   m, F   y, F

Allowed substitution hints:   ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		caucvgsrlemcl.f	. . . . 5 |- ( ph -> F : N. --> R. )
2	1	ffvelcdmda 5667	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( F ` A ) e. R. )
3		0lt1sr 7782	. . . . 5 |- 0R <R 1R
4		caucvgsrlemcl.gt1	. . . . . 6 |- ( ph -> A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) )
5		fveq2 5530	. . . . . . . 8 |- ( m = A -> ( F ` m ) = ( F ` A ) )
6	5	breq2d 4030	. . . . . . 7 |- ( m = A -> ( 1R <R ( F ` m ) <-> 1R <R ( F ` A ) ) )
7	6	rspcv 2852	. . . . . 6 |- ( A e. N. -> ( A. m e. N. 1R <R ( F ` m ) -> 1R <R ( F ` A ) ) )
8	4, 7	mpan9 281	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 1R <R ( F ` A ) )
9		ltsosr 7781	. . . . . 6 |- <R Or R.
10		ltrelsr 7755	. . . . . 6 |- <R C_ ( R. X. R. )
11	9, 10	sotri 5039	. . . . 5 |- ( ( 0R <R 1R /\ 1R <R ( F ` A ) ) -> 0R <R ( F ` A ) )
12	3, 8, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> 0R <R ( F ` A ) )
13		srpospr 7800	. . . 4 |- ( ( ( F ` A ) e. R. /\ 0R <R ( F ` A ) ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
14	2, 12, 13	syl2anc 411	. . 3 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) )
15		eqcom 2191	. . . 4 |- ( [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
16	15	reubii 2676	. . 3 |- ( E! y e. P. [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R = ( F ` A ) <-> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
17	14, 16	sylib 122	. 2 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R )
18		riotacl 5861	. 2 |- ( E! y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )
19	17, 18	syl 14	1 |- ( ( ph /\ A e. N. ) -> ( iota_ y e. P. ( F ` A ) = [ <. ( y +P. 1P ) , 1P >. ] ~R ) e. P. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   A.wral 2468   E!wreu 2470   <.cop 3610   class class class wbr 4018   -->wf 5227   ` cfv 5231   iota_crio 5846  (class class class)co 5891   [cec 6551   N.cnpi 7289   P.cnp 7308   1Pc1p 7309   +P. cpp 7310   ~R cer 7313   R.cnr 7314   0Rc0r 7315   1Rc1r 7316   <R cltr 7320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-1nqqs 7368  df-rq 7369  df-ltnqqs 7370  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-0nq0 7443  df-plq0 7444  df-mq0 7445  df-inp 7483  df-i1p 7484  df-iplp 7485  df-iltp 7487  df-enr 7743  df-nr 7744  df-ltr 7747  df-0r 7748  df-1r 7749

This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7808  caucvgsrlemf  7809