ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl Unicode version

Theorem caucvgsrlemcl 7806
Description: Lemma for caucvgsr 7819. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7812 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Distinct variable groups:    A, m    y, A    m, F    y, F
Allowed substitution hints:    ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
21ffvelcdmda 5667 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( F `
 A )  e. 
R. )
3 0lt1sr 7782 . . . . 5  |-  0R  <R  1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
5 fveq2 5530 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  ( F `  m )  =  ( F `  A ) )
65breq2d 4030 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  ( 1R  <R  ( F `  m )  <->  1R  <R  ( F `  A )
) )
76rspcv 2852 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m )  ->  1R  <R  ( F `  A
) ) )
84, 7mpan9 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  1R  <R  ( F `  A ) )
9 ltsosr 7781 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
10 ltrelsr 7755 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
119, 10sotri 5039 . . . . 5  |-  ( ( 0R  <R  1R  /\  1R  <R  ( F `  A
) )  ->  0R  <R  ( F `  A
) )
123, 8, 11sylancr 414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  0R  <R  ( F `  A ) )
13 srpospr 7800 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R.  /\  0R  <R  ( F `  A ) )  ->  E! y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
142, 12, 13syl2anc 411 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
15 eqcom 2191 . . . 4  |-  ( [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1615reubii 2676 . . 3  |-  ( E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1714, 16sylib 122 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
18 riotacl 5861 . 2  |-  ( E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
1917, 18syl 14 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1364    e. wcel 2160   A.wral 2468   E!wreu 2470   <.cop 3610   class class class wbr 4018   -->wf 5227   ` cfv 5231   iota_crio 5846  (class class class)co 5891   [cec 6551   N.cnpi 7289   P.cnp 7308   1Pc1p 7309    +P. cpp 7310    ~R cer 7313   R.cnr 7314   0Rc0r 7315   1Rc1r 7316    <R cltr 7320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-1o 6435  df-2o 6436  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-pli 7322  df-mi 7323  df-lti 7324  df-plpq 7361  df-mpq 7362  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-plqqs 7366  df-mqqs 7367  df-1nqqs 7368  df-rq 7369  df-ltnqqs 7370  df-enq0 7441  df-nq0 7442  df-0nq0 7443  df-plq0 7444  df-mq0 7445  df-inp 7483  df-i1p 7484  df-iplp 7485  df-iltp 7487  df-enr 7743  df-nr 7744  df-ltr 7747  df-0r 7748  df-1r 7749
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7808  caucvgsrlemf  7809
  Copyright terms: Public domain W3C validator