ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  caucvgsrlemcl Unicode version

Theorem caucvgsrlemcl 7801
Description: Lemma for caucvgsr 7814. Terms of the sequence from caucvgsrlemgt1 7807 can be mapped to positive reals. (Contributed by Jim Kingdon, 2-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
caucvgsrlemcl.f  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
caucvgsrlemcl.gt1  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
Assertion
Ref Expression
caucvgsrlemcl  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Distinct variable groups:    A, m    y, A    m, F    y, F
Allowed substitution hints:    ph( y, m)

Proof of Theorem caucvgsrlemcl
StepHypRef Expression
1 caucvgsrlemcl.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : N. --> R. )
21ffvelcdmda 5664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( F `
 A )  e. 
R. )
3 0lt1sr 7777 . . . . 5  |-  0R  <R  1R
4 caucvgsrlemcl.gt1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m ) )
5 fveq2 5527 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  A  ->  ( F `  m )  =  ( F `  A ) )
65breq2d 4027 . . . . . . 7  |-  ( m  =  A  ->  ( 1R  <R  ( F `  m )  <->  1R  <R  ( F `  A )
) )
76rspcv 2849 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A. m  e.  N.  1R  <R  ( F `  m )  ->  1R  <R  ( F `  A
) ) )
84, 7mpan9 281 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  1R  <R  ( F `  A ) )
9 ltsosr 7776 . . . . . 6  |-  <R  Or  R.
10 ltrelsr 7750 . . . . . 6  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
119, 10sotri 5036 . . . . 5  |-  ( ( 0R  <R  1R  /\  1R  <R  ( F `  A
) )  ->  0R  <R  ( F `  A
) )
123, 8, 11sylancr 414 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  0R  <R  ( F `  A ) )
13 srpospr 7795 . . . 4  |-  ( ( ( F `  A
)  e.  R.  /\  0R  <R  ( F `  A ) )  ->  E! y  e.  P.  [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
142, 12, 13syl2anc 411 . . 3  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A ) )
15 eqcom 2189 . . . 4  |-  ( [
<. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1615reubii 2673 . . 3  |-  ( E! y  e.  P.  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  =  ( F `  A )  <->  E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1714, 16sylib 122 . 2  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  E! y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
18 riotacl 5858 . 2  |-  ( E! y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `  A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
1917, 18syl 14 1  |-  ( (
ph  /\  A  e.  N. )  ->  ( iota_ y  e.  P.  ( F `
 A )  =  [ <. ( y  +P. 
1P ) ,  1P >. ]  ~R  )  e. 
P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    = wceq 1363    e. wcel 2158   A.wral 2465   E!wreu 2467   <.cop 3607   class class class wbr 4015   -->wf 5224   ` cfv 5228   iota_crio 5843  (class class class)co 5888   [cec 6546   N.cnpi 7284   P.cnp 7303   1Pc1p 7304    +P. cpp 7305    ~R cer 7308   R.cnr 7309   0Rc0r 7310   1Rc1r 7311    <R cltr 7315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-irdg 6384  df-1o 6430  df-2o 6431  df-oadd 6434  df-omul 6435  df-er 6548  df-ec 6550  df-qs 6554  df-ni 7316  df-pli 7317  df-mi 7318  df-lti 7319  df-plpq 7356  df-mpq 7357  df-enq 7359  df-nqqs 7360  df-plqqs 7361  df-mqqs 7362  df-1nqqs 7363  df-rq 7364  df-ltnqqs 7365  df-enq0 7436  df-nq0 7437  df-0nq0 7438  df-plq0 7439  df-mq0 7440  df-inp 7478  df-i1p 7479  df-iplp 7480  df-iltp 7482  df-enr 7738  df-nr 7739  df-ltr 7742  df-0r 7743  df-1r 7744
This theorem is referenced by:  caucvgsrlemfv  7803  caucvgsrlemf  7804
  Copyright terms: Public domain W3C validator