Theorem mulgt0i 7691

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
mulgt0i	|- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		axmulgt0 7655	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 418	1 |- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1445   class class class wbr 3867  (class class class)co 5690   RRcr 7446   0cc0 7447   x. cmul 7452   < clt 7619

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 582  ax-in2 583  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284  ax-setind 4381  ax-cnex 7533  ax-resscn 7534  ax-1re 7536  ax-addrcl 7539  ax-mulrcl 7541  ax-rnegex 7551  ax-pre-mulgt0 7559

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-fal 1302  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ne 2263  df-nel 2358  df-ral 2375  df-rex 2376  df-rab 2379  df-v 2635  df-dif 3015  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-xp 4473  df-pnf 7621  df-mnf 7622  df-ltxr 7624

This theorem is referenced by:  mulgt0ii  7692