Theorem mulgt0i 8388

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
mulgt0i	|- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		axmulgt0 8350	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   class class class wbr 4111  (class class class)co 6052   RRcr 8131   0cc0 8132   x. cmul 8137   < clt 8313

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1re 8226  ax-addrcl 8229  ax-mulrcl 8231  ax-rnegex 8241  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318

This theorem is referenced by:  mulgt0ii  8389