Theorem mulgt0i 8217

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR

Assertion

Ref	Expression
mulgt0i	|- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Proof of Theorem mulgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. 2 |- A e. RR
2		lt.2	. 2 |- B e. RR
3		axmulgt0 8179	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) ) )
4	1, 2, 3	mp2an 426	1 |- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967   RRcr 7959   0cc0 7960   x. cmul 7965   < clt 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1re 8054  ax-addrcl 8057  ax-mulrcl 8059  ax-rnegex 8069  ax-pre-mulgt0 8077

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-rab 2495  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147

This theorem is referenced by:  mulgt0ii  8218