Theorem mulgt0ii 8064

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
mulgt0i.3	|- 0 < A
mulgt0i.4	|- 0 < B

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	|- 0 < ( A x. B )

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 |- 0 < A
2		mulgt0i.4	. 2 |- 0 < B
3		lt.1	. . 3 |- A e. RR
4		lt.2	. . 3 |- B e. RR
5	3, 4	mulgt0i 8063	. 2 |- ( ( 0 < A /\ 0 < B ) -> 0 < ( A x. B ) )
6	1, 2, 5	mp2an 426	1 |- 0 < ( A x. B )

Syntax hints:   e. wcel 2148   class class class wbr 4002  (class class class)co 5872   RRcr 7807   0cc0 7808   x. cmul 7813   < clt 7988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4120  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-cnex 7899  ax-resscn 7900  ax-1re 7902  ax-addrcl 7905  ax-mulrcl 7907  ax-rnegex 7917  ax-pre-mulgt0 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-br 4003  df-opab 4064  df-xp 4631  df-pnf 7990  df-mnf 7991  df-ltxr 7993

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  11757