ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgt0i GIF version

Theorem mulgt0i 7573
Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
mulgt0i ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem mulgt0i
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 axmulgt0 7537 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵)))
41, 2, 3mp2an 417 1 ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1438   class class class wbr 3837  (class class class)co 5634  cr 7328  0cc0 7329   · cmul 7334   < clt 7501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-1re 7418  ax-addrcl 7421  ax-mulrcl 7423  ax-rnegex 7433  ax-pre-mulgt0 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-xp 4434  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-ltxr 7506
This theorem is referenced by:  mulgt0ii  7574
  Copyright terms: Public domain W3C validator