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Theorem le2tri3i 7884
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2tri3i  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2 lt.3 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
3 lt.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
41, 2, 3letri 7883 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  <_  A )
53, 1letri3i 7874 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) )
65biimpri 132 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  =  B )
74, 6sylan2 284 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  ( B  <_  C  /\  C  <_  A ) )  ->  A  =  B )
873impb 1177 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  B )
92, 3, 1letri 7883 . . . . . 6  |-  ( ( C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  C  <_  B )
101, 2letri3i 7874 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  <->  ( B  <_  C  /\  C  <_  B ) )
1110biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  B  =  C )
129, 11sylan2 284 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  ( C  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  B  =  C )
13123impb 1177 . . . 4  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  B  =  C )
14133comr 1189 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  =  C )
153, 1, 2letri 7883 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
163, 2letri3i 7874 . . . . . . 7  |-  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A ) )
1716biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  C )
1817eqcomd 2145 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
1915, 18sylan 281 . . . 4  |-  ( ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  /\  C  <_  A
)  ->  C  =  A )
20193impa 1176 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
218, 14, 203jca 1161 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )
)
223eqlei 7869 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
231eqlei 7869 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  B  <_  C )
242eqlei 7869 . . 3  |-  ( C  =  A  ->  C  <_  A )
2522, 23, 243anim123i 1166 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )  ->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A ) )
2621, 25impbii 125 1  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 962    = wceq 1331    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   RRcr 7631    <_ cle 7813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-apti 7747
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-xp 4545  df-cnv 4547  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818
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