Theorem le2tri3i 8183

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 8182	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A ) -> B <_ A )
5	3, 1	letri3i 8173	. . . . . 6 |- ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) )
6	5	biimpri 133	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ A ) -> A = B )
7	4, 6	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A <_ B /\ ( B <_ C /\ C <_ A ) ) -> A = B )
8	7	3impb 1202	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> A = B )
9	2, 3, 1	letri 8182	. . . . . 6 |- ( ( C <_ A /\ A <_ B ) -> C <_ B )
10	1, 2	letri3i 8173	. . . . . . 7 |- ( B = C <-> ( B <_ C /\ C <_ B ) )
11	10	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( B <_ C /\ C <_ B ) -> B = C )
12	9, 11	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B ) ) -> B = C )
13	12	3impb 1202	. . . 4 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B ) -> B = C )
14	13	3comr 1214	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> B = C )
15	3, 1, 2	letri 8182	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
16	3, 2	letri3i 8173	. . . . . . 7 |- ( A = C <-> ( A <_ C /\ C <_ A ) )
17	16	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> A = C )
18	17	eqcomd 2211	. . . . 5 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
19	15, 18	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A <_ B /\ B <_ C ) /\ C <_ A ) -> C = A )
20	19	3impa 1197	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
21	8, 14, 20	3jca 1180	. 2 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )
22	3	eqlei 8168	. . 3 |- ( A = B -> A <_ B )
23	1	eqlei 8168	. . 3 |- ( B = C -> B <_ C )
24	2	eqlei 8168	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A )
25	22, 23, 24	3anim123i 1187	. 2 |- ( ( A = B /\ B = C /\ C = A ) -> ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) )
26	21, 25	impbii 126	1 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   class class class wbr 4045   RRcr 7926   <_ cle 8110

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-cnex 8018  ax-resscn 8019  ax-pre-ltirr 8039  ax-pre-ltwlin 8040  ax-pre-apti 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-xp 4682  df-cnv 4684  df-pnf 8111  df-mnf 8112  df-xr 8113  df-ltxr 8114  df-le 8115

This theorem is referenced by: (None)