Theorem le2tri3i 8387

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 8386	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A ) -> B <_ A )
5	3, 1	letri3i 8377	. . . . . 6 |- ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) )
6	5	biimpri 133	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ A ) -> A = B )
7	4, 6	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A <_ B /\ ( B <_ C /\ C <_ A ) ) -> A = B )
8	7	3impb 1226	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> A = B )
9	2, 3, 1	letri 8386	. . . . . 6 |- ( ( C <_ A /\ A <_ B ) -> C <_ B )
10	1, 2	letri3i 8377	. . . . . . 7 |- ( B = C <-> ( B <_ C /\ C <_ B ) )
11	10	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( B <_ C /\ C <_ B ) -> B = C )
12	9, 11	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B ) ) -> B = C )
13	12	3impb 1226	. . . 4 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B ) -> B = C )
14	13	3comr 1238	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> B = C )
15	3, 1, 2	letri 8386	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
16	3, 2	letri3i 8377	. . . . . . 7 |- ( A = C <-> ( A <_ C /\ C <_ A ) )
17	16	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> A = C )
18	17	eqcomd 2240	. . . . 5 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
19	15, 18	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A <_ B /\ B <_ C ) /\ C <_ A ) -> C = A )
20	19	3impa 1221	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
21	8, 14, 20	3jca 1204	. 2 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )
22	3	eqlei 8372	. . 3 |- ( A = B -> A <_ B )
23	1	eqlei 8372	. . 3 |- ( B = C -> B <_ C )
24	2	eqlei 8372	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A )
25	22, 23, 24	3anim123i 1211	. 2 |- ( ( A = B /\ B = C /\ C = A ) -> ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) )
26	21, 25	impbii 126	1 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2205   class class class wbr 4111   RRcr 8131   <_ cle 8314

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-apti 8247

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-cnv 4759  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319

This theorem is referenced by: (None)