Theorem le2tri3i 8007

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 8006	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A ) -> B <_ A )
5	3, 1	letri3i 7997	. . . . . 6 |- ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) )
6	5	biimpri 132	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ A ) -> A = B )
7	4, 6	sylan2 284	. . . 4 |- ( ( A <_ B /\ ( B <_ C /\ C <_ A ) ) -> A = B )
8	7	3impb 1189	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> A = B )
9	2, 3, 1	letri 8006	. . . . . 6 |- ( ( C <_ A /\ A <_ B ) -> C <_ B )
10	1, 2	letri3i 7997	. . . . . . 7 |- ( B = C <-> ( B <_ C /\ C <_ B ) )
11	10	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( ( B <_ C /\ C <_ B ) -> B = C )
12	9, 11	sylan2 284	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B ) ) -> B = C )
13	12	3impb 1189	. . . 4 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B ) -> B = C )
14	13	3comr 1201	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> B = C )
15	3, 1, 2	letri 8006	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
16	3, 2	letri3i 7997	. . . . . . 7 |- ( A = C <-> ( A <_ C /\ C <_ A ) )
17	16	biimpri 132	. . . . . 6 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> A = C )
18	17	eqcomd 2171	. . . . 5 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
19	15, 18	sylan 281	. . . 4 |- ( ( ( A <_ B /\ B <_ C ) /\ C <_ A ) -> C = A )
20	19	3impa 1184	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
21	8, 14, 20	3jca 1167	. 2 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )
22	3	eqlei 7992	. . 3 |- ( A = B -> A <_ B )
23	1	eqlei 7992	. . 3 |- ( B = C -> B <_ C )
24	2	eqlei 7992	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A )
25	22, 23, 24	3anim123i 1174	. 2 |- ( ( A = B /\ B = C /\ C = A ) -> ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) )
26	21, 25	impbii 125	1 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Syntax hints:   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 968   = wceq 1343   e. wcel 2136   class class class wbr 3982   RRcr 7752   <_ cle 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-apti 7868

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-rab 2453  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-xp 4610  df-cnv 4612  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939

This theorem is referenced by: (None)