Theorem le2tri3i 8293

Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	|- A e. RR
lt.2	|- B e. RR
lt.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
le2tri3i	|- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Proof of Theorem le2tri3i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.2	. . . . . 6 |- B e. RR
2		lt.3	. . . . . 6 |- C e. RR
3		lt.1	. . . . . 6 |- A e. RR
4	1, 2, 3	letri 8292	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A ) -> B <_ A )
5	3, 1	letri3i 8283	. . . . . 6 |- ( A = B <-> ( A <_ B /\ B <_ A ) )
6	5	biimpri 133	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ A ) -> A = B )
7	4, 6	sylan2 286	. . . 4 |- ( ( A <_ B /\ ( B <_ C /\ C <_ A ) ) -> A = B )
8	7	3impb 1225	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> A = B )
9	2, 3, 1	letri 8292	. . . . . 6 |- ( ( C <_ A /\ A <_ B ) -> C <_ B )
10	1, 2	letri3i 8283	. . . . . . 7 |- ( B = C <-> ( B <_ C /\ C <_ B ) )
11	10	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( B <_ C /\ C <_ B ) -> B = C )
12	9, 11	sylan2 286	. . . . 5 |- ( ( B <_ C /\ ( C <_ A /\ A <_ B ) ) -> B = C )
13	12	3impb 1225	. . . 4 |- ( ( B <_ C /\ C <_ A /\ A <_ B ) -> B = C )
14	13	3comr 1237	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> B = C )
15	3, 1, 2	letri 8292	. . . . 5 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C ) -> A <_ C )
16	3, 2	letri3i 8283	. . . . . . 7 |- ( A = C <-> ( A <_ C /\ C <_ A ) )
17	16	biimpri 133	. . . . . 6 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> A = C )
18	17	eqcomd 2236	. . . . 5 |- ( ( A <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
19	15, 18	sylan 283	. . . 4 |- ( ( ( A <_ B /\ B <_ C ) /\ C <_ A ) -> C = A )
20	19	3impa 1220	. . 3 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> C = A )
21	8, 14, 20	3jca 1203	. 2 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) -> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )
22	3	eqlei 8278	. . 3 |- ( A = B -> A <_ B )
23	1	eqlei 8278	. . 3 |- ( B = C -> B <_ C )
24	2	eqlei 8278	. . 3 |- ( C = A -> C <_ A )
25	22, 23, 24	3anim123i 1210	. 2 |- ( ( A = B /\ B = C /\ C = A ) -> ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) )
26	21, 25	impbii 126	1 |- ( ( A <_ B /\ B <_ C /\ C <_ A ) <-> ( A = B /\ B = C /\ C = A ) )

Syntax hints:   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1004   = wceq 1397   e. wcel 2201   class class class wbr 4089   RRcr 8036   <_ cle 8220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-ltwlin 8150  ax-pre-apti 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-br 4090  df-opab 4152  df-xp 4733  df-cnv 4735  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-ltxr 8224  df-le 8225

This theorem is referenced by: (None)