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Theorem le2tri3i 7743
Description: Extended trichotomy law for 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 14-Aug-2000.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
lt.3  |-  C  e.  RR
Assertion
Ref Expression
le2tri3i  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )

Proof of Theorem le2tri3i
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . . . . 6  |-  B  e.  RR
2 lt.3 . . . . . 6  |-  C  e.  RR
3 lt.1 . . . . . 6  |-  A  e.  RR
41, 2, 3letri 7742 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  <_  A )
53, 1letri3i 7733 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  <_  A ) )
65biimpri 132 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  A )  ->  A  =  B )
74, 6sylan2 282 . . . 4  |-  ( ( A  <_  B  /\  ( B  <_  C  /\  C  <_  A ) )  ->  A  =  B )
873impb 1145 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  B )
92, 3, 1letri 7742 . . . . . 6  |-  ( ( C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  C  <_  B )
101, 2letri3i 7733 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  <->  ( B  <_  C  /\  C  <_  B ) )
1110biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  B )  ->  B  =  C )
129, 11sylan2 282 . . . . 5  |-  ( ( B  <_  C  /\  ( C  <_  A  /\  A  <_  B ) )  ->  B  =  C )
13123impb 1145 . . . 4  |-  ( ( B  <_  C  /\  C  <_  A  /\  A  <_  B )  ->  B  =  C )
14133comr 1157 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  B  =  C )
153, 1, 2letri 7742 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <_  C )
163, 2letri3i 7733 . . . . . . 7  |-  ( A  =  C  <->  ( A  <_  C  /\  C  <_  A ) )
1716biimpri 132 . . . . . 6  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  A  =  C )
1817eqcomd 2105 . . . . 5  |-  ( ( A  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
1915, 18sylan 279 . . . 4  |-  ( ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C )  /\  C  <_  A
)  ->  C  =  A )
20193impa 1144 . . 3  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  C  =  A )
218, 14, 203jca 1129 . 2  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  ->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )
)
223eqlei 7728 . . 3  |-  ( A  =  B  ->  A  <_  B )
231eqlei 7728 . . 3  |-  ( B  =  C  ->  B  <_  C )
242eqlei 7728 . . 3  |-  ( C  =  A  ->  C  <_  A )
2522, 23, 243anim123i 1134 . 2  |-  ( ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A )  ->  ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A ) )
2621, 25impbii 125 1  |-  ( ( A  <_  B  /\  B  <_  C  /\  C  <_  A )  <->  ( A  =  B  /\  B  =  C  /\  C  =  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    <-> wb 104    /\ w3a 930    = wceq 1299    e. wcel 1448   class class class wbr 3875   RRcr 7499    <_ cle 7673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390  ax-cnex 7586  ax-resscn 7587  ax-pre-ltirr 7607  ax-pre-ltwlin 7608  ax-pre-apti 7610
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-nel 2363  df-ral 2380  df-rex 2381  df-rab 2384  df-v 2643  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-br 3876  df-opab 3930  df-xp 4483  df-cnv 4485  df-pnf 7674  df-mnf 7675  df-xr 7676  df-ltxr 7677  df-le 7678
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