Theorem mulgt0ii 8380

Description: The product of two positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
mulgt0i.3	⊢ 0 < 𝐴
mulgt0i.4	⊢ 0 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
mulgt0ii	⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Proof of Theorem mulgt0ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulgt0i.3	. 2 ⊢ 0 < 𝐴
2		mulgt0i.4	. 2 ⊢ 0 < 𝐵
3		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
4		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0i 8379	. 2 ⊢ ((0 < 𝐴 ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐴 · 𝐵))
6	1, 2, 5	mp2an 426	1 ⊢ 0 < (𝐴 · 𝐵)

Syntax hints:   ∈ wcel 2203   class class class wbr 4108  (class class class)co 6049  ℝcr 8122  0cc0 8123   · cmul 8128   < clt 8304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220  ax-mulrcl 8222  ax-rnegex 8232  ax-pre-mulgt0 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2814  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-br 4109  df-opab 4171  df-xp 4754  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309

This theorem is referenced by:  ef01bndlem  12435