Theorem ltnrd 8427

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	|- ( ph -> -. A < A )

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnr 8392	. 2 |- ( A e. RR -> -. A < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -. A < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2209   class class class wbr 4125   RRcr 8168   < clt 8350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-pre-ltirr 8281

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-br 4126  df-opab 4188  df-xp 4775  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-ltxr 8355

This theorem is referenced by:  fzonel  10546  infssuzex  10644  frec2uzlt2d  10819  frec2uzf1od  10821  zfz1isolemiso  11269  recvguniqlem  11738  resqrexlemoverl  11765  leabs  11818  ltabs  11831  maxleim  11949  climuni  12037  znnen  13267  dedekindeulemeu  15646  dedekindicclemeu  15655  ivthinc  15667  limcimo  15689  efltlemlt  15798  taupi  17028