Theorem ltnrd 8131

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	|- ( ph -> -. A < A )

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltnr 8096	. 2 |- ( A e. RR -> -. A < A )
3	1, 2	syl 14	1 |- ( ph -> -. A < A )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   e. wcel 2164   class class class wbr 4029   RRcr 7871   < clt 8054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-xp 4665  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059

This theorem is referenced by:  fzonel  10227  frec2uzlt2d  10475  frec2uzf1od  10477  zfz1isolemiso  10910  recvguniqlem  11138  resqrexlemoverl  11165  leabs  11218  ltabs  11231  maxleim  11349  climuni  11436  infssuzex  12086  znnen  12555  dedekindeulemeu  14776  dedekindicclemeu  14785  ivthinc  14797  limcimo  14819  efltlemlt  14909  taupi  15563