Theorem ef01bndlem 11923

Description: Lemma for sin01bnd 11924 and cos01bnd 11925. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7976	. . . . 5 |- _i e. CC
2		0xr 8075	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
3		1re 8027	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
4		elioc2 10013	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 426	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
6	5	simp1bi 1014	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
7	6	recnd 8057	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
8		mulcl 8008	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
9	1, 7, 8	sylancr 414	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
10		4nn0 9270	. . . 4 |- 4 e. NN0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
12	11	eftlcl 11855	. . . 4 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 10, 12	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) e. CC )
14	13	abscld 11348	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) e. RR )
15		reexpcl 10650	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
16	6, 10, 15	sylancl 413	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
17		4re 9069	. . . . 5 |- 4 e. RR
18	17, 3	readdcli 8041	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) e. RR
19		faccl 10829	. . . . . 6 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` 4 ) e. NN )
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) e. NN
21		4nn 9156	. . . . 5 |- 4 e. NN
22	20, 21	nnmulcli 9014	. . . 4 |- ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) e. NN
23		nndivre 9028	. . . 4 |- ( ( ( 4 + 1 ) e. RR /\ ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) e. NN ) -> ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR )
24	18, 22, 23	mp2an 426	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR
25		remulcl 8009	. . 3 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) e. RR )
26	16, 24, 25	sylancl 413	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) e. RR )
27		6nn 9158	. . 3 |- 6 e. NN
28		nndivre 9028	. . 3 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
29	16, 27, 28	sylancl 413	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
30		eqid 2196	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
31		eqid 2196	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) / ( ! ` 4 ) ) x. ( ( 1 / ( 4 + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) / ( ! ` 4 ) ) x. ( ( 1 / ( 4 + 1 ) ) ^ n ) ) )
32	21	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. NN )
33		absmul 11236	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
34	1, 7, 33	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
35		absi 11226	. . . . . . . 8 |- ( abs ` _i ) = 1
36	35	oveq1i 5933	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
37	5	simp2bi 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
38	6, 37	elrpd 9770	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR+ )
39		rpre 9737	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
40		rpge0 9743	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )
41	39, 40	absidd 11334	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` A ) = A )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` A ) = A )
43	42	oveq2d 5939	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. A ) )
44	36, 43	eqtrid 2241	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. A ) )
45	7	mulid2d 8047	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 x. A ) = A )
46	34, 44, 45	3eqtrd 2233	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = A )
47	5	simp3bi 1016	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
48	46, 47	eqbrtrd 4056	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) <_ 1 )
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 11857	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
50	46	oveq1d 5938	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) = ( A ^ 4 ) )
51	50	oveq1d 5938	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
52	49, 51	breqtrd 4060	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) <_ ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
53		3pos 9086	. . . . . . . . 9 |- 0 < 3
54		0re 8028	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
55		3re 9066	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
56		5re 9071	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. RR
57	54, 55, 56	ltadd1i 8531	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < 3 <-> ( 0 + 5 ) < ( 3 + 5 ) )
58	53, 57	mpbi 145	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 5 ) < ( 3 + 5 )
59		5cn 9072	. . . . . . . . 9 |- 5 e. CC
60	59	addlidi 8171	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 5 ) = 5
61		cu2 10732	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
62		5p3e8 9140	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 3 ) = 8
63		3cn 9067	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
64	59, 63	addcomi 8172	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 3 ) = ( 3 + 5 )
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2224	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 5 ) = ( 2 ^ 3 )
66	58, 60, 65	3brtr3i 4063	. . . . . . 7 |- 5 < ( 2 ^ 3 )
67		2re 9062	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
68		1le2 9201	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 2
69		4z 9358	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
70		3lt4 9165	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 8131	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
72		3z 9357	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
73	72	eluz1i 9610	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
74	69, 71, 73	mpbir2an 944	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
75		leexp2a 10686	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 ) )
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1348	. . . . . . 7 |- ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 )
77		8re 9077	. . . . . . . . 9 |- 8 e. RR
78	61, 77	eqeltri 2269	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 3 ) e. RR
79		2nn 9154	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
80		nnexpcl 10646	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ 4 e. NN0 ) -> ( 2 ^ 4 ) e. NN )
81	79, 10, 80	mp2an 426	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 4 ) e. NN
82	81	nnrei 9001	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) e. RR
83	56, 78, 82	ltletri 8135	. . . . . . 7 |- ( ( 5 < ( 2 ^ 3 ) /\ ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 ) ) -> 5 < ( 2 ^ 4 ) )
84	66, 76, 83	mp2an 426	. . . . . 6 |- 5 < ( 2 ^ 4 )
85		6re 9073	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
86	85, 82	remulcli 8042	. . . . . . 7 |- ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) e. RR
87		6pos 9093	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
88	81	nngt0i 9022	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 2 ^ 4 )
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 8139	. . . . . . 7 |- 0 < ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) )
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 8958	. . . . . 6 |- ( 5 < ( 2 ^ 4 ) <-> ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) < ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) )
91	84, 90	mpbi 145	. . . . 5 |- ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) < ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
92		df-5 9054	. . . . . 6 |- 5 = ( 4 + 1 )
93		df-4 9053	. . . . . . . . . . 11 |- 4 = ( 3 + 1 )
94	93	fveq2i 5562	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
95		3nn0 9269	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
96		facp1 10824	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
98		sq2 10729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2218	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 + 1 ) = ( 2 ^ 2 )
100	99	oveq2i 5934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
101	94, 97, 100	3eqtri 2221	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
102	101	oveq1i 5933	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) x. ( 2 ^ 2 ) )
103	98	oveq2i 5934	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. 4 )
104		fac3 10826	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` 3 ) = 6
105		6cn 9074	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
106	104, 105	eqeltri 2269	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 3 ) e. CC
107	17	recni 8040	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
108	98, 107	eqeltri 2269	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 2 ) e. CC
109	106, 108, 108	mulassi 8037	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2225	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
111		2p2e4 9119	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 2 ) = 4
112	111	oveq2i 5934	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( 2 ^ 4 )
113		2cn 9063	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
114		2nn0 9268	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
115		expadd 10675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1348	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
117	112, 116	eqtr3i 2219	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
118	117	oveq2i 5934	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
119	104	oveq1i 5933	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) )
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2224	. . . . . 6 |- ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. 4 )
121	92, 120	oveq12i 5935	. . . . 5 |- ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) )
122	81	nncni 9002	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) e. CC
123	122	mullidi 8031	. . . . . . 7 |- ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( 2 ^ 4 )
124	123	oveq1i 5933	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
125	82, 88	gt0ap0ii 8657	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 4 ) # 0
126	122, 125	dividapi 8774	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) = 1
127	126	oveq2i 5934	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 1 / 6 ) x. 1 )
128		ax-1cn 7974	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
129	85, 87	gt0ap0ii 8657	. . . . . . . 8 |- 6 # 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivapi 8801	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
131	85, 129	rerecclapi 8806	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 6 ) e. RR
132	131	recni 8040	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 6 ) e. CC
133	132	mulridi 8030	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. 1 ) = ( 1 / 6 )
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2225	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( 1 / 6 )
135	124, 134	eqtr3i 2219	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( 1 / 6 )
136	91, 121, 135	3brtr3i 4063	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 )
137		rpexpcl 10652	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( A ^ 4 ) e. RR+ )
138	38, 69, 137	sylancl 413	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR+ )
139		elrp 9732	. . . . . 6 |- ( ( A ^ 4 ) e. RR+ <-> ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) )
140		ltmul2 8885	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR /\ ( 1 / 6 ) e. RR /\ ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
141	24, 131, 140	mp3an12 1338	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
142	139, 141	sylbi 121	. . . . 5 |- ( ( A ^ 4 ) e. RR+ -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
143	138, 142	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
144	136, 143	mpbii 148	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
145	16	recnd 8057	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. CC )
146		divrecap 8717	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
147	105, 129, 146	mp3an23 1340	. . . 4 |- ( ( A ^ 4 ) e. CC -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
148	145, 147	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
149	144, 148	breqtrrd 4062	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 8153	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2167   class class class wbr 4034   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   CCcc 7879   RRcr 7880   0cc0 7881   1c1 7882   _ici 7883   + caddc 7884   x. cmul 7886   RR*cxr 8062   < clt 8063   <_ cle 8064   # cap 8610   / cdiv 8701   NNcn 8992   2c2 9043   3c3 9044   4c4 9045   5c5 9046   6c6 9047   8c8 9049   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ZZ>=cuz 9603   RR+crp 9730   (,]cioc 9966   ^cexp 10632   !cfa 10819   abscabs 11164   sum_csu 11520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-pre-mulext 7999  ax-arch 8000  ax-caucvg 8001

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-isom 5268  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-irdg 6429  df-frec 6450  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-ap 8611  df-div 8702  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-q 9696  df-rp 9731  df-ioc 9970  df-ico 9971  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-exp 10633  df-fac 10820  df-ihash 10870  df-shft 10982  df-cj 11009  df-re 11010  df-im 11011  df-rsqrt 11165  df-abs 11166  df-clim 11446  df-sumdc 11521

This theorem is referenced by:  sin01bnd  11924  cos01bnd  11925