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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ef01bndlem | Unicode version |
Description: Lemma for sin01bnd 11102 and cos01bnd 11103. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) |
Ref | Expression |
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ef01bnd.1 |
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Ref | Expression |
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ef01bndlem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-icn 7494 |
. . . . 5
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2 | 0xr 7588 |
. . . . . . . 8
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3 | 1re 7541 |
. . . . . . . 8
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4 | elioc2 9408 |
. . . . . . . 8
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5 | 2, 3, 4 | mp2an 418 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | simp1bi 959 |
. . . . . 6
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7 | 6 | recnd 7570 |
. . . . 5
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8 | mulcl 7523 |
. . . . 5
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9 | 1, 7, 8 | sylancr 406 |
. . . 4
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10 | 4nn0 8746 |
. . . 4
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11 | ef01bnd.1 |
. . . . 5
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12 | 11 | eftlcl 11032 |
. . . 4
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13 | 9, 10, 12 | sylancl 405 |
. . 3
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14 | 13 | abscld 10668 |
. 2
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15 | reexpcl 10026 |
. . . 4
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16 | 6, 10, 15 | sylancl 405 |
. . 3
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17 | 4re 8553 |
. . . . 5
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18 | 17, 3 | readdcli 7555 |
. . . 4
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19 | faccl 10197 |
. . . . . 6
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20 | 10, 19 | ax-mp 7 |
. . . . 5
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21 | 4nn 8633 |
. . . . 5
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22 | 20, 21 | nnmulcli 8498 |
. . . 4
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23 | nndivre 8512 |
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24 | 18, 22, 23 | mp2an 418 |
. . 3
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25 | remulcl 7524 |
. . 3
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26 | 16, 24, 25 | sylancl 405 |
. 2
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27 | 6nn 8635 |
. . 3
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28 | nndivre 8512 |
. . 3
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29 | 16, 27, 28 | sylancl 405 |
. 2
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30 | eqid 2089 |
. . . 4
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31 | eqid 2089 |
. . . 4
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32 | 21 | a1i 9 |
. . . 4
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33 | absmul 10556 |
. . . . . . 7
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34 | 1, 7, 33 | sylancr 406 |
. . . . . 6
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35 | absi 10546 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | oveq1i 5676 |
. . . . . . 7
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37 | 5 | simp2bi 960 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 6, 37 | elrpd 9225 |
. . . . . . . . 9
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39 | rpre 9194 |
. . . . . . . . . 10
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40 | rpge0 9200 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 39, 40 | absidd 10654 |
. . . . . . . . 9
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42 | 38, 41 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | oveq2d 5682 |
. . . . . . 7
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44 | 36, 43 | syl5eq 2133 |
. . . . . 6
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45 | 7 | mulid2d 7560 |
. . . . . 6
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46 | 34, 44, 45 | 3eqtrd 2125 |
. . . . 5
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47 | 5 | simp3bi 961 |
. . . . 5
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48 | 46, 47 | eqbrtrd 3871 |
. . . 4
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49 | 11, 30, 31, 32, 9, 48 | eftlub 11034 |
. . 3
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50 | 46 | oveq1d 5681 |
. . . 4
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51 | 50 | oveq1d 5681 |
. . 3
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52 | 49, 51 | breqtrd 3875 |
. 2
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53 | 3pos 8570 |
. . . . . . . . 9
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54 | 0re 7542 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 3re 8550 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 5re 8555 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 54, 55, 56 | ltadd1i 8034 |
. . . . . . . . 9
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58 | 53, 57 | mpbi 144 |
. . . . . . . 8
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59 | 5cn 8556 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | addid2i 7679 |
. . . . . . . 8
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61 | cu2 10107 |
. . . . . . . . 9
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62 | 5p3e8 8617 |
. . . . . . . . 9
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63 | 3cn 8551 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 59, 63 | addcomi 7680 |
. . . . . . . . 9
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65 | 61, 62, 64 | 3eqtr2ri 2116 |
. . . . . . . 8
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66 | 58, 60, 65 | 3brtr3i 3878 |
. . . . . . 7
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67 | 2re 8546 |
. . . . . . . 8
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68 | 1le2 8678 |
. . . . . . . 8
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69 | 4z 8834 |
. . . . . . . . 9
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70 | 3lt4 8642 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 55, 17, 70 | ltleii 7641 |
. . . . . . . . 9
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72 | 3z 8833 |
. . . . . . . . . 10
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73 | 72 | eluz1i 9080 |
. . . . . . . . 9
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74 | 69, 71, 73 | mpbir2an 889 |
. . . . . . . 8
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75 | leexp2a 10062 |
. . . . . . . 8
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76 | 67, 68, 74, 75 | mp3an 1274 |
. . . . . . 7
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77 | 8re 8561 |
. . . . . . . . 9
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78 | 61, 77 | eqeltri 2161 |
. . . . . . . 8
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79 | 2nn 8631 |
. . . . . . . . . 10
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80 | nnexpcl 10022 |
. . . . . . . . . 10
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81 | 79, 10, 80 | mp2an 418 |
. . . . . . . . 9
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82 | 81 | nnrei 8485 |
. . . . . . . 8
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83 | 56, 78, 82 | ltletri 7645 |
. . . . . . 7
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84 | 66, 76, 83 | mp2an 418 |
. . . . . 6
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85 | 6re 8557 |
. . . . . . . 8
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86 | 85, 82 | remulcli 7556 |
. . . . . . 7
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87 | 6pos 8577 |
. . . . . . . 8
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88 | 81 | nngt0i 8506 |
. . . . . . . 8
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89 | 85, 82, 87, 88 | mulgt0ii 7649 |
. . . . . . 7
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90 | 56, 82, 86, 89 | ltdiv1ii 8444 |
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91 | 84, 90 | mpbi 144 |
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92 | df-5 8538 |
. . . . . 6
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93 | df-4 8537 |
. . . . . . . . . . 11
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94 | 93 | fveq2i 5321 |
. . . . . . . . . 10
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95 | 3nn0 8745 |
. . . . . . . . . . 11
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96 | facp1 10192 |
. . . . . . . . . . 11
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97 | 95, 96 | ax-mp 7 |
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98 | sq2 10104 |
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99 | 98, 93 | eqtr2i 2110 |
. . . . . . . . . . 11
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100 | 99 | oveq2i 5677 |
. . . . . . . . . 10
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101 | 94, 97, 100 | 3eqtri 2113 |
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102 | 101 | oveq1i 5676 |
. . . . . . . 8
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103 | 98 | oveq2i 5677 |
. . . . . . . 8
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104 | fac3 10194 |
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105 | 6cn 8558 |
. . . . . . . . . 10
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106 | 104, 105 | eqeltri 2161 |
. . . . . . . . 9
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107 | 17 | recni 7554 |
. . . . . . . . . 10
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108 | 98, 107 | eqeltri 2161 |
. . . . . . . . 9
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109 | 106, 108, 108 | mulassi 7551 |
. . . . . . . 8
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110 | 102, 103, 109 | 3eqtr3i 2117 |
. . . . . . 7
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111 | 2p2e4 8597 |
. . . . . . . . . 10
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112 | 111 | oveq2i 5677 |
. . . . . . . . 9
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113 | 2cn 8547 |
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114 | 2nn0 8744 |
. . . . . . . . . 10
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115 | expadd 10051 |
. . . . . . . . . 10
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116 | 113, 114, 114, 115 | mp3an 1274 |
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117 | 112, 116 | eqtr3i 2111 |
. . . . . . . 8
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118 | 117 | oveq2i 5677 |
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119 | 104 | oveq1i 5676 |
. . . . . . 7
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120 | 110, 118, 119 | 3eqtr2ri 2116 |
. . . . . 6
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121 | 92, 120 | oveq12i 5678 |
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122 | 81 | nncni 8486 |
. . . . . . . 8
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123 | 122 | mulid2i 7545 |
. . . . . . 7
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124 | 123 | oveq1i 5676 |
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125 | 82, 88 | gt0ap0ii 8158 |
. . . . . . . . 9
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126 | 122, 125 | dividapi 8266 |
. . . . . . . 8
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127 | 126 | oveq2i 5677 |
. . . . . . 7
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128 | ax-1cn 7492 |
. . . . . . . 8
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129 | 85, 87 | gt0ap0ii 8158 |
. . . . . . . 8
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130 | 128, 105, 122, 122, 129, 125 | divmuldivapi 8293 |
. . . . . . 7
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131 | 85, 129 | rerecclapi 8298 |
. . . . . . . . 9
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132 | 131 | recni 7554 |
. . . . . . . 8
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133 | 132 | mulid1i 7544 |
. . . . . . 7
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134 | 127, 130, 133 | 3eqtr3i 2117 |
. . . . . 6
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135 | 124, 134 | eqtr3i 2111 |
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136 | 91, 121, 135 | 3brtr3i 3878 |
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137 | rpexpcl 10028 |
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138 | 38, 69, 137 | sylancl 405 |
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139 | elrp 9190 |
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140 | ltmul2 8371 |
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141 | 24, 131, 140 | mp3an12 1264 |
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142 | 139, 141 | sylbi 120 |
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143 | 138, 142 | syl 14 |
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144 | 136, 143 | mpbii 147 |
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145 | 16 | recnd 7570 |
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146 | divrecap 8209 |
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147 | 105, 129, 146 | mp3an23 1266 |
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148 | 145, 147 | syl 14 |
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149 | 144, 148 | breqtrrd 3877 |
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150 | 14, 26, 29, 52, 149 | lelttrd 7662 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 580 ax-in2 581 ax-io 666 ax-5 1382 ax-7 1383 ax-gen 1384 ax-ie1 1428 ax-ie2 1429 ax-8 1441 ax-10 1442 ax-11 1443 ax-i12 1444 ax-bndl 1445 ax-4 1446 ax-13 1450 ax-14 1451 ax-17 1465 ax-i9 1469 ax-ial 1473 ax-i5r 1474 ax-ext 2071 ax-coll 3960 ax-sep 3963 ax-nul 3971 ax-pow 4015 ax-pr 4045 ax-un 4269 ax-setind 4366 ax-iinf 4416 ax-cnex 7490 ax-resscn 7491 ax-1cn 7492 ax-1re 7493 ax-icn 7494 ax-addcl 7495 ax-addrcl 7496 ax-mulcl 7497 ax-mulrcl 7498 ax-addcom 7499 ax-mulcom 7500 ax-addass 7501 ax-mulass 7502 ax-distr 7503 ax-i2m1 7504 ax-0lt1 7505 ax-1rid 7506 ax-0id 7507 ax-rnegex 7508 ax-precex 7509 ax-cnre 7510 ax-pre-ltirr 7511 ax-pre-ltwlin 7512 ax-pre-lttrn 7513 ax-pre-apti 7514 ax-pre-ltadd 7515 ax-pre-mulgt0 7516 ax-pre-mulext 7517 ax-arch 7518 ax-caucvg 7519 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-dc 782 df-3or 926 df-3an 927 df-tru 1293 df-fal 1296 df-nf 1396 df-sb 1694 df-eu 1952 df-mo 1953 df-clab 2076 df-cleq 2082 df-clel 2085 df-nfc 2218 df-ne 2257 df-nel 2352 df-ral 2365 df-rex 2366 df-reu 2367 df-rmo 2368 df-rab 2369 df-v 2622 df-sbc 2842 df-csb 2935 df-dif 3002 df-un 3004 df-in 3006 df-ss 3013 df-nul 3288 df-if 3398 df-pw 3435 df-sn 3456 df-pr 3457 df-op 3459 df-uni 3660 df-int 3695 df-iun 3738 df-br 3852 df-opab 3906 df-mpt 3907 df-tr 3943 df-id 4129 df-po 4132 df-iso 4133 df-iord 4202 df-on 4204 df-ilim 4205 df-suc 4207 df-iom 4419 df-xp 4457 df-rel 4458 df-cnv 4459 df-co 4460 df-dm 4461 df-rn 4462 df-res 4463 df-ima 4464 df-iota 4993 df-fun 5030 df-fn 5031 df-f 5032 df-f1 5033 df-fo 5034 df-f1o 5035 df-fv 5036 df-isom 5037 df-riota 5622 df-ov 5669 df-oprab 5670 df-mpt2 5671 df-1st 5925 df-2nd 5926 df-recs 6084 df-irdg 6149 df-frec 6170 df-1o 6195 df-oadd 6199 df-er 6306 df-en 6512 df-dom 6513 df-fin 6514 df-pnf 7578 df-mnf 7579 df-xr 7580 df-ltxr 7581 df-le 7582 df-sub 7709 df-neg 7710 df-reap 8106 df-ap 8113 df-div 8194 df-inn 8477 df-2 8535 df-3 8536 df-4 8537 df-5 8538 df-6 8539 df-7 8540 df-8 8541 df-n0 8728 df-z 8805 df-uz 9074 df-q 9159 df-rp 9189 df-ioc 9365 df-ico 9366 df-fz 9479 df-fzo 9608 df-iseq 9907 df-seq3 9908 df-exp 10009 df-fac 10188 df-ihash 10238 df-shft 10303 df-cj 10330 df-re 10331 df-im 10332 df-rsqrt 10485 df-abs 10486 df-clim 10721 df-isum 10797 |
This theorem is referenced by: sin01bnd 11102 cos01bnd 11103 |
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