Theorem ef01bndlem 11499

Description: Lemma for sin01bnd 11500 and cos01bnd 11501. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
ef01bnd.1	|- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )

Assertion

Ref	Expression
ef01bndlem	|- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )

Distinct variable groups:   k, n, A   k, F

Allowed substitution hint:   F( n)

Proof of Theorem ef01bndlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-icn 7739	. . . . 5 |- _i e. CC
2		0xr 7836	. . . . . . . 8 |- 0 e. RR*
3		1re 7789	. . . . . . . 8 |- 1 e. RR
4		elioc2 9749	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. RR* /\ 1 e. RR ) -> ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) ) )
5	2, 3, 4	mp2an 423	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) <-> ( A e. RR /\ 0 < A /\ A <_ 1 ) )
6	5	simp1bi 997	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR )
7	6	recnd 7818	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. CC )
8		mulcl 7771	. . . . 5 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( _i x. A ) e. CC )
9	1, 7, 8	sylancr 411	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( _i x. A ) e. CC )
10		4nn0 9020	. . . 4 |- 4 e. NN0
11		ef01bnd.1	. . . . 5 |- F = ( n e. NN0 |-> ( ( ( _i x. A ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
12	11	eftlcl 11431	. . . 4 |- ( ( ( _i x. A ) e. CC /\ 4 e. NN0 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) e. CC )
13	9, 10, 12	sylancl 410	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) e. CC )
14	13	abscld 10985	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) e. RR )
15		reexpcl 10341	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ 4 e. NN0 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
16	6, 10, 15	sylancl 410	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR )
17		4re 8821	. . . . 5 |- 4 e. RR
18	17, 3	readdcli 7803	. . . 4 |- ( 4 + 1 ) e. RR
19		faccl 10513	. . . . . 6 |- ( 4 e. NN0 -> ( ! ` 4 ) e. NN )
20	10, 19	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( ! ` 4 ) e. NN
21		4nn 8907	. . . . 5 |- 4 e. NN
22	20, 21	nnmulcli 8766	. . . 4 |- ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) e. NN
23		nndivre 8780	. . . 4 |- ( ( ( 4 + 1 ) e. RR /\ ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) e. NN ) -> ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR )
24	18, 22, 23	mp2an 423	. . 3 |- ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR
25		remulcl 7772	. . 3 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) e. RR )
26	16, 24, 25	sylancl 410	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) e. RR )
27		6nn 8909	. . 3 |- 6 e. NN
28		nndivre 8780	. . 3 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 6 e. NN ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
29	16, 27, 28	sylancl 410	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) e. RR )
30		eqid 2140	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
31		eqid 2140	. . . 4 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) / ( ! ` 4 ) ) x. ( ( 1 / ( 4 + 1 ) ) ^ n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) / ( ! ` 4 ) ) x. ( ( 1 / ( 4 + 1 ) ) ^ n ) ) )
32	21	a1i 9	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 4 e. NN )
33		absmul 10873	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ A e. CC ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
34	1, 7, 33	sylancr 411	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) )
35		absi 10863	. . . . . . . 8 |- ( abs ` _i ) = 1
36	35	oveq1i 5792	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. ( abs ` A ) )
37	5	simp2bi 998	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> 0 < A )
38	6, 37	elrpd 9510	. . . . . . . . 9 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A e. RR+ )
39		rpre 9477	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> A e. RR )
40		rpge0 9483	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR+ -> 0 <_ A )
41	39, 40	absidd 10971	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR+ -> ( abs ` A ) = A )
42	38, 41	syl 14	. . . . . . . 8 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` A ) = A )
43	42	oveq2d 5798	. . . . . . 7 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. A ) )
44	36, 43	syl5eq 2185	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` _i ) x. ( abs ` A ) ) = ( 1 x. A ) )
45	7	mulid2d 7808	. . . . . 6 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( 1 x. A ) = A )
46	34, 44, 45	3eqtrd 2177	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) = A )
47	5	simp3bi 999	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> A <_ 1 )
48	46, 47	eqbrtrd 3958	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` ( _i x. A ) ) <_ 1 )
49	11, 30, 31, 32, 9, 48	eftlub 11433	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) <_ ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
50	46	oveq1d 5797	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) = ( A ^ 4 ) )
51	50	oveq1d 5797	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( abs ` ( _i x. A ) ) ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
52	49, 51	breqtrd 3962	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) <_ ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) )
53		3pos 8838	. . . . . . . . 9 |- 0 < 3
54		0re 7790	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. RR
55		3re 8818	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. RR
56		5re 8823	. . . . . . . . . 10 |- 5 e. RR
57	54, 55, 56	ltadd1i 8288	. . . . . . . . 9 |- ( 0 < 3 <-> ( 0 + 5 ) < ( 3 + 5 ) )
58	53, 57	mpbi 144	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 5 ) < ( 3 + 5 )
59		5cn 8824	. . . . . . . . 9 |- 5 e. CC
60	59	addid2i 7929	. . . . . . . 8 |- ( 0 + 5 ) = 5
61		cu2 10422	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 3 ) = 8
62		5p3e8 8891	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 3 ) = 8
63		3cn 8819	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. CC
64	59, 63	addcomi 7930	. . . . . . . . 9 |- ( 5 + 3 ) = ( 3 + 5 )
65	61, 62, 64	3eqtr2ri 2168	. . . . . . . 8 |- ( 3 + 5 ) = ( 2 ^ 3 )
66	58, 60, 65	3brtr3i 3965	. . . . . . 7 |- 5 < ( 2 ^ 3 )
67		2re 8814	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
68		1le2 8952	. . . . . . . 8 |- 1 <_ 2
69		4z 9108	. . . . . . . . 9 |- 4 e. ZZ
70		3lt4 8916	. . . . . . . . . 10 |- 3 < 4
71	55, 17, 70	ltleii 7890	. . . . . . . . 9 |- 3 <_ 4
72		3z 9107	. . . . . . . . . 10 |- 3 e. ZZ
73	72	eluz1i 9357	. . . . . . . . 9 |- ( 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) <-> ( 4 e. ZZ /\ 3 <_ 4 ) )
74	69, 71, 73	mpbir2an 927	. . . . . . . 8 |- 4 e. ( ZZ>= ` 3 )
75		leexp2a 10377	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 e. RR /\ 1 <_ 2 /\ 4 e. ( ZZ>= ` 3 ) ) -> ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 ) )
76	67, 68, 74, 75	mp3an 1316	. . . . . . 7 |- ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 )
77		8re 8829	. . . . . . . . 9 |- 8 e. RR
78	61, 77	eqeltri 2213	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 3 ) e. RR
79		2nn 8905	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN
80		nnexpcl 10337	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. NN /\ 4 e. NN0 ) -> ( 2 ^ 4 ) e. NN )
81	79, 10, 80	mp2an 423	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 4 ) e. NN
82	81	nnrei 8753	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) e. RR
83	56, 78, 82	ltletri 7894	. . . . . . 7 |- ( ( 5 < ( 2 ^ 3 ) /\ ( 2 ^ 3 ) <_ ( 2 ^ 4 ) ) -> 5 < ( 2 ^ 4 ) )
84	66, 76, 83	mp2an 423	. . . . . 6 |- 5 < ( 2 ^ 4 )
85		6re 8825	. . . . . . . 8 |- 6 e. RR
86	85, 82	remulcli 7804	. . . . . . 7 |- ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) e. RR
87		6pos 8845	. . . . . . . 8 |- 0 < 6
88	81	nngt0i 8774	. . . . . . . 8 |- 0 < ( 2 ^ 4 )
89	85, 82, 87, 88	mulgt0ii 7898	. . . . . . 7 |- 0 < ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) )
90	56, 82, 86, 89	ltdiv1ii 8711	. . . . . 6 |- ( 5 < ( 2 ^ 4 ) <-> ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) < ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) )
91	84, 90	mpbi 144	. . . . 5 |- ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) < ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
92		df-5 8806	. . . . . 6 |- 5 = ( 4 + 1 )
93		df-4 8805	. . . . . . . . . . 11 |- 4 = ( 3 + 1 )
94	93	fveq2i 5432	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` 4 ) = ( ! ` ( 3 + 1 ) )
95		3nn0 9019	. . . . . . . . . . 11 |- 3 e. NN0
96		facp1 10508	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 e. NN0 -> ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) )
97	95, 96	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) )
98		sq2 10419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 ^ 2 ) = 4
99	98, 93	eqtr2i 2162	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 + 1 ) = ( 2 ^ 2 )
100	99	oveq2i 5793	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 3 + 1 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
101	94, 97, 100	3eqtri 2165	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
102	101	oveq1i 5792	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) x. ( 2 ^ 2 ) )
103	98	oveq2i 5793	. . . . . . . 8 |- ( ( ! ` 4 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. 4 )
104		fac3 10510	. . . . . . . . . 10 |- ( ! ` 3 ) = 6
105		6cn 8826	. . . . . . . . . 10 |- 6 e. CC
106	104, 105	eqeltri 2213	. . . . . . . . 9 |- ( ! ` 3 ) e. CC
107	17	recni 7802	. . . . . . . . . 10 |- 4 e. CC
108	98, 107	eqeltri 2213	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 2 ) e. CC
109	106, 108, 108	mulassi 7799	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) x. ( 2 ^ 2 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
110	102, 103, 109	3eqtr3i 2169	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
111		2p2e4 8871	. . . . . . . . . 10 |- ( 2 + 2 ) = 4
112	111	oveq2i 5793	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( 2 ^ 4 )
113		2cn 8815	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. CC
114		2nn0 9018	. . . . . . . . . 10 |- 2 e. NN0
115		expadd 10366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 2 e. CC /\ 2 e. NN0 /\ 2 e. NN0 ) -> ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
116	113, 114, 114, 115	mp3an 1316	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ ( 2 + 2 ) ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
117	112, 116	eqtr3i 2163	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) = ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) )
118	117	oveq2i 5793	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( ( ! ` 3 ) x. ( ( 2 ^ 2 ) x. ( 2 ^ 2 ) ) )
119	104	oveq1i 5792	. . . . . . 7 |- ( ( ! ` 3 ) x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) )
120	110, 118, 119	3eqtr2ri 2168	. . . . . 6 |- ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( ( ! ` 4 ) x. 4 )
121	92, 120	oveq12i 5794	. . . . 5 |- ( 5 / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) )
122	81	nncni 8754	. . . . . . . 8 |- ( 2 ^ 4 ) e. CC
123	122	mulid2i 7793	. . . . . . 7 |- ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) = ( 2 ^ 4 )
124	123	oveq1i 5792	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
125	82, 88	gt0ap0ii 8414	. . . . . . . . 9 |- ( 2 ^ 4 ) # 0
126	122, 125	dividapi 8529	. . . . . . . 8 |- ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) = 1
127	126	oveq2i 5793	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 1 / 6 ) x. 1 )
128		ax-1cn 7737	. . . . . . . 8 |- 1 e. CC
129	85, 87	gt0ap0ii 8414	. . . . . . . 8 |- 6 # 0
130	128, 105, 122, 122, 129, 125	divmuldivapi 8556	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. ( ( 2 ^ 4 ) / ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) )
131	85, 129	rerecclapi 8561	. . . . . . . . 9 |- ( 1 / 6 ) e. RR
132	131	recni 7802	. . . . . . . 8 |- ( 1 / 6 ) e. CC
133	132	mulid1i 7792	. . . . . . 7 |- ( ( 1 / 6 ) x. 1 ) = ( 1 / 6 )
134	127, 130, 133	3eqtr3i 2169	. . . . . 6 |- ( ( 1 x. ( 2 ^ 4 ) ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( 1 / 6 )
135	124, 134	eqtr3i 2163	. . . . 5 |- ( ( 2 ^ 4 ) / ( 6 x. ( 2 ^ 4 ) ) ) = ( 1 / 6 )
136	91, 121, 135	3brtr3i 3965	. . . 4 |- ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 )
137		rpexpcl 10343	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR+ /\ 4 e. ZZ ) -> ( A ^ 4 ) e. RR+ )
138	38, 69, 137	sylancl 410	. . . . 5 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. RR+ )
139		elrp 9472	. . . . . 6 |- ( ( A ^ 4 ) e. RR+ <-> ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) )
140		ltmul2 8638	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) e. RR /\ ( 1 / 6 ) e. RR /\ ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
141	24, 131, 140	mp3an12 1306	. . . . . 6 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. RR /\ 0 < ( A ^ 4 ) ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
142	139, 141	sylbi 120	. . . . 5 |- ( ( A ^ 4 ) e. RR+ -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
143	138, 142	syl 14	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) < ( 1 / 6 ) <-> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) ) )
144	136, 143	mpbii 147	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
145	16	recnd 7818	. . . 4 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( A ^ 4 ) e. CC )
146		divrecap 8472	. . . . 5 |- ( ( ( A ^ 4 ) e. CC /\ 6 e. CC /\ 6 # 0 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
147	105, 129, 146	mp3an23 1308	. . . 4 |- ( ( A ^ 4 ) e. CC -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
148	145, 147	syl 14	. . 3 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) / 6 ) = ( ( A ^ 4 ) x. ( 1 / 6 ) ) )
149	144, 148	breqtrrd 3964	. 2 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( ( A ^ 4 ) x. ( ( 4 + 1 ) / ( ( ! ` 4 ) x. 4 ) ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )
150	14, 26, 29, 52, 149	lelttrd 7911	1 |- ( A e. ( 0 (,] 1 ) -> ( abs ` sum_ k e. ( ZZ>= ` 4 ) ( F ` k ) ) < ( ( A ^ 4 ) / 6 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   /\ w3a 963   = wceq 1332   e. wcel 1481   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   ` cfv 5131  (class class class)co 5782   CCcc 7642   RRcr 7643   0cc0 7644   1c1 7645   _ici 7646   + caddc 7647   x. cmul 7649   RR*cxr 7823   < clt 7824   <_ cle 7825   # cap 8367   / cdiv 8456   NNcn 8744   2c2 8795   3c3 8796   4c4 8797   5c5 8798   6c6 8799   8c8 8801   NN0cn0 9001   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350   RR+crp 9470   (,]cioc 9702   ^cexp 10323   !cfa 10503   abscabs 10801   sum_csu 11154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-mulrcl 7743  ax-addcom 7744  ax-mulcom 7745  ax-addass 7746  ax-mulass 7747  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-1rid 7751  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-precex 7754  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-apti 7759  ax-pre-ltadd 7760  ax-pre-mulgt0 7761  ax-pre-mulext 7762  ax-arch 7763  ax-caucvg 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-if 3480  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-po 4226  df-iso 4227  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-isom 5140  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-frec 6296  df-1o 6321  df-oadd 6325  df-er 6437  df-en 6643  df-dom 6644  df-fin 6645  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-reap 8361  df-ap 8368  df-div 8457  df-inn 8745  df-2 8803  df-3 8804  df-4 8805  df-5 8806  df-6 8807  df-7 8808  df-8 8809  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351  df-q 9439  df-rp 9471  df-ioc 9706  df-ico 9707  df-fz 9822  df-fzo 9951  df-seqfrec 10250  df-exp 10324  df-fac 10504  df-ihash 10554  df-shft 10619  df-cj 10646  df-re 10647  df-im 10648  df-rsqrt 10802  df-abs 10803  df-clim 11080  df-sumdc 11155

This theorem is referenced by:  sin01bnd  11500  cos01bnd  11501