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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > ef01bndlem | Unicode version |
Description: Lemma for sin01bnd 11767 and cos01bnd 11768. (Contributed by Paul Chapman, 19-Jan-2008.) |
Ref | Expression |
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ef01bnd.1 |
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Ref | Expression |
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ef01bndlem |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | ax-icn 7908 |
. . . . 5
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2 | 0xr 8006 |
. . . . . . . 8
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3 | 1re 7958 |
. . . . . . . 8
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4 | elioc2 9938 |
. . . . . . . 8
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5 | 2, 3, 4 | mp2an 426 |
. . . . . . 7
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6 | 5 | simp1bi 1012 |
. . . . . 6
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7 | 6 | recnd 7988 |
. . . . 5
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8 | mulcl 7940 |
. . . . 5
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9 | 1, 7, 8 | sylancr 414 |
. . . 4
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10 | 4nn0 9197 |
. . . 4
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11 | ef01bnd.1 |
. . . . 5
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12 | 11 | eftlcl 11698 |
. . . 4
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13 | 9, 10, 12 | sylancl 413 |
. . 3
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14 | 13 | abscld 11192 |
. 2
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15 | reexpcl 10539 |
. . . 4
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16 | 6, 10, 15 | sylancl 413 |
. . 3
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17 | 4re 8998 |
. . . . 5
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18 | 17, 3 | readdcli 7972 |
. . . 4
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19 | faccl 10717 |
. . . . . 6
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20 | 10, 19 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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21 | 4nn 9084 |
. . . . 5
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22 | 20, 21 | nnmulcli 8943 |
. . . 4
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23 | nndivre 8957 |
. . . 4
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24 | 18, 22, 23 | mp2an 426 |
. . 3
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25 | remulcl 7941 |
. . 3
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26 | 16, 24, 25 | sylancl 413 |
. 2
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27 | 6nn 9086 |
. . 3
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28 | nndivre 8957 |
. . 3
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29 | 16, 27, 28 | sylancl 413 |
. 2
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30 | eqid 2177 |
. . . 4
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31 | eqid 2177 |
. . . 4
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32 | 21 | a1i 9 |
. . . 4
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33 | absmul 11080 |
. . . . . . 7
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34 | 1, 7, 33 | sylancr 414 |
. . . . . 6
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35 | absi 11070 |
. . . . . . . 8
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36 | 35 | oveq1i 5887 |
. . . . . . 7
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37 | 5 | simp2bi 1013 |
. . . . . . . . . 10
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38 | 6, 37 | elrpd 9695 |
. . . . . . . . 9
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39 | rpre 9662 |
. . . . . . . . . 10
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40 | rpge0 9668 |
. . . . . . . . . 10
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41 | 39, 40 | absidd 11178 |
. . . . . . . . 9
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42 | 38, 41 | syl 14 |
. . . . . . . 8
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43 | 42 | oveq2d 5893 |
. . . . . . 7
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44 | 36, 43 | eqtrid 2222 |
. . . . . 6
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45 | 7 | mulid2d 7978 |
. . . . . 6
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46 | 34, 44, 45 | 3eqtrd 2214 |
. . . . 5
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47 | 5 | simp3bi 1014 |
. . . . 5
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48 | 46, 47 | eqbrtrd 4027 |
. . . 4
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49 | 11, 30, 31, 32, 9, 48 | eftlub 11700 |
. . 3
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50 | 46 | oveq1d 5892 |
. . . 4
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51 | 50 | oveq1d 5892 |
. . 3
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52 | 49, 51 | breqtrd 4031 |
. 2
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53 | 3pos 9015 |
. . . . . . . . 9
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54 | 0re 7959 |
. . . . . . . . . 10
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55 | 3re 8995 |
. . . . . . . . . 10
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56 | 5re 9000 |
. . . . . . . . . 10
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57 | 54, 55, 56 | ltadd1i 8461 |
. . . . . . . . 9
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58 | 53, 57 | mpbi 145 |
. . . . . . . 8
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59 | 5cn 9001 |
. . . . . . . . 9
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60 | 59 | addid2i 8102 |
. . . . . . . 8
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61 | cu2 10621 |
. . . . . . . . 9
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62 | 5p3e8 9068 |
. . . . . . . . 9
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63 | 3cn 8996 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 59, 63 | addcomi 8103 |
. . . . . . . . 9
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65 | 61, 62, 64 | 3eqtr2ri 2205 |
. . . . . . . 8
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66 | 58, 60, 65 | 3brtr3i 4034 |
. . . . . . 7
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67 | 2re 8991 |
. . . . . . . 8
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68 | 1le2 9129 |
. . . . . . . 8
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69 | 4z 9285 |
. . . . . . . . 9
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70 | 3lt4 9093 |
. . . . . . . . . 10
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71 | 55, 17, 70 | ltleii 8062 |
. . . . . . . . 9
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72 | 3z 9284 |
. . . . . . . . . 10
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73 | 72 | eluz1i 9537 |
. . . . . . . . 9
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74 | 69, 71, 73 | mpbir2an 942 |
. . . . . . . 8
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75 | leexp2a 10575 |
. . . . . . . 8
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76 | 67, 68, 74, 75 | mp3an 1337 |
. . . . . . 7
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77 | 8re 9006 |
. . . . . . . . 9
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78 | 61, 77 | eqeltri 2250 |
. . . . . . . 8
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79 | 2nn 9082 |
. . . . . . . . . 10
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80 | nnexpcl 10535 |
. . . . . . . . . 10
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81 | 79, 10, 80 | mp2an 426 |
. . . . . . . . 9
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82 | 81 | nnrei 8930 |
. . . . . . . 8
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83 | 56, 78, 82 | ltletri 8066 |
. . . . . . 7
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84 | 66, 76, 83 | mp2an 426 |
. . . . . 6
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85 | 6re 9002 |
. . . . . . . 8
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86 | 85, 82 | remulcli 7973 |
. . . . . . 7
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87 | 6pos 9022 |
. . . . . . . 8
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88 | 81 | nngt0i 8951 |
. . . . . . . 8
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89 | 85, 82, 87, 88 | mulgt0ii 8070 |
. . . . . . 7
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90 | 56, 82, 86, 89 | ltdiv1ii 8888 |
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91 | 84, 90 | mpbi 145 |
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92 | df-5 8983 |
. . . . . 6
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93 | df-4 8982 |
. . . . . . . . . . 11
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94 | 93 | fveq2i 5520 |
. . . . . . . . . 10
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95 | 3nn0 9196 |
. . . . . . . . . . 11
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96 | facp1 10712 |
. . . . . . . . . . 11
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98 | sq2 10618 |
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99 | 98, 93 | eqtr2i 2199 |
. . . . . . . . . . 11
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100 | 99 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . . . 10
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101 | 94, 97, 100 | 3eqtri 2202 |
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102 | 101 | oveq1i 5887 |
. . . . . . . 8
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103 | 98 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . 8
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104 | fac3 10714 |
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105 | 6cn 9003 |
. . . . . . . . . 10
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106 | 104, 105 | eqeltri 2250 |
. . . . . . . . 9
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107 | 17 | recni 7971 |
. . . . . . . . . 10
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108 | 98, 107 | eqeltri 2250 |
. . . . . . . . 9
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109 | 106, 108, 108 | mulassi 7968 |
. . . . . . . 8
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110 | 102, 103, 109 | 3eqtr3i 2206 |
. . . . . . 7
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111 | 2p2e4 9048 |
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112 | 111 | oveq2i 5888 |
. . . . . . . . 9
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113 | 2cn 8992 |
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114 | 2nn0 9195 |
. . . . . . . . . 10
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115 | expadd 10564 |
. . . . . . . . . 10
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116 | 113, 114, 114, 115 | mp3an 1337 |
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117 | 112, 116 | eqtr3i 2200 |
. . . . . . . 8
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118 | 117 | oveq2i 5888 |
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119 | 104 | oveq1i 5887 |
. . . . . . 7
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120 | 110, 118, 119 | 3eqtr2ri 2205 |
. . . . . 6
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121 | 92, 120 | oveq12i 5889 |
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122 | 81 | nncni 8931 |
. . . . . . . 8
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123 | 122 | mullidi 7962 |
. . . . . . 7
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124 | 123 | oveq1i 5887 |
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125 | 82, 88 | gt0ap0ii 8587 |
. . . . . . . . 9
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126 | 122, 125 | dividapi 8704 |
. . . . . . . 8
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127 | 126 | oveq2i 5888 |
. . . . . . 7
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128 | ax-1cn 7906 |
. . . . . . . 8
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129 | 85, 87 | gt0ap0ii 8587 |
. . . . . . . 8
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130 | 128, 105, 122, 122, 129, 125 | divmuldivapi 8731 |
. . . . . . 7
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131 | 85, 129 | rerecclapi 8736 |
. . . . . . . . 9
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132 | 131 | recni 7971 |
. . . . . . . 8
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133 | 132 | mulid1i 7961 |
. . . . . . 7
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134 | 127, 130, 133 | 3eqtr3i 2206 |
. . . . . 6
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135 | 124, 134 | eqtr3i 2200 |
. . . . 5
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136 | 91, 121, 135 | 3brtr3i 4034 |
. . . 4
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137 | rpexpcl 10541 |
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138 | 38, 69, 137 | sylancl 413 |
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139 | elrp 9657 |
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140 | ltmul2 8815 |
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141 | 24, 131, 140 | mp3an12 1327 |
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142 | 139, 141 | sylbi 121 |
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143 | 138, 142 | syl 14 |
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144 | 136, 143 | mpbii 148 |
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145 | 16 | recnd 7988 |
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146 | divrecap 8647 |
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147 | 105, 129, 146 | mp3an23 1329 |
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148 | 145, 147 | syl 14 |
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149 | 144, 148 | breqtrrd 4033 |
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150 | 14, 26, 29, 52, 149 | lelttrd 8084 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4120 ax-sep 4123 ax-nul 4131 ax-pow 4176 ax-pr 4211 ax-un 4435 ax-setind 4538 ax-iinf 4589 ax-cnex 7904 ax-resscn 7905 ax-1cn 7906 ax-1re 7907 ax-icn 7908 ax-addcl 7909 ax-addrcl 7910 ax-mulcl 7911 ax-mulrcl 7912 ax-addcom 7913 ax-mulcom 7914 ax-addass 7915 ax-mulass 7916 ax-distr 7917 ax-i2m1 7918 ax-0lt1 7919 ax-1rid 7920 ax-0id 7921 ax-rnegex 7922 ax-precex 7923 ax-cnre 7924 ax-pre-ltirr 7925 ax-pre-ltwlin 7926 ax-pre-lttrn 7927 ax-pre-apti 7928 ax-pre-ltadd 7929 ax-pre-mulgt0 7930 ax-pre-mulext 7931 ax-arch 7932 ax-caucvg 7933 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-nel 2443 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rmo 2463 df-rab 2464 df-v 2741 df-sbc 2965 df-csb 3060 df-dif 3133 df-un 3135 df-in 3137 df-ss 3144 df-nul 3425 df-if 3537 df-pw 3579 df-sn 3600 df-pr 3601 df-op 3603 df-uni 3812 df-int 3847 df-iun 3890 df-br 4006 df-opab 4067 df-mpt 4068 df-tr 4104 df-id 4295 df-po 4298 df-iso 4299 df-iord 4368 df-on 4370 df-ilim 4371 df-suc 4373 df-iom 4592 df-xp 4634 df-rel 4635 df-cnv 4636 df-co 4637 df-dm 4638 df-rn 4639 df-res 4640 df-ima 4641 df-iota 5180 df-fun 5220 df-fn 5221 df-f 5222 df-f1 5223 df-fo 5224 df-f1o 5225 df-fv 5226 df-isom 5227 df-riota 5833 df-ov 5880 df-oprab 5881 df-mpo 5882 df-1st 6143 df-2nd 6144 df-recs 6308 df-irdg 6373 df-frec 6394 df-1o 6419 df-oadd 6423 df-er 6537 df-en 6743 df-dom 6744 df-fin 6745 df-pnf 7996 df-mnf 7997 df-xr 7998 df-ltxr 7999 df-le 8000 df-sub 8132 df-neg 8133 df-reap 8534 df-ap 8541 df-div 8632 df-inn 8922 df-2 8980 df-3 8981 df-4 8982 df-5 8983 df-6 8984 df-7 8985 df-8 8986 df-n0 9179 df-z 9256 df-uz 9531 df-q 9622 df-rp 9656 df-ioc 9895 df-ico 9896 df-fz 10011 df-fzo 10145 df-seqfrec 10448 df-exp 10522 df-fac 10708 df-ihash 10758 df-shft 10826 df-cj 10853 df-re 10854 df-im 10855 df-rsqrt 11009 df-abs 11010 df-clim 11289 df-sumdc 11364 |
This theorem is referenced by: sin01bnd 11767 cos01bnd 11768 |
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