ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Unicode version

Theorem nntri1 6475
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4553 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  B  e.  A )
2 nntri3or 6472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 974 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
43biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 724 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 719 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
72, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
8 nnord 4596 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
9 ordelss 4364 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
108, 9sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 114 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
1211adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3201 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 712 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15syld 45 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  A  C_  B
) )
171, 16impbid2 142 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 703    \/ w3o 972    = wceq 1348    e. wcel 2141    C_ wss 3121   Ord word 4347   omcom 4574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6480  nnmword  6497  nnawordex  6508  nndomo  6842  nnnninfeq  7104  ennnfonelemex  12369  pwle2  14031
  Copyright terms: Public domain W3C validator