Theorem nntri1 6707

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri1	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem nntri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnel 4673	. 2 |- ( A C_ B -> -. B e. A )
2		nntri3or 6704	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 1006	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	3	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 737	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 732	. . . 4 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4716	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> Ord B )
9		ordelss 4482	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3282	. . . . 5 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 725	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	syld 45	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> A C_ B ) )
17	1, 16	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 716   \/ w3o 1004   = wceq 1398   e. wcel 2202   C_ wss 3201   Ord word 4465   omcom 4694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-uni 3899  df-int 3934  df-tr 4193  df-iord 4469  df-on 4471  df-suc 4474  df-iom 4695

This theorem is referenced by:  nnsseleq  6712  nnmword  6729  nnawordex  6740  nndomo  7093  nnnninfeq  7387  ennnfonelemex  13115  pwle2  16720