Theorem nntri1 6257

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri1	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem nntri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnel 4385	. 2 |- ( A C_ B -> -. B e. A )
2		nntri3or 6254	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 925	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	3	biimpi 118	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 683	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 678	. . . 4 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4426	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> Ord B )
9		ordelss 4206	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
10	8, 9	sylan 277	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 113	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	11	adantl 271	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3078	. . . . 5 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 672	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	syld 44	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> A C_ B ) )
17	1, 16	impbid2 141	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 664   \/ w3o 923   = wceq 1289   e. wcel 1438   C_ wss 2999   Ord word 4189   omcom 4405

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406

This theorem is referenced by:  nnsseleq  6262  nnmword  6275  nnawordex  6285  nndomo  6578  nninfalllemn  11853