ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Unicode version

Theorem nntri1 6257
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4385 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  B  e.  A )
2 nntri3or 6254 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 925 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
43biimpi 118 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 683 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 678 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
72, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
8 nnord 4426 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
9 ordelss 4206 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
108, 9sylan 277 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 113 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
1211adantl 271 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3078 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 672 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15syld 44 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  A  C_  B
) )
171, 16impbid2 141 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    \/ w3o 923    = wceq 1289    e. wcel 1438    C_ wss 2999   Ord word 4189   omcom 4405
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-uni 3654  df-int 3689  df-tr 3937  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6262  nnmword  6275  nnawordex  6285  nndomo  6578  nninfalllemn  11853
  Copyright terms: Public domain W3C validator