Theorem nntri1 6584

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri1	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem nntri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnel 4618	. 2 |- ( A C_ B -> -. B e. A )
2		nntri3or 6581	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 982	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	3	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 731	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 726	. . . 4 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4661	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> Ord B )
9		ordelss 4427	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3247	. . . . 5 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 719	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	syld 45	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> A C_ B ) )
17	1, 16	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   \/ w3o 980   = wceq 1373   e. wcel 2176   C_ wss 3166   Ord word 4410   omcom 4639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-tr 4144  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640

This theorem is referenced by:  nnsseleq  6589  nnmword  6606  nnawordex  6617  nndomo  6963  nnnninfeq  7232  ennnfonelemex  12818  pwle2  15972