Theorem nntri1 6642

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri1	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem nntri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnel 4661	. 2 |- ( A C_ B -> -. B e. A )
2		nntri3or 6639	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 1003	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	3	biimpi 120	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 734	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 729	. . . 4 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4704	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> Ord B )
9		ordelss 4470	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
10	8, 9	sylan 283	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 115	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	11	adantl 277	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3278	. . . . 5 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 722	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	syld 45	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> A C_ B ) )
17	1, 16	impbid2 143	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 713   \/ w3o 1001   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   Ord word 4453   omcom 4682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3889  df-int 3924  df-tr 4183  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683

This theorem is referenced by:  nnsseleq  6647  nnmword  6664  nnawordex  6675  nndomo  7025  nnnninfeq  7295  ennnfonelemex  12985  pwle2  16364