ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntri1 Unicode version

Theorem nntri1 6445
Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
nntri1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )

Proof of Theorem nntri1
StepHypRef Expression
1 ssnel 4530 . 2  |-  ( A 
C_  B  ->  -.  B  e.  A )
2 nntri3or 6442 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A
) )
3 df-3or 964 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  <->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B
)  \/  B  e.  A ) )
43biimpi 119 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  \/  B  e.  A ) )
54orcomd 719 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( B  e.  A  \/  ( A  e.  B  \/  A  =  B
) ) )
65ord 714 . . . 4  |-  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B  \/  B  e.  A )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
72, 6syl 14 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  ( A  e.  B  \/  A  =  B ) ) )
8 nnord 4573 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  om  ->  Ord  B )
9 ordelss 4341 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
108, 9sylan 281 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  om  /\  A  e.  B )  ->  A  C_  B )
1110ex 114 . . . . 5  |-  ( B  e.  om  ->  ( A  e.  B  ->  A 
C_  B ) )
1211adantl 275 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  e.  B  ->  A  C_  B )
)
13 eqimss 3182 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  A  C_  B )
1413a1i 9 . . . 4  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  =  B  ->  A  C_  B
) )
1512, 14jaod 707 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  ->  A  C_  B ) )
167, 15syld 45 . 2  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( -.  B  e.  A  ->  A  C_  B
) )
171, 16impbid2 142 1  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  -.  B  e.  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 698    \/ w3o 962    = wceq 1335    e. wcel 2128    C_ wss 3102   Ord word 4324   omcom 4551
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-nul 4092  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-iinf 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-uni 3775  df-int 3810  df-tr 4065  df-iord 4328  df-on 4330  df-suc 4333  df-iom 4552
This theorem is referenced by:  nnsseleq  6450  nnmword  6467  nnawordex  6477  nndomo  6811  nnnninfeq  7073  ennnfonelemex  12213  pwle2  13641
  Copyright terms: Public domain W3C validator