Theorem nntri1 6475

Description: A trichotomy law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 28-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nntri1	|- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Proof of Theorem nntri1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssnel 4553	. 2 |- ( A C_ B -> -. B e. A )
2		nntri3or 6472	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) )
3		df-3or 974	. . . . . . 7 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) <-> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
4	3	biimpi 119	. . . . . 6 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) \/ B e. A ) )
5	4	orcomd 724	. . . . 5 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( B e. A \/ ( A e. B \/ A = B ) ) )
6	5	ord 719	. . . 4 |- ( ( A e. B \/ A = B \/ B e. A ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
7	2, 6	syl 14	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> ( A e. B \/ A = B ) ) )
8		nnord 4596	. . . . . . 7 |- ( B e. om -> Ord B )
9		ordelss 4364	. . . . . . 7 |- ( ( Ord B /\ A e. B ) -> A C_ B )
10	8, 9	sylan 281	. . . . . 6 |- ( ( B e. om /\ A e. B ) -> A C_ B )
11	10	ex 114	. . . . 5 |- ( B e. om -> ( A e. B -> A C_ B ) )
12	11	adantl 275	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A e. B -> A C_ B ) )
13		eqimss 3201	. . . . 5 |- ( A = B -> A C_ B )
14	13	a1i 9	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A = B -> A C_ B ) )
15	12, 14	jaod 712	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( ( A e. B \/ A = B ) -> A C_ B ) )
16	7, 15	syld 45	. 2 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( -. B e. A -> A C_ B ) )
17	1, 16	impbid2 142	1 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> -. B e. A ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   \/ wo 703   \/ w3o 972   = wceq 1348   e. wcel 2141   C_ wss 3121   Ord word 4347   omcom 4574

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-uni 3797  df-int 3832  df-tr 4088  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575

This theorem is referenced by:  nnsseleq  6480  nnmword  6497  nnawordex  6508  nndomo  6842  nnnninfeq  7104  ennnfonelemex  12369  pwle2  14031