Theorem frec2uzled 10233

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10203) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uzled.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzled.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzled.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uzled.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzled.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzled.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10208	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6	1, 2	frec2uzf1od 10210	. . . . . 6 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		f1of1 5374	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
9		f1fveq 5681	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
11	10	bicomd 140	. . 3 |- ( ph -> ( A = B <-> ( G ` A ) = ( G ` B ) ) )
12	5, 11	orbi12d 783	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
13		nnsseleq 6405	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10204	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10204	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
17		zleloe 9125	. . 3 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` B ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 409	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
19	12, 14, 18	3bitr4d 219	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 104   \/ wo 698   = wceq 1332   e. wcel 1481   C_ wss 3076   class class class wbr 3937   |-> cmpt 3997   omcom 4512   -1-1->wf1 5128   -1-1-onto->wf1o 5130   ` cfv 5131  (class class class)co 5782  freccfrec 6295   1c1 7645   + caddc 7647   < clt 7824   <_ cle 7825   ZZcz 9078   ZZ>=cuz 9350

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510  ax-cnex 7735  ax-resscn 7736  ax-1cn 7737  ax-1re 7738  ax-icn 7739  ax-addcl 7740  ax-addrcl 7741  ax-mulcl 7742  ax-addcom 7744  ax-addass 7746  ax-distr 7748  ax-i2m1 7749  ax-0lt1 7750  ax-0id 7752  ax-rnegex 7753  ax-cnre 7755  ax-pre-ltirr 7756  ax-pre-ltwlin 7757  ax-pre-lttrn 7758  ax-pre-ltadd 7760

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-ilim 4299  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-riota 5738  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-recs 6210  df-frec 6296  df-pnf 7826  df-mnf 7827  df-xr 7828  df-ltxr 7829  df-le 7830  df-sub 7959  df-neg 7960  df-inn 8745  df-n0 9002  df-z 9079  df-uz 9351

This theorem is referenced by:  fihashdom  10581  ennnfonelemkh  11961  ctinfomlemom  11976