ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  frec2uzled Unicode version

Theorem frec2uzled 10170
Description: The mapping  G (see frec2uz0d 10140) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
frec2uzled.1  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
frec2uzled.2  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
frec2uzled.a  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
frec2uzled.b  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
Assertion
Ref Expression
frec2uzled  |-  ( ph  ->  ( A  C_  B  <->  ( G `  A )  <_  ( G `  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, C    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    G( x)

Proof of Theorem frec2uzled
StepHypRef Expression
1 frec2uzled.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2 frec2uzled.2 . . . 4  |-  G  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  C )
3 frec2uzled.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  om )
4 frec2uzled.b . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  om )
51, 2, 3, 4frec2uzlt2d 10145 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  B  <->  ( G `  A )  <  ( G `  B ) ) )
61, 2frec2uzf1od 10147 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )
)
7 f1of1 5334 . . . . . 6  |-  ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= `  C )  ->  G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C ) )
86, 7syl 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C ) )
9 f1fveq 5641 . . . . 5  |-  ( ( G : om -1-1-> (
ZZ>= `  C )  /\  ( A  e.  om  /\  B  e.  om )
)  ->  ( ( G `  A )  =  ( G `  B )  <->  A  =  B ) )
108, 3, 4, 9syl12anc 1199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  =  ( G `  B )  <-> 
A  =  B ) )
1110bicomd 140 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  <-> 
( G `  A
)  =  ( G `
 B ) ) )
125, 11orbi12d 767 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  e.  B  \/  A  =  B )  <->  ( ( G `  A )  <  ( G `  B
)  \/  ( G `
 A )  =  ( G `  B
) ) ) )
13 nnsseleq 6365 . . 3  |-  ( ( A  e.  om  /\  B  e.  om )  ->  ( A  C_  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B )
) )
143, 4, 13syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  C_  B  <->  ( A  e.  B  \/  A  =  B )
) )
151, 2, 3frec2uzzd 10141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  A
)  e.  ZZ )
161, 2, 4frec2uzzd 10141 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  B
)  e.  ZZ )
17 zleloe 9069 . . 3  |-  ( ( ( G `  A
)  e.  ZZ  /\  ( G `  B )  e.  ZZ )  -> 
( ( G `  A )  <_  ( G `  B )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  B )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  B ) ) ) )
1815, 16, 17syl2anc 408 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( G `  A )  <_  ( G `  B )  <->  ( ( G `  A
)  <  ( G `  B )  \/  ( G `  A )  =  ( G `  B ) ) ) )
1912, 14, 183bitr4d 219 1  |-  ( ph  ->  ( A  C_  B  <->  ( G `  A )  <_  ( G `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 104    \/ wo 682    = wceq 1316    e. wcel 1465    C_ wss 3041   class class class wbr 3899    |-> cmpt 3959   omcom 4474   -1-1->wf1 5090   -1-1-onto->wf1o 5092   ` cfv 5093  (class class class)co 5742  freccfrec 6255   1c1 7589    + caddc 7591    < clt 7768    <_ cle 7769   ZZcz 9022   ZZ>=cuz 9294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 588  ax-in2 589  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-13 1476  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-coll 4013  ax-sep 4016  ax-nul 4024  ax-pow 4068  ax-pr 4101  ax-un 4325  ax-setind 4422  ax-iinf 4472  ax-cnex 7679  ax-resscn 7680  ax-1cn 7681  ax-1re 7682  ax-icn 7683  ax-addcl 7684  ax-addrcl 7685  ax-mulcl 7686  ax-addcom 7688  ax-addass 7690  ax-distr 7692  ax-i2m1 7693  ax-0lt1 7694  ax-0id 7696  ax-rnegex 7697  ax-cnre 7699  ax-pre-ltirr 7700  ax-pre-ltwlin 7701  ax-pre-lttrn 7702  ax-pre-ltadd 7704
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 948  df-3an 949  df-tru 1319  df-fal 1322  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ne 2286  df-nel 2381  df-ral 2398  df-rex 2399  df-reu 2400  df-rab 2402  df-v 2662  df-sbc 2883  df-csb 2976  df-dif 3043  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-nul 3334  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-uni 3707  df-int 3742  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-mpt 3961  df-tr 3997  df-id 4185  df-iord 4258  df-on 4260  df-ilim 4261  df-suc 4263  df-iom 4475  df-xp 4515  df-rel 4516  df-cnv 4517  df-co 4518  df-dm 4519  df-rn 4520  df-res 4521  df-ima 4522  df-iota 5058  df-fun 5095  df-fn 5096  df-f 5097  df-f1 5098  df-fo 5099  df-f1o 5100  df-fv 5101  df-riota 5698  df-ov 5745  df-oprab 5746  df-mpo 5747  df-recs 6170  df-frec 6256  df-pnf 7770  df-mnf 7771  df-xr 7772  df-ltxr 7773  df-le 7774  df-sub 7903  df-neg 7904  df-inn 8689  df-n0 8946  df-z 9023  df-uz 9295
This theorem is referenced by:  fihashdom  10517  ennnfonelemkh  11852  ctinfomlemom  11867
  Copyright terms: Public domain W3C validator