Theorem frec2uzled 10694

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10664) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uzled.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzled.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzled.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uzled.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzled.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzled.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10669	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6	1, 2	frec2uzf1od 10671	. . . . . 6 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		f1of1 5582	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
9		f1fveq 5915	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1271	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
11	10	bicomd 141	. . 3 |- ( ph -> ( A = B <-> ( G ` A ) = ( G ` B ) ) )
12	5, 11	orbi12d 800	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
13		nnsseleq 6671	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10665	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10665	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
17		zleloe 9528	. . 3 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` B ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 715   = wceq 1397   e. wcel 2201   C_ wss 3199   class class class wbr 4087   |-> cmpt 4149   omcom 4687   -1-1->wf1 5322   -1-1-onto->wf1o 5324   ` cfv 5325  (class class class)co 6020  freccfrec 6558   1c1 8035   + caddc 8037   < clt 8216   <_ cle 8217   ZZcz 9481   ZZ>=cuz 9757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-recs 6473  df-frec 6559  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758

This theorem is referenced by:  fihashdom  11069  ennnfonelemkh  13053  ctinfomlemom  13068