Theorem frec2uzled 10431

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10401) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uzled.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzled.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzled.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uzled.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzled.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzled.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10406	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6	1, 2	frec2uzf1od 10408	. . . . . 6 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		f1of1 5462	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
9		f1fveq 5775	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1236	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
11	10	bicomd 141	. . 3 |- ( ph -> ( A = B <-> ( G ` A ) = ( G ` B ) ) )
12	5, 11	orbi12d 793	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
13		nnsseleq 6504	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10402	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10402	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
17		zleloe 9302	. . 3 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` B ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 708   = wceq 1353   e. wcel 2148   C_ wss 3131   class class class wbr 4005   |-> cmpt 4066   omcom 4591   -1-1->wf1 5215   -1-1-onto->wf1o 5217   ` cfv 5218  (class class class)co 5877  freccfrec 6393   1c1 7814   + caddc 7816   < clt 7994   <_ cle 7995   ZZcz 9255   ZZ>=cuz 9530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531

This theorem is referenced by:  fihashdom  10785  ennnfonelemkh  12415  ctinfomlemom  12430