Theorem frec2uzled 10795

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10765) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uzled.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzled.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzled.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uzled.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzled.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzled.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10770	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6	1, 2	frec2uzf1od 10772	. . . . . 6 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		f1of1 5615	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
9		f1fveq 5947	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1272	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
11	10	bicomd 141	. . 3 |- ( ph -> ( A = B <-> ( G ` A ) = ( G ` B ) ) )
12	5, 11	orbi12d 801	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
13		nnsseleq 6736	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10766	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10766	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
17		zleloe 9626	. . 3 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` B ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 716   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3213   class class class wbr 4111   |-> cmpt 4173   omcom 4714   -1-1->wf1 5351   -1-1-onto->wf1o 5353   ` cfv 5354  (class class class)co 6052  freccfrec 6623   1c1 8130   + caddc 8132   < clt 8310   <_ cle 8311   ZZcz 9579   ZZ>=cuz 9856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-1re 8223  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0lt1 8235  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240  ax-pre-ltirr 8241  ax-pre-ltwlin 8242  ax-pre-lttrn 8243  ax-pre-ltadd 8245

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-recs 6538  df-frec 6624  df-pnf 8312  df-mnf 8313  df-xr 8314  df-ltxr 8315  df-le 8316  df-sub 8448  df-neg 8449  df-inn 9240  df-n0 9499  df-z 9580  df-uz 9857

This theorem is referenced by:  fihashdom  11171  ennnfonelemkh  13180  ctinfomlemom  13195