Theorem frec2uzled 10651

Description: The mapping G (see frec2uz0d 10621) preserves order. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Feb-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
frec2uzled.1	|- ( ph -> C e. ZZ )
frec2uzled.2	|- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
frec2uzled.a	|- ( ph -> A e. om )
frec2uzled.b	|- ( ph -> B e. om )

Assertion

Ref	Expression
frec2uzled	|- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Distinct variable groups:   x, C   ph, x

Allowed substitution hints:   A( x)   B( x)   G( x)

Proof of Theorem frec2uzled

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frec2uzled.1	. . . 4 |- ( ph -> C e. ZZ )
2		frec2uzled.2	. . . 4 |- G = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , C )
3		frec2uzled.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. om )
4		frec2uzled.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. om )
5	1, 2, 3, 4	frec2uzlt2d 10626	. . 3 |- ( ph -> ( A e. B <-> ( G ` A ) < ( G ` B ) ) )
6	1, 2	frec2uzf1od 10628	. . . . . 6 |- ( ph -> G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) )
7		f1of1 5571	. . . . . 6 |- ( G : om -1-1-onto-> ( ZZ>= ` C ) -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
8	6, 7	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) )
9		f1fveq 5896	. . . . 5 |- ( ( G : om -1-1-> ( ZZ>= ` C ) /\ ( A e. om /\ B e. om ) ) -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
10	8, 3, 4, 9	syl12anc 1269	. . . 4 |- ( ph -> ( ( G ` A ) = ( G ` B ) <-> A = B ) )
11	10	bicomd 141	. . 3 |- ( ph -> ( A = B <-> ( G ` A ) = ( G ` B ) ) )
12	5, 11	orbi12d 798	. 2 |- ( ph -> ( ( A e. B \/ A = B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
13		nnsseleq 6647	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. om ) -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( A e. B \/ A = B ) ) )
15	1, 2, 3	frec2uzzd 10622	. . 3 |- ( ph -> ( G ` A ) e. ZZ )
16	1, 2, 4	frec2uzzd 10622	. . 3 |- ( ph -> ( G ` B ) e. ZZ )
17		zleloe 9493	. . 3 |- ( ( ( G ` A ) e. ZZ /\ ( G ` B ) e. ZZ ) -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
18	15, 16, 17	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( G ` A ) <_ ( G ` B ) <-> ( ( G ` A ) < ( G ` B ) \/ ( G ` A ) = ( G ` B ) ) ) )
19	12, 14, 18	3bitr4d 220	1 |- ( ph -> ( A C_ B <-> ( G ` A ) <_ ( G ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   \/ wo 713   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   |-> cmpt 4145   omcom 4682   -1-1->wf1 5315   -1-1-onto->wf1o 5317   ` cfv 5318  (class class class)co 6001  freccfrec 6536   1c1 8000   + caddc 8002   < clt 8181   <_ cle 8182   ZZcz 9446   ZZ>=cuz 9722

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-recs 6451  df-frec 6537  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447  df-uz 9723

This theorem is referenced by:  fihashdom  11025  ennnfonelemkh  12983  ctinfomlemom  12998