ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsseleq GIF version

Theorem nnsseleq 6495
Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsseleq ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem nnsseleq
StepHypRef Expression
1 nntri1 6490 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2 nntri3or 6487 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
3 df-3or 979 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
42, 3sylib 122 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
54orcomd 729 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
65ord 724 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
71, 6sylbid 150 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
8 nnord 4607 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
98adantl 277 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord 𝐵)
10 ordelss 4375 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ex 115 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
129, 11syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
13 eqimss 3209 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1512, 14jaod 717 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
167, 15impbid 129 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  Ord word 4358  ωcom 4585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-uni 3808  df-int 3843  df-tr 4099  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586
This theorem is referenced by:  nnsssuc  6496  frec2uzled  10402
  Copyright terms: Public domain W3C validator