Theorem nnsseleq 6668

Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
nnsseleq	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem nnsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nntri1 6663	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 ∈ 𝐴))
2		nntri3or 6660	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
3		df-3or 1005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴) ↔ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
4	2, 3	sylib 122	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
5	4	orcomd 736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵 ∈ 𝐴 ∨ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
6	5	ord 731	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
7	1, 6	sylbid 150	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
8		nnord 4710	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
9	8	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord 𝐵)
10		ordelss 4476	. . . . 5 ⊢ ((Ord 𝐵 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
11	10	ex 115	. . . 4 ⊢ (Ord 𝐵 → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
12	9, 11	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
13		eqimss 3281	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
14	13	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
15	12, 14	jaod 724	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
16	7, 15	impbid 129	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 715   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   ⊆ wss 3200  Ord word 4459  ωcom 4688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-v 2804  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-uni 3894  df-int 3929  df-tr 4188  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689

This theorem is referenced by:  nnsssuc  6669  frec2uzled  10690