ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsseleq GIF version

Theorem nnsseleq 6397
Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsseleq ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem nnsseleq
StepHypRef Expression
1 nntri1 6392 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2 nntri3or 6389 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
3 df-3or 963 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
42, 3sylib 121 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
54orcomd 718 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
65ord 713 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
71, 6sylbid 149 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
8 nnord 4525 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
98adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord 𝐵)
10 ordelss 4301 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ex 114 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
129, 11syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
13 eqimss 3151 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1512, 14jaod 706 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
167, 15impbid 128 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  wss 3071  Ord word 4284  ωcom 4504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-uni 3737  df-int 3772  df-tr 4027  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505
This theorem is referenced by:  nnsssuc  6398  frec2uzled  10214
  Copyright terms: Public domain W3C validator