ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnsseleq GIF version

Theorem nnsseleq 6197
Description: For natural numbers, inclusion is equivalent to membership or equality. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
nnsseleq ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))

Proof of Theorem nnsseleq
StepHypRef Expression
1 nntri1 6192 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵𝐴))
2 nntri3or 6189 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
3 df-3or 923 . . . . . 6 ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴) ↔ ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
42, 3sylib 120 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) ∨ 𝐵𝐴))
54orcomd 681 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐵𝐴 ∨ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
65ord 676 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
71, 6sylbid 148 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
8 nnord 4392 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
98adantl 271 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → Ord 𝐵)
10 ordelss 4173 . . . . 5 ((Ord 𝐵𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
1110ex 113 . . . 4 (Ord 𝐵 → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
129, 11syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴𝐵))
13 eqimss 3064 . . . 4 (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵)
1413a1i 9 . . 3 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 = 𝐵𝐴𝐵))
1512, 14jaod 670 . 2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐵))
167, 15impbid 127 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 102  wb 103  wo 662  w3o 921   = wceq 1287  wcel 1436  wss 2986  Ord word 4156  ωcom 4371
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-nul 3933  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-iinf 4369
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-ral 2360  df-rex 2361  df-v 2616  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-nul 3273  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-uni 3631  df-int 3666  df-tr 3905  df-iord 4160  df-on 4162  df-suc 4165  df-iom 4372
This theorem is referenced by:  frec2uzled  9739
  Copyright terms: Public domain W3C validator