Theorem elnn 4642

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4641	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3178	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 286	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2167   C_ wss 3157   omcom 4626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-uni 3840  df-int 3875  df-suc 4406  df-iom 4627

This theorem is referenced by:  ordom  4643  peano2b  4651  nntr2  6561  nndifsnid  6565  nnaordi  6566  nnmordi  6574  fidceq  6930  nnwetri  6977  enumctlemm  7180  nninfwlpoimlemg  7241  nninfwlpoimlemginf  7242  2onetap  7322  2omotaplemap  7324  nninfinf  10535  ennnfonelemdm  12637  ennnfonelemnn0  12639  xpscf  12990  nnti  15639  nninfsellemdc  15654  nninfsellemeq  15658  nninfsellemeqinf  15660