Theorem elnn 4730

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4729	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3235	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 286	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2205   C_ wss 3213   omcom 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-uni 3917  df-int 3952  df-suc 4494  df-iom 4715

This theorem is referenced by:  ordom  4731  peano2b  4739  nntr2  6738  nndifsnid  6742  nnaordi  6743  nnmordi  6751  fidceq  7126  nnwetri  7178  enumctlemm  7407  nninfwlpoimlemg  7468  nninfwlpoimlemginf  7469  2onetap  7571  2omotaplemap  7573  nninfinf  10809  ennnfonelemdm  13188  ennnfonelemnn0  13190  xpscf  13577  nnti  16783  nninfsellemdc  16805  nninfsellemeq  16809  nninfsellemeqinf  16811