Theorem elnn 4564

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4563	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3123	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 284	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 2128   C_ wss 3102   omcom 4548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-iinf 4546

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-uni 3773  df-int 3808  df-suc 4331  df-iom 4549

This theorem is referenced by:  ordom  4565  peano2b  4573  nntr2  6447  nndifsnid  6451  nnaordi  6452  nnmordi  6460  fidceq  6811  nnwetri  6857  enumctlemm  7052  ennnfonelemdm  12132  ennnfonelemnn0  12134  nnti  13537  nninfsellemdc  13553  nninfsellemeq  13557  nninfsellemeqinf  13559