Theorem elnn 4654

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4653	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3188	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 286	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2176   C_ wss 3166   omcom 4638

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-nul 4170  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-iinf 4636

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-uni 3851  df-int 3886  df-suc 4418  df-iom 4639

This theorem is referenced by:  ordom  4655  peano2b  4663  nntr2  6589  nndifsnid  6593  nnaordi  6594  nnmordi  6602  fidceq  6966  nnwetri  7013  enumctlemm  7216  nninfwlpoimlemg  7277  nninfwlpoimlemginf  7278  2onetap  7367  2omotaplemap  7369  nninfinf  10588  ennnfonelemdm  12791  ennnfonelemnn0  12793  xpscf  13179  nnti  15929  nninfsellemdc  15947  nninfsellemeq  15951  nninfsellemeqinf  15953