ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn Unicode version

Theorem elnn 4479
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3086 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  om  <->  (/)  C_  om )
)
2 sseq1 3086 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
y  C_  om  <->  x  C_  om )
)
3 sseq1 3086 . . 3  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  C_  om  <->  suc  x  C_  om ) )
4 sseq1 3086 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  om  <->  B  C_  om )
)
5 0ss 3367 . . 3  |-  (/)  C_  om
6 unss 3216 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  {
x }  C_  om )  <->  ( x  u.  { x } )  C_  om )
7 vex 2660 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
87snss 3615 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  <->  { x }  C_  om )
98anbi2i 450 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  ( x  C_ 
om  /\  { x }  C_  om ) )
10 df-suc 4253 . . . . . . 7  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
1110sseq1i 3089 . . . . . 6  |-  ( suc  x  C_  om  <->  ( x  u.  { x } ) 
C_  om )
126, 9, 113bitr4i 211 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  suc  x  C_  om )
1312biimpi 119 . . . 4  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  ->  suc  x  C_  om )
1413expcom 115 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  ->  suc  x  C_  om )
)
151, 2, 3, 4, 5, 14finds 4474 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  B  C_ 
om )
16 ssel2 3058 . . 3  |-  ( ( B  C_  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
1716ancoms 266 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  C_  om )  ->  A  e.  om )
1815, 17sylan2 282 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    e. wcel 1463    u. cun 3035    C_ wss 3037   (/)c0 3329   {csn 3493   suc csuc 4247   omcom 4464
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-suc 4253  df-iom 4465
This theorem is referenced by:  ordom  4480  peano2b  4488  nntr2  6353  nndifsnid  6357  nnaordi  6358  nnmordi  6366  fidceq  6716  nnwetri  6757  enumctlemm  6951  ennnfonelemdm  11778  ennnfonelemnn0  11780  nnti  12883  nninfsellemdc  12898  nninfsellemeq  12902  nninfsellemeqinf  12904
  Copyright terms: Public domain W3C validator