Theorem elnn 4479

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3086	. . 3 |- ( y = (/) -> ( y C_ om <-> (/) C_ om ) )
2		sseq1 3086	. . 3 |- ( y = x -> ( y C_ om <-> x C_ om ) )
3		sseq1 3086	. . 3 |- ( y = suc x -> ( y C_ om <-> suc x C_ om ) )
4		sseq1 3086	. . 3 |- ( y = B -> ( y C_ om <-> B C_ om ) )
5		0ss 3367	. . 3 |- (/) C_ om
6		unss 3216	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ { x } C_ om ) <-> ( x u. { x } ) C_ om )
7		vex 2660	. . . . . . . 8 |- x e. _V
8	7	snss 3615	. . . . . . 7 |- ( x e. om <-> { x } C_ om )
9	8	anbi2i 450	. . . . . 6 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> ( x C_ om /\ { x } C_ om ) )
10		df-suc 4253	. . . . . . 7 |- suc x = ( x u. { x } )
11	10	sseq1i 3089	. . . . . 6 |- ( suc x C_ om <-> ( x u. { x } ) C_ om )
12	6, 9, 11	3bitr4i 211	. . . . 5 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) <-> suc x C_ om )
13	12	biimpi 119	. . . 4 |- ( ( x C_ om /\ x e. om ) -> suc x C_ om )
14	13	expcom 115	. . 3 |- ( x e. om -> ( x C_ om -> suc x C_ om ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 14	finds 4474	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
16		ssel2 3058	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
17	16	ancoms 266	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
18	15, 17	sylan2 282	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   e. wcel 1463   u. cun 3035   C_ wss 3037   (/)c0 3329   {csn 3493   suc csuc 4247   omcom 4464

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-iinf 4462

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ral 2395  df-rex 2396  df-v 2659  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-uni 3703  df-int 3738  df-suc 4253  df-iom 4465

This theorem is referenced by:  ordom  4480  peano2b  4488  nntr2  6353  nndifsnid  6357  nnaordi  6358  nnmordi  6366  fidceq  6716  nnwetri  6757  enumctlemm  6951  ennnfonelemdm  11778  ennnfonelemnn0  11780  nnti  12883  nninfsellemdc  12898  nninfsellemeq  12902  nninfsellemeqinf  12904