ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  elnn Unicode version

Theorem elnn 4410
Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)
Assertion
Ref Expression
elnn  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )

Proof of Theorem elnn
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3045 . . 3  |-  ( y  =  (/)  ->  ( y 
C_  om  <->  (/)  C_  om )
)
2 sseq1 3045 . . 3  |-  ( y  =  x  ->  (
y  C_  om  <->  x  C_  om )
)
3 sseq1 3045 . . 3  |-  ( y  =  suc  x  -> 
( y  C_  om  <->  suc  x  C_  om ) )
4 sseq1 3045 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  C_  om  <->  B  C_  om )
)
5 0ss 3318 . . 3  |-  (/)  C_  om
6 unss 3172 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  {
x }  C_  om )  <->  ( x  u.  { x } )  C_  om )
7 vex 2622 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
87snss 3561 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  om  <->  { x }  C_  om )
98anbi2i 445 . . . . . 6  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  ( x  C_ 
om  /\  { x }  C_  om ) )
10 df-suc 4189 . . . . . . 7  |-  suc  x  =  ( x  u. 
{ x } )
1110sseq1i 3048 . . . . . 6  |-  ( suc  x  C_  om  <->  ( x  u.  { x } ) 
C_  om )
126, 9, 113bitr4i 210 . . . . 5  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  <->  suc  x  C_  om )
1312biimpi 118 . . . 4  |-  ( ( x  C_  om  /\  x  e.  om )  ->  suc  x  C_  om )
1413expcom 114 . . 3  |-  ( x  e.  om  ->  (
x  C_  om  ->  suc  x  C_  om )
)
151, 2, 3, 4, 5, 14finds 4405 . 2  |-  ( B  e.  om  ->  B  C_ 
om )
16 ssel2 3018 . . 3  |-  ( ( B  C_  om  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  om )
1716ancoms 264 . 2  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  C_  om )  ->  A  e.  om )
1815, 17sylan2 280 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  B  e.  om )  ->  A  e.  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    e. wcel 1438    u. cun 2995    C_ wss 2997   (/)c0 3284   {csn 3441   suc csuc 4183   omcom 4395
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-nf 1395  df-sb 1693  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ral 2364  df-rex 2365  df-v 2621  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-uni 3649  df-int 3684  df-suc 4189  df-iom 4396
This theorem is referenced by:  ordom  4411  peano2b  4419  nndifsnid  6246  nnaordi  6247  nnmordi  6255  fidceq  6565  nnwetri  6606  nnti  11549  nninfsellemdc  11559  nninfsellemeq  11563  nninfsellemeqinf  11565
  Copyright terms: Public domain W3C validator