Theorem elnn 4617

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4616	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3162	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 286	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2158   C_ wss 3141   omcom 4601

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-iinf 4599

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-uni 3822  df-int 3857  df-suc 4383  df-iom 4602

This theorem is referenced by:  ordom  4618  peano2b  4626  nntr2  6517  nndifsnid  6521  nnaordi  6522  nnmordi  6530  fidceq  6882  nnwetri  6928  enumctlemm  7126  nninfwlpoimlemg  7186  nninfwlpoimlemginf  7187  2onetap  7267  2omotaplemap  7269  ennnfonelemdm  12434  ennnfonelemnn0  12436  xpscf  12784  nnti  15016  nninfsellemdc  15031  nninfsellemeq  15035  nninfsellemeqinf  15037