Theorem elnn 4672

Description: A member of a natural number is a natural number. (Contributed by NM, 21-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
elnn	|- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Proof of Theorem elnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elomssom 4671	. 2 |- ( B e. om -> B C_ om )
2		ssel2 3196	. . 3 |- ( ( B C_ om /\ A e. B ) -> A e. om )
3	2	ancoms 268	. 2 |- ( ( A e. B /\ B C_ om ) -> A e. om )
4	1, 3	sylan2 286	1 |- ( ( A e. B /\ B e. om ) -> A e. om )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   e. wcel 2178   C_ wss 3174   omcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-suc 4436  df-iom 4657

This theorem is referenced by:  ordom  4673  peano2b  4681  nntr2  6612  nndifsnid  6616  nnaordi  6617  nnmordi  6625  fidceq  6992  nnwetri  7039  enumctlemm  7242  nninfwlpoimlemg  7303  nninfwlpoimlemginf  7304  2onetap  7402  2omotaplemap  7404  nninfinf  10625  ennnfonelemdm  12906  ennnfonelemnn0  12908  xpscf  13294  nnti  16129  nninfsellemdc  16149  nninfsellemeq  16153  nninfsellemeqinf  16155