ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nntr2 GIF version

Theorem nntr2 6497
Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)
Assertion
Ref Expression
nntr2 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem nntr2
StepHypRef Expression
1 nnon 4605 . . . . 5 (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ On)
21ad3antlr 493 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ On)
3 simpr 110 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 simprr 531 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵𝐶)
54adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐵𝐶)
63, 5jca 306 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
7 ontr1 4385 . . . 4 (𝐶 ∈ On → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
82, 6, 7sylc 62 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐶)
9 simpr 110 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
104adantr 276 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵𝐶)
119, 10eqeltrd 2254 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴𝐶)
12 simplrl 535 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐵)
13 simpr 110 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐴)
1412, 13sseldd 3156 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵𝐵)
15 simplr 528 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → 𝐶 ∈ ω)
16 elnn 4601 . . . . . . 7 ((𝐵𝐶𝐶 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
174, 15, 16syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → 𝐵 ∈ ω)
1817adantr 276 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
19 nnord 4607 . . . . 5 (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
20 ordirr 4537 . . . . 5 (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵𝐵)
2118, 19, 203syl 17 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → ¬ 𝐵𝐵)
2214, 21pm2.21dd 620 . . 3 ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) ∧ 𝐵𝐴) → 𝐴𝐶)
23 simpll 527 . . . 4 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴 ∈ ω)
24 nntri3or 6487 . . . 4 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
2523, 17, 24syl2anc 411 . . 3 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → (𝐴𝐵𝐴 = 𝐵𝐵𝐴))
268, 11, 22, 25mpjao3dan 1307 . 2 (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐶)) → 𝐴𝐶)
2726ex 115 1 ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  w3o 977   = wceq 1353  wcel 2148  wss 3129  Ord word 4358  Oncon0 4359  ωcom 4585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-uni 3808  df-int 3843  df-tr 4099  df-iord 4362  df-on 4364  df-suc 4367  df-iom 4586
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator