Theorem nntr2 6407

Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nntr2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem nntr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4531	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ On)
2	1	ad3antlr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
6	3, 5	jca 304	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶))
7		ontr1 4319	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
8	2, 6, 7	sylc 62	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	4	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	9, 10	eqeltrd 2217	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
12		simplrl 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3103	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐵)
15		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ω)
16		elnn 4527	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
17	4, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ω)
18	17	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
19		nnord 4533	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
20		ordirr 4465	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
22	14, 21	pm2.21dd 610	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
23		simpll 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ω)
24		nntri3or 6397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
25	23, 17, 24	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	8, 11, 22, 25	mpjao3dan 1286	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27	26	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 962   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   ⊆ wss 3076  Ord word 4292  Oncon0 4293  ωcom 4512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-v 2691  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-uni 3745  df-int 3780  df-tr 4035  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513

This theorem is referenced by: (None)