Theorem nntr2 6612

Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nntr2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem nntr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4676	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ On)
2	1	ad3antlr 493	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
6	3, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶))
7		ontr1 4454	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
8	2, 6, 7	sylc 62	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	9, 10	eqeltrd 2284	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
12		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3202	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐵)
15		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ω)
16		elnn 4672	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
17	4, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ω)
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
19		nnord 4678	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
20		ordirr 4608	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
22	14, 21	pm2.21dd 621	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
23		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ω)
24		nntri3or 6602	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
25	23, 17, 24	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	8, 11, 22, 25	mpjao3dan 1320	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27	26	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 980   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ⊆ wss 3174  Ord word 4427  Oncon0 4428  ωcom 4656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-uni 3865  df-int 3900  df-tr 4159  df-iord 4431  df-on 4433  df-suc 4436  df-iom 4657

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