Theorem nntr2 6471

Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nntr2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem nntr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4587	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ On)
2	1	ad3antlr 485	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
3		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simprr 522	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
6	3, 5	jca 304	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶))
7		ontr1 4367	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
8	2, 6, 7	sylc 62	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
9		simpr 109	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	4	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	9, 10	eqeltrd 2243	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
12		simplrl 525	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		simpr 109	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3143	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐵)
15		simplr 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ω)
16		elnn 4583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
17	4, 15, 16	syl2anc 409	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ω)
18	17	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
19		nnord 4589	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
20		ordirr 4519	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
22	14, 21	pm2.21dd 610	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
23		simpll 519	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ω)
24		nntri3or 6461	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
25	23, 17, 24	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	8, 11, 22, 25	mpjao3dan 1297	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27	26	ex 114	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ∨ w3o 967   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3116  Ord word 4340  Oncon0 4341  ωcom 4567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-uni 3790  df-int 3825  df-tr 4081  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568

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