Theorem nntr2 6647

Description: Transitive law for natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 22-Jul-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nntr2	⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Proof of Theorem nntr2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnon 4701	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ω → 𝐶 ∈ On)
2	1	ad3antlr 493	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ On)
3		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐵)
4		simprr 531	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ 𝐶)
5	4	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
6	3, 5	jca 306	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶))
7		ontr1 4479	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ On → ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))
8	2, 6, 7	sylc 62	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
9		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 = 𝐵)
10	4	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝐶)
11	9, 10	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐴 = 𝐵) → 𝐴 ∈ 𝐶)
12		simplrl 535	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐴)
14	12, 13	sseldd 3225	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝐵)
15		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐶 ∈ ω)
16		elnn 4697	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝐶 ∧ 𝐶 ∈ ω) → 𝐵 ∈ ω)
17	4, 15, 16	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐵 ∈ ω)
18	17	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ω)
19		nnord 4703	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ω → Ord 𝐵)
20		ordirr 4633	. . . . 5 ⊢ (Ord 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
21	18, 19, 20	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → ¬ 𝐵 ∈ 𝐵)
22	14, 21	pm2.21dd 623	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) ∧ 𝐵 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝐶)
23		simpll 527	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ ω)
24		nntri3or 6637	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐵 ∈ ω) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
25	23, 17, 24	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → (𝐴 ∈ 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 ∈ 𝐴))
26	8, 11, 22, 25	mpjao3dan 1341	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) ∧ (𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶)) → 𝐴 ∈ 𝐶)
27	26	ex 115	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ω ∧ 𝐶 ∈ ω) → ((𝐴 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐵 ∈ 𝐶) → 𝐴 ∈ 𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ w3o 1001   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  Ord word 4452  Oncon0 4453  ωcom 4681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-uni 3888  df-int 3923  df-tr 4182  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682

This theorem is referenced by: (None)