Theorem ntrss3 14670

Description: The interior of a subset of a topological space is included in the space. (Contributed by NM, 1-Oct-2007.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ntrss3	|- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ X )

Proof of Theorem ntrss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 |- X = U. J
2	1	ntropn 14664	. 2 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) e. J )
3	1	eltopss 14556	. 2 |- ( ( J e. Top /\ ( ( int ` J ) ` S ) e. J ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ X )
4	2, 3	syldan 282	1 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) C_ X )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   U.cuni 3856   ` cfv 5280   Topctop 14544   intcnt 14640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-top 14545  df-ntr 14643

This theorem is referenced by:  ntridm  14673  hmeontr  14860  reldvg  15226