Theorem ssntr 14099

Description: An open subset of a set is a subset of the set's interior. (Contributed by Jeff Hankins, 31-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	|- X = U. J

Assertion

Ref	Expression
ssntr	|- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( O e. J /\ O C_ S ) ) -> O C_ ( ( int ` J ) ` S ) )

Proof of Theorem ssntr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elin 3333	. . . . 5 |- ( O e. ( J i^i ~P S ) <-> ( O e. J /\ O e. ~P S ) )
2		elpwg 3598	. . . . . 6 |- ( O e. J -> ( O e. ~P S <-> O C_ S ) )
3	2	pm5.32i 454	. . . . 5 |- ( ( O e. J /\ O e. ~P S ) <-> ( O e. J /\ O C_ S ) )
4	1, 3	bitr2i 185	. . . 4 |- ( ( O e. J /\ O C_ S ) <-> O e. ( J i^i ~P S ) )
5		elssuni 3852	. . . 4 |- ( O e. ( J i^i ~P S ) -> O C_ U. ( J i^i ~P S ) )
6	4, 5	sylbi 121	. . 3 |- ( ( O e. J /\ O C_ S ) -> O C_ U. ( J i^i ~P S ) )
7	6	adantl 277	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( O e. J /\ O C_ S ) ) -> O C_ U. ( J i^i ~P S ) )
8		clscld.1	. . . 4 |- X = U. J
9	8	ntrval 14087	. . 3 |- ( ( J e. Top /\ S C_ X ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
10	9	adantr 276	. 2 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( O e. J /\ O C_ S ) ) -> ( ( int ` J ) ` S ) = U. ( J i^i ~P S ) )
11	7, 10	sseqtrrd 3209	1 |- ( ( ( J e. Top /\ S C_ X ) /\ ( O e. J /\ O C_ S ) ) -> O C_ ( ( int ` J ) ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2160   i^i cin 3143   C_ wss 3144   ~Pcpw 3590   U.cuni 3824   ` cfv 5235   Topctop 13974   intcnt 14070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-top 13975  df-ntr 14073

This theorem is referenced by:  ntrin  14101  neiint  14122  cnntri  14201