Theorem ofmresex 6035

Description: Existence of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresex.a	|- ( ph -> A e. V )
ofmresex.b	|- ( ph -> B e. W )

Assertion

Ref	Expression
ofmresex	|- ( ph -> ( oF R |` ( A X. B ) ) e. _V )

Proof of Theorem ofmresex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresex.a	. . 3 |- ( ph -> A e. V )
2		ofmresex.b	. . 3 |- ( ph -> B e. W )
3		xpexg 4653	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A X. B ) e. _V )
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. 2 |- ( ph -> ( A X. B ) e. _V )
5		ofexg 5986	. 2 |- ( ( A X. B ) e. _V -> ( oF R |` ( A X. B ) ) e. _V )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( ph -> ( oF R |` ( A X. B ) ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1480   _Vcvv 2686   X. cxp 4537   |` cres 4541   oFcof 5980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-of 5982

This theorem is referenced by: (None)