Theorem ofexg 6307

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	|- ( A e. V -> ( oF R |` A ) e. _V )

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 6302	. . 3 |- oF R = ( f e. _V , g e. _V |-> ( x e. ( dom f i^i dom g ) |-> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
2	1	mpofun 6190	. 2 |- Fun oF R
3		resfunexg 5936	. 2 |- ( ( Fun oF R /\ A e. V ) -> ( oF R |` A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 428	1 |- ( A e. V -> ( oF R |` A ) e. _V )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   i^i cin 3219   |-> cmpt 4192   dom cdm 4774   |` cres 4776   Fun wfun 5371   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   oFcof 6300

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-of 6302

This theorem is used by:  ofmresex  6370