Theorem ofexg 6144

Description: A function operation restricted to a set is a set. (Contributed by NM, 28-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ofexg	|- ( A e. V -> ( oF R |` A ) e. _V )

Proof of Theorem ofexg

Dummy variables f g x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-of 6139	. . 3 |- oF R = ( f e. _V , g e. _V |-> ( x e. ( dom f i^i dom g ) |-> ( ( f ` x ) R ( g ` x ) ) ) )
2	1	mpofun 6028	. 2 |- Fun oF R
3		resfunexg 5786	. 2 |- ( ( Fun oF R /\ A e. V ) -> ( oF R |` A ) e. _V )
4	2, 3	mpan 424	1 |- ( A e. V -> ( oF R |` A ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   i^i cin 3156   |-> cmpt 4095   dom cdm 4664   |` cres 4666   Fun wfun 5253   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   oFcof 6137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-of 6139

This theorem is referenced by:  ofmresex  6203