ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coiun Unicode version

Theorem coiun 5016
Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
coiun  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem coiun
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5005 . 2  |-  Rel  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )
2 reliun 4628 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  A. x  e.  C  Rel  ( A  o.  B
) )
3 relco 5005 . . . 4  |-  Rel  ( A  o.  B )
43a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  Rel  ( A  o.  B
) )
52, 4mprgbir 2465 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
6 eliun 3785 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  w >.  e. 
U_ x  e.  C  B 
<->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B )
7 df-br 3898 . . . . . . . 8  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  <. y ,  w >.  e.  U_ x  e.  C  B )
8 df-br 3898 . . . . . . . . 9  |-  ( y B w  <->  <. y ,  w >.  e.  B
)
98rexbii 2417 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  C  y B w  <->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B
)
106, 7, 93bitr4i 211 . . . . . . 7  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  E. x  e.  C  y B w )
1110anbi1i 451 . . . . . 6  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
12 r19.41v 2562 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
1311, 12bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1413exbii 1567 . . . 4  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
15 rexcom4 2681 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1614, 15bitr4i 186 . . 3  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
17 vex 2661 . . . 4  |-  y  e. 
_V
18 vex 2661 . . . 4  |-  z  e. 
_V
1917, 18opelco 4679 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  E. w ( y
U_ x  e.  C  B w  /\  w A z ) )
20 eliun 3785 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
) )
2117, 18opelco 4679 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2221rexbii 2417 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2320, 22bitri 183 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2416, 19, 233bitr4i 211 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B ) )
251, 5, 24eqrelriiv 4601 1  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1314   E.wex 1451    e. wcel 1463   E.wrex 2392   <.cop 3498   U_ciun 3781   class class class wbr 3897    o. ccom 4511   Rel wrel 4512
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-xp 4513  df-rel 4514  df-co 4516
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator