ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  coiun Unicode version

Theorem coiun 5018
Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)
Assertion
Ref Expression
coiun  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem coiun
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relco 5007 . 2  |-  Rel  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )
2 reliun 4630 . . 3  |-  ( Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  A. x  e.  C  Rel  ( A  o.  B
) )
3 relco 5007 . . . 4  |-  Rel  ( A  o.  B )
43a1i 9 . . 3  |-  ( x  e.  C  ->  Rel  ( A  o.  B
) )
52, 4mprgbir 2467 . 2  |-  Rel  U_ x  e.  C  ( A  o.  B )
6 eliun 3787 . . . . . . . 8  |-  ( <.
y ,  w >.  e. 
U_ x  e.  C  B 
<->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B )
7 df-br 3900 . . . . . . . 8  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  <. y ,  w >.  e.  U_ x  e.  C  B )
8 df-br 3900 . . . . . . . . 9  |-  ( y B w  <->  <. y ,  w >.  e.  B
)
98rexbii 2419 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  C  y B w  <->  E. x  e.  C  <. y ,  w >.  e.  B
)
106, 7, 93bitr4i 211 . . . . . . 7  |-  ( y
U_ x  e.  C  B w  <->  E. x  e.  C  y B w )
1110anbi1i 453 . . . . . 6  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
12 r19.41v 2564 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z )  <->  ( E. x  e.  C  y B w  /\  w A z ) )
1311, 12bitr4i 186 . . . . 5  |-  ( ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1413exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
15 rexcom4 2683 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z )  <->  E. w E. x  e.  C  ( y B w  /\  w A z ) )
1614, 15bitr4i 186 . . 3  |-  ( E. w ( y U_ x  e.  C  B w  /\  w A z )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
17 vex 2663 . . . 4  |-  y  e. 
_V
18 vex 2663 . . . 4  |-  z  e. 
_V
1917, 18opelco 4681 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  E. w ( y
U_ x  e.  C  B w  /\  w A z ) )
20 eliun 3787 . . . 4  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
) )
2117, 18opelco 4681 . . . . 5  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  B
)  <->  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2221rexbii 2419 . . . 4  |-  ( E. x  e.  C  <. y ,  z >.  e.  ( A  o.  B )  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2320, 22bitri 183 . . 3  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)  <->  E. x  e.  C  E. w ( y B w  /\  w A z ) )
2416, 19, 233bitr4i 211 . 2  |-  ( <.
y ,  z >.  e.  ( A  o.  U_ x  e.  C  B
)  <->  <. y ,  z
>.  e.  U_ x  e.  C  ( A  o.  B ) )
251, 5, 24eqrelriiv 4603 1  |-  ( A  o.  U_ x  e.  C  B )  = 
U_ x  e.  C  ( A  o.  B
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 103    = wceq 1316   E.wex 1453    e. wcel 1465   E.wrex 2394   <.cop 3500   U_ciun 3783   class class class wbr 3899    o. ccom 4513   Rel wrel 4514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 683  ax-5 1408  ax-7 1409  ax-gen 1410  ax-ie1 1454  ax-ie2 1455  ax-8 1467  ax-10 1468  ax-11 1469  ax-i12 1470  ax-bndl 1471  ax-4 1472  ax-14 1477  ax-17 1491  ax-i9 1495  ax-ial 1499  ax-i5r 1500  ax-ext 2099  ax-sep 4016  ax-pow 4068  ax-pr 4101
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 949  df-tru 1319  df-nf 1422  df-sb 1721  df-eu 1980  df-mo 1981  df-clab 2104  df-cleq 2110  df-clel 2113  df-nfc 2247  df-ral 2398  df-rex 2399  df-v 2662  df-un 3045  df-in 3047  df-ss 3054  df-pw 3482  df-sn 3503  df-pr 3504  df-op 3506  df-iun 3785  df-br 3900  df-opab 3960  df-xp 4515  df-rel 4516  df-co 4518
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator