Theorem coiun 5176

Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5165	. 2 |- Rel ( A o. U_ x e. C B )
2		reliun 4781	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5165	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2552	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 3917	. . . . . . . 8 |- ( <. y , w >. e. U_ x e. C B <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
7		df-br 4031	. . . . . . . 8 |- ( y U_ x e. C B w <-> <. y , w >. e. U_ x e. C B )
8		df-br 4031	. . . . . . . . 9 |- ( y B w <-> <. y , w >. e. B )
9	8	rexbii 2501	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C y B w <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
10	6, 7, 9	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y U_ x e. C B w <-> E. x e. C y B w )
11	10	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
12		r19.41v 2650	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1616	. . . 4 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 2783	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 2763	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 2763	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4835	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) )
20		eliun 3917	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 4835	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2501	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 184	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4754	1 |- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1503   e. wcel 2164   E.wrex 2473   <.cop 3622   U_ciun 3913   class class class wbr 4030   o. ccom 4664   Rel wrel 4665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-xp 4666  df-rel 4667  df-co 4669

This theorem is referenced by: (None)