Theorem coiun 5120

Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5109	. 2 |- Rel ( A o. U_ x e. C B )
2		reliun 4732	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5109	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2528	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 3877	. . . . . . . 8 |- ( <. y , w >. e. U_ x e. C B <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
7		df-br 3990	. . . . . . . 8 |- ( y U_ x e. C B w <-> <. y , w >. e. U_ x e. C B )
8		df-br 3990	. . . . . . . . 9 |- ( y B w <-> <. y , w >. e. B )
9	8	rexbii 2477	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C y B w <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
10	6, 7, 9	3bitr4i 211	. . . . . . 7 |- ( y U_ x e. C B w <-> E. x e. C y B w )
11	10	anbi1i 455	. . . . . 6 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
12		r19.41v 2626	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 186	. . . . 5 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1598	. . . 4 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 2753	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 186	. . 3 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 2733	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 2733	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4783	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) )
20		eliun 3877	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 4783	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2477	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 183	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 211	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4705	1 |- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 103   = wceq 1348   E.wex 1485   e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   U_ciun 3873   class class class wbr 3989   o. ccom 4615   Rel wrel 4616

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-xp 4617  df-rel 4618  df-co 4620

This theorem is referenced by: (None)