Theorem coiun 5211

Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5200	. 2 |- Rel ( A o. U_ x e. C B )
2		reliun 4814	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5200	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2566	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 3945	. . . . . . . 8 |- ( <. y , w >. e. U_ x e. C B <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
7		df-br 4060	. . . . . . . 8 |- ( y U_ x e. C B w <-> <. y , w >. e. U_ x e. C B )
8		df-br 4060	. . . . . . . . 9 |- ( y B w <-> <. y , w >. e. B )
9	8	rexbii 2515	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C y B w <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
10	6, 7, 9	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y U_ x e. C B w <-> E. x e. C y B w )
11	10	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
12		r19.41v 2664	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1629	. . . 4 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 2800	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 2779	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 2779	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4868	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) )
20		eliun 3945	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 4868	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2515	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 184	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4787	1 |- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1516   e. wcel 2178   E.wrex 2487   <.cop 3646   U_ciun 3941   class class class wbr 4059   o. ccom 4697   Rel wrel 4698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-xp 4699  df-rel 4700  df-co 4702

This theorem is referenced by: (None)