Theorem coiun 5274

Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5263	. 2 |- Rel ( A o. U_ x e. C B )
2		reliun 4875	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5263	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2602	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 3997	. . . . . . . 8 |- ( <. y , w >. e. U_ x e. C B <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
7		df-br 4112	. . . . . . . 8 |- ( y U_ x e. C B w <-> <. y , w >. e. U_ x e. C B )
8		df-br 4112	. . . . . . . . 9 |- ( y B w <-> <. y , w >. e. B )
9	8	rexbii 2551	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C y B w <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
10	6, 7, 9	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y U_ x e. C B w <-> E. x e. C y B w )
11	10	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
12		r19.41v 2701	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 2839	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 2818	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 2818	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4929	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) )
20		eliun 3997	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 4929	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2551	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 184	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4846	1 |- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1398   E.wex 1541   e. wcel 2205   E.wrex 2523   <.cop 3694   U_ciun 3993   class class class wbr 4111   o. ccom 4755   Rel wrel 4756

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-xp 4757  df-rel 4758  df-co 4760

This theorem is referenced by: (None)