Theorem coiun 5179

Description: Composition with an indexed union. (Contributed by NM, 21-Dec-2008.)

Assertion

Ref	Expression
coiun	|- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)

Proof of Theorem coiun

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relco 5168	. 2 |- Rel ( A o. U_ x e. C B )
2		reliun 4784	. . 3 |- ( Rel U_ x e. C ( A o. B ) <-> A. x e. C Rel ( A o. B ) )
3		relco 5168	. . . 4 |- Rel ( A o. B )
4	3	a1i 9	. . 3 |- ( x e. C -> Rel ( A o. B ) )
5	2, 4	mprgbir 2555	. 2 |- Rel U_ x e. C ( A o. B )
6		eliun 3920	. . . . . . . 8 |- ( <. y , w >. e. U_ x e. C B <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
7		df-br 4034	. . . . . . . 8 |- ( y U_ x e. C B w <-> <. y , w >. e. U_ x e. C B )
8		df-br 4034	. . . . . . . . 9 |- ( y B w <-> <. y , w >. e. B )
9	8	rexbii 2504	. . . . . . . 8 |- ( E. x e. C y B w <-> E. x e. C <. y , w >. e. B )
10	6, 7, 9	3bitr4i 212	. . . . . . 7 |- ( y U_ x e. C B w <-> E. x e. C y B w )
11	10	anbi1i 458	. . . . . 6 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
12		r19.41v 2653	. . . . . 6 |- ( E. x e. C ( y B w /\ w A z ) <-> ( E. x e. C y B w /\ w A z ) )
13	11, 12	bitr4i 187	. . . . 5 |- ( ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
14	13	exbii 1619	. . . 4 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
15		rexcom4 2786	. . . 4 |- ( E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) <-> E. w E. x e. C ( y B w /\ w A z ) )
16	14, 15	bitr4i 187	. . 3 |- ( E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
17		vex 2766	. . . 4 |- y e. _V
18		vex 2766	. . . 4 |- z e. _V
19	17, 18	opelco 4838	. . 3 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> E. w ( y U_ x e. C B w /\ w A z ) )
20		eliun 3920	. . . 4 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) )
21	17, 18	opelco 4838	. . . . 5 |- ( <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. w ( y B w /\ w A z ) )
22	21	rexbii 2504	. . . 4 |- ( E. x e. C <. y , z >. e. ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
23	20, 22	bitri 184	. . 3 |- ( <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) <-> E. x e. C E. w ( y B w /\ w A z ) )
24	16, 19, 23	3bitr4i 212	. 2 |- ( <. y , z >. e. ( A o. U_ x e. C B ) <-> <. y , z >. e. U_ x e. C ( A o. B ) )
25	1, 5, 24	eqrelriiv 4757	1 |- ( A o. U_ x e. C B ) = U_ x e. C ( A o. B )

Syntax hints:   /\ wa 104   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   E.wrex 2476   <.cop 3625   U_ciun 3916   class class class wbr 4033   o. ccom 4667   Rel wrel 4668

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-xp 4669  df-rel 4670  df-co 4672

This theorem is referenced by: (None)